回路电流法怎么列方程

观察与思考

图3－6－1（a）所示是一个电阻混联电路，电路中，电阻R2与R3并联，然后再与R1串联，我们可以通过串并联特性和欧姆定律对其进行求解；图3－6－1（b）所示电路，该电路是一个汽车电路中，车灯电路的等效电路，它由发电机（E1和内阻R1）、蓄电池（E2和电阻R2）机灯（负载电阻R3）组成，你能通过电阻串、并联特性及欧姆定律对该电路进行求解吗？

图361　简单电路与复杂电路比较

图3－6－1（a）所示电路能用电阻的串、并联分析方法对其进行简化，使之成为一个单回路电路，这样的电路叫简单电路。如图3－6－1（b）图不能用电阻的串、并联分析方法对其进行简化，这样的电路叫复杂电路。求解复杂电路除了运用欧姆定律以外，还需学习新的方法，即基尔霍夫定律。

一、个基本概念

支路：由一个或几个元件首尾相接构成的无分支电路叫支路。在同一支路中，流过各元件的电流相等。如右图中，有三条支路，R1和E1构成一条支路，R2和E2构成一条支路，R2是另一条支路。

节点：三条或三条以上支路的汇交点叫节点。如右图中，有两个节点，节点A和节点B。

回路：电路中任一闭合路径叫回路。右图中，有三个回路，回路AEFB、回路CABD和回路CEFD。

网孔：内部不包含支路的回路叫网孔。右图中，有两个网孔，网孔AEFB和网孔CABD。

二、基尔霍夫第一定律

1．基尔霍夫第一定律

基尔霍夫第一定律研究对象是节点，也称节点电流定律，即KCL方程。其内容为：电路中任意一个节点上，在任一时刻，流入节点的电流之和等于流出节点的电流之和。用公式表示为

图3－6－2　节点电流示意

如图3－6－2所示，对于节点A，可列节点电流方程为

I1＋I3＝I2＋I4＋I5

2．基尔霍夫第一定律的推广

基尔霍夫第一定律不仅适用于节点，也可推广应用于任一假想的封闭面S，S称为广义节点，如图3－6－3所示。通过广义节点的各支路电流代数和恒等于零。在上图所示电路中，假定一个封闭面S把电阻R3、R4及R5所构成的三角形全部包围起来成为一个广义节点，则流入广义节点的电流应等于从广义节点流出的电流，故得

I1＋I3＝I2I1＋I2＝I3I2＝I3－I1＝（15－20）mA＝－5mAI5＝I1＋I4I4＝I5－I1＝（8－20）Ma＝－12I3＋I4＝I6I6＝I3＋I4＝（15－12）mA＝3mA

图3－6－3　广义节点

【例3－6－1】　在下图所示电路中，已知I1＝20mA，I3＝15mA，I5＝8mA，求其余各支路电流。

【解】　对于节点A，可列节点电流方程：

则

对于节点C，可列节点电流方程：

则

对于节点B，可列节点电流方程：

则

注意

列节点电流方程时，首先假定未知电流的参考方向，计算结果为正值，说明该支路电流实际方向与参考方向相同；计算结果为负值，说明该支路电流实际方向与参考方向相反。

三、基尔霍夫第二定律

1．基尔霍夫第二定律

基尔霍夫第二定律研究对象是回路，研究的问题是某个闭合回路中各段电压之间的关系，也称回路电压定律，即KVL方程。其内容为：对电路中的任一闭合回路，沿回路绕行方向上各段电压的代数和等于零。用公式表示为：

如图3－6－4所示是复杂电路的一部分，带箭头的虚线表示回路的绕行方向，则各段电压分别为：

UAB＝I1R1－E1

UCD＝－I3R3＋E2

UBC＝－I2R2

UDA＝I4R4

图3－6－4

根据回路电压定律，可得

UAB＋UBC＋UCD＋UDA＝0

即

I1R1－E1－I2R2－I3R3＋E2＋I4R4＝0

在运用基尔霍夫回路电压定律所列的方程中，电压和电动势都是指代数和，因此必须注意其正、负号的确定。

1）任意选定各支路未知电流的参考方向；

2）任意选定回路的绕行方向（顺时针或逆时针），以公式中少出现负号为宜；

3）确定电阻压降的符号。当选定的绕行方向与电流参考方向一致时（电阻电压的参考方向从“＋”极性到“－”极性），电阻压降取正值，反之取负值。

4）确定电源电动势符号。当选定的绕行方向从电源的“＋”极性到“－”极性，电动势取正值，反之取负值。

【例3－6－2】　如图3－6－5所示为某电路图中的一部分，试列出其回路电压方程。

图3－6－5

【解】　标出各支路电流的参考方向和回路的绕行方向如图所示。

I3R3＋E2－I2R2＋I1R1－E1＝0

I3R3－I2R2＋I1R1＝E1－E2

2．基尔霍夫第二定律推广

基尔霍夫第二定律不仅适用于闭合回路，也可推广应用于不闭合的假想回路，现以图3－6－7所示电路加以说明。

图中AB之间无支路直接相连，但可假设有一条假想支路连接其间，构成假想回路ABCDA，其中，A、B两点之间电压可用UAB表示，则根据∑U＝0，列出回路电压方程为：

UAB－I2R2＋E2＋I3R3＋I1R1－E1＝0

图中A、B之间无支路直接相连，但可设想有一条假想支路连接其间，构成家假想回路ABCDA。

3．基尔霍夫定律的应用

对于复杂电路，可以运用基尔霍夫定律进行求解。对于右图3－6－7所示三条支路、两个节点、两个网孔的复杂电路，可以根据节点电流定律和回路电压定律列出三个独立的方程。

图3－6－6　假想回路

图3－6－7

（1）根据基尔霍夫第一定律可列出节点电流方程：

节点A的电流方程为：

I1＋I2＝I3

节点B的电流方程为：

I3＝I1＋I2

两个方程只由一个独立方程。对于n个节点，只能流出n－1个独立的节点电流方程。

（2）根据基尔霍夫第二定律可以列出回路电压方程：

对于回路Ⅰ，可列出回路电压方程为：

I1R1－E1＋E2－I2R2＝0

对于回路Ⅱ，可列出回路电压方程为：

I2R2－E2＋I3R3＝0

对于回路Ⅲ，可列出回路电压方程为：

I1R1－E1＋I3R3＝0

三个方程中只由两个独立方程。回路方程的独立电压方程等于网孔数。为了保证方程的独立性，一般选择网孔来列方程。则该电路所列的三个独立方程为