3.3.3 理想光学系统的诸放大率及其相互关系
在研究了理想光学系统物像位置共轭关系和焦距的基础上，进一步研究理想光学系统的各放大率。各种放大率从不同角度反映了经光学系所成的像与物体之间的各种比例关系及其与物体位置变化的关系。放大率的概念在应用上之所以重要，是因为各种类型的光学系统，尽管其用途各异，但其根本作用都是要“放大”被成像的物体。
与近轴光学中研究的各放大率类似，在理想光学系统中，也将讨论横向放大率（β）、轴向放大率（α）和角放大率（γ）。与近轴光学中各放大率有重要区别的是，理想光学系统的放大率可定义在整个空间。
1）横向放大率（β）
由于共轴理想光学系统仅对垂直于光轴的平面物才能成与其几何图形相似的像，因此绝大多数的光学系统都是对垂直于光轴的物平面成像。
由图3.8中的几何关系，若以牛顿公式系的坐标形式表示，则有
特别，若系统物像空间介质折射率相同（例系统位于空气中），因而f=－f＇，则有
由式（3.16）和式（3.17）可以看出，系统的横向放大率只与共轭面的位置有关，而与物高y的数值无关。在一对确定的共轭面内，β值为一常数，即任意的一对共轭线段，都具有同样的横向放大率，在这对共轭面内，平面图形的像几何地相似于原图形；共轭面的位置不同，则β值也不同。
在求得物像共轭面位置的基础上，可以确定β值，进而根据给定的物高y可求出像高y＇。有关像的性质，如实虚、正倒、放大缩小等的讨论同于近轴光学。
凡成像在底片上、屏幕上、光电管的感光层上的光学系统，如照相物镜、投影物镜、显微投影物镜等，通常均采用横向放大率，以表示像与物之间的缩放关系。
若整个系统是由K个光组组成，则前一个光组的像高即为后一个光组的物高，因而整个光学系统的横向放大率应为各个光组横向放大率的乘积，即有
2）轴向放大率（α）
轴向放大率表征沿光轴直线元的放大关系。其定义与推导方法类同于近轴光学。
若光学系统光轴上有一对共轭点A和A＇，当A点沿光轴移动微小距离dx（以牛顿公式系坐标表示）或dl（以高斯公式系坐标表示）时，像点A＇相应地移动距离dx＇或dl＇，则定义两对应的移动量之比为光轴上一对共轭点处的轴向放大率，表为
实质上，轴向放大率是沿光轴两无限小共轭线段的比值。因此，可将上述微小线段视为距离增量，从对共轭点方程（牛顿公式和高斯公式）的微分得到。即有
由式（3.20）和式（3.21）可以看出，轴向放大率与共轭点的位置有关。
对式（3.20）作如下变换，可以得到α与β的关系式：
若光学系统位于同种介质（例如空气）中，则有
α=β2 （3.23）
即轴向放大率等于横向放大率的平方。
上述公式表明，对于有一定轴向长度的物体（如一个小的立方体），由于其沿轴方向与垂轴方向的不等放大，其像不再是立方体，即发生畸变。当然，当物体位于β=±1处时例外。
轴向放大率反映了光学系统的成像深度特性，即光学系统不仅产生一个平面的清晰像，而且能产生一定空间深度的清晰像。最后应指出，上述有关轴向放大率的公式仅对沿轴的微小线段才适用。
3）角放大率（γ）
如图3.10所示，过系统光轴上一对共轭点A和A＇，取任意一对共轭光线AQ和A＇Q＇，它们与光轴的夹角分别为U和U＇，则定义此二角度正切之比为共轭点上的（或垂直于光轴的共轭面内的）角放大率。表示为
又由式（3.10）和横向放大率β的定义，可得到
若将式（3.16）β值代入上式，则有
或将式（3.17）代入式（3.24）式，则有
上述公式均表明，角放大率只与共轭点位置有关，而与一对共轭光线和光轴夹角U、U＇的大小无关。对给定的一对共轭点，不论角度取什么值，其角放大率γ恒为常数；不同的共轭点处，γ值不同。
对式（3.24），若光学系统位于同种介质中，则有
上式表明，同一对共轭面内角放大率是横向放大率的倒数。这表明当系统以放大的比例成像时（│β│＞1），则│γ│＜1，即像方的共轭光束较物方光束为细；反之，若系统以缩小的比例成像（│β│＜1），则│γ│＞1，即像方共轭光束较物方光束为宽。
角放大率通常用于表示望远系统的放大特性，因而十分重要。这是由于望远系统用于观察远方物体时，一般是要求放大被观察物体的角量。
表3.1 几对特殊共轭面的各放大率计算
4）理想光学系统三种放大率的关系
理想光学系统同一对共轭面上的三种放大率并非彼此独立，而是互相关联的。若将式（3.22）与式（3.24）式的等式两端对应相乘，可以得到三者之间的如下关系式：
αγ=β （3.28）
5）主面、焦面、节面上的放大率计算
计算主面、焦面与节面这三对特殊共轭面上的各放大率，对深入了解三对特殊共轭面的成像特性与变化规律具有重要意义。表3.1给出了利用牛顿公式系计算几对特殊共轭面的各放大率值的结果。计算假定f＇＞0，f＜0，且f＇＞－f（n＇＞n）。从x等于－∞开始，按x坐标值增加的次序排列。其中“反节点”是指角放大率为－1的共轭点。
为了熟悉利用解析公式确定物像共轭关系的方法，举例计算如下：
［例3.1］ 有两共轴光组位于空气中，光组Ⅰ为正光组，光组Ⅱ为负光组（假定每个光组的物方主面与像方主面重合），两光组的焦距值均为10cm，彼此间隔为5cm。今在光组Ⅰ左侧20cm处，有一高度为2cm的物体AB，问经光组Ⅰ和Ⅱ后所成的像距光组Ⅰ多远，大小如何?成像性质如何?用两种公式系计算并相互校核，将计算结果标注于图中。
解：由给定条件，光组Ⅰ和Ⅱ均位于空气中，应有
f＇1=－f1=10（cm），f＇2=－f2=－10（cm），d1=5（cm）
①按高斯公式系计算
已知：l1=－20（cm），y1=2（cm）
经光组Ⅰ成像，有像点位置
经光组Ⅱ成像，有
l2=l1＇－d1=20－5=15（cm） （以H2为原点）
最终像A2＇B2＇相对于光组Ⅰ的位置为
l＇=l2＇+d1=－30+5=－25（cm） （以H1为原点）
光组Ⅰ与Ⅱ的总的横向放大率为β=β1β2=（－1）×（－2）=2，因而所成的像为正立放大虚像。
②按牛顿公式系计算
首先经光组Ⅰ成像有
再经光组Ⅱ成像，应有
光学间隔 Δ1=d1－f1＇+f2=5－10+10=5（cm）
x2=x1＇－Δ1=10－5=5（cm） （以F2为原点）
像A2＇B2＇相对于光组Ⅰ的位置为
l＇=x2＇+f2＇+d1=－20+（－10）+5=－25（cm） （以H1为原点）
光组Ⅰ与Ⅱ总的横向放大率为：β=β1β2=2。
两种公式系计算结果的标注见图3.11。上述计算结果表明，两种公式系的计算结果完全一致。计算中应特别注意两套公式系的原点不同，过渡变换也不同。对给出的不同问题，究竟选用哪种公式系，应视计算的简便而定。对本题来说，以选用高斯公式系较简便。
图3.11 计算结果按两种公式系标注
表3.2对理想光学系统的两种公式系作了归纳整理并与球面折射的近轴公式系作了对比，以便于理解和记忆。
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