什么是“贾宪三角”

什么是“贾宪三角”

公元1261年，我国宋代数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中记载了一个用数字排列起来的三角阵(如下页图)，由于引用了贾宪著的《开方作法本源》和“增乘开方法”，因此这个三角阵就叫做“贾宪三角”。在欧洲，这一三角形叫做帕斯卡三角形，是帕斯卡在1654年研究出来的，比贾宪迟600年。

那么，贾宪三角有什么用呢?

贾宪三角中各行中的数字正好是二项式a+b乘方后，展开式中各项的系数。譬如

(a+b)¹=a+b;

(a+b)²=a²+2ab+b²;

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³;

……

根据这个三角阵图，我们还可以知道

(a+b)⁶=a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶。

表中第一行，也有它的意义，只要a+b≠0，(a+b)⁰=1。

仔细观察这一三角阵，我们可以发现它排列的规律:每下一行的数比上一行多1个，两边都是1，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和。按照这一规律，我们就可以将这一三角阵继续写下去，并得到我们所需要的二项式展开式的系数。

那么，最初这一三角阵又是如何构造出来的呢?据史书记载，贾宪的方法是“增乘法”。所谓“增乘”是“以加求乘(方)”的意思。例如，要造一张具有八行的“贾宪三角”，先造下面的数表:

1　1　1　1　1　1　1　1

　 7　6　5　4　3　2　1

　　 21 15 10　6　3　1

　　　　35 20 10　4　1

　　　　　 35 15　5　1

　　　　　　　21　6　1

　　　　　　　　　7　1

　　　　　　　　　　 1

上表是依照下面三条规则造出来的:(1)第一行是8个1;(2)第二行起每行比上一行少左边的一个数;(3)每一行从右边开始逐个数相加到某个数(只要这个数不是左边第一个数)所得到的和写在这个数的正下方(例如，第三行右边4个数相加1+3+6+10所得到的和20便是第四行右边第四个数)。

把由“增乘法”得到的上述数表整个地按逆时针方向旋转45°，便得到八行的“贾宪三角”。

与“增乘法”类似的还有“增开方法”，可以用于解数字系数的高次方程。