高阶导函数

一般地，我们用递归的方法定义更高阶的导数。如果已经定义了f的n阶导函数f^（n），则当f^（n）可导时，称f^（n）的导数（f^（n））′为f的n＋1阶导函数，记为f^（n＋1）．n阶导函数也简称为n阶导数。

如同函数的导函数可能不存在，某个高阶导函数仍然可能不存在。

例3.5.1　计算指数函数f（x）＝a^x（a＞0）的n阶导数。

解　首先，f′（x）＝lna·a^x＝（lna）f（x）．因此，

f″（x）＝（lna）f′（x）＝（lna）²f（x）．

不难得到

在上例中，我们建立了零阶导数（函数本身）与一阶导数之间的关系，

f′（x）＝（lna）f（x）

进而由此关系式导出更高阶的导数。一般地，如果能建立低阶导数之间的关系式，那么对于求高阶导数是非常有利的。

例3.5.2　求f（x）＝sinx的n阶导数。

解　如同上例，我们首先建立f′与f之间的关系：

例3.5.3　若f有n阶导数，则

（f（ax＋b））^（n）＝aⁿf^（n）（ax＋b）．

请注意等式两边关于求n阶导数在含义上的差异．

例3.5.4　设f（x）＝e^xcosx，求f^（2008）（x）．

解　通过计算得到f′（x）＝e^x（cosx－sinx）．为建立f′与f之间的关系，我们改写f′（x）：

进而不难证明：

对于乘积型函数的高阶导数，我们有下述Leibniz（莱伯尼兹）公式。

定理3.5.5（Leibniz）　若函数u和υ均n阶可导，则乘积函数uυ也n阶可导，且

我们提醒读者不要盲目使用Leibniz公式。例如，如果对例题3.5.4应用Leibniz公式将会很复杂。一般地说，如果u、υ中有一个是低次多项式，则对其求超过其多项式次数的高阶导数值都为零，从而Leibniz公式中的（非零）项数大为减少。此时，应用Leibniz公式计算高阶导数是值得考虑的方法之一。

例3.5.6　设f（x）＝arctanx，求f^（n）（0）．

（1＋x²）f′（x）≡1．

注意到左端第一个因子是低次多项式，因此对此恒等式两边求n－1阶导数时，可对左端应用Leibniz公式，得

（1＋x²）f^（n）（x）＋2nxf^（n－1）（x）＋（n－1）（n－2）f^（n－2）（x）≡0．

特别地，令x＝0，则fⁿ（0）＋（n－1）（n－2）f^（n－2）（0）＝0．由此得到递推式：

f^（n）（0）＝－（n－1）（n－2）f^（n－2）（0）．

注意到f（0）＝0，f′（0）＝1，最后得

应特别注意的是复合函数和参数式函数的高阶导数的计算：如果中间变量不代入的话，复合函数的一阶导数仍然是复合函数，因此在计算高阶导数时，应将低阶导数作为复合函数对待。同样，参数式函数的导数仍然是参数式函数。在计算高阶导数时，也应将低阶导数作为参数式函数对待。下面我们用两个例子说明，请读者细加体会。

例3.5.7　设f在［－1,1］上二阶可导，g（x）＝f（sinx）．求g″．

解　根据复合函数求导法得

g′（x）＝f′（sinx）cosx，

其中f′（sinx）仍然是一个复合函数。进而再由复合函数求导法，得

例3.5.8　求参数式函数

故再由参数式函数的求导法得