【摘要】：§4.4 积分值的估计有些函数虽然可积，但原函数无法用初等函数的有限形式表达，无法应用牛顿－莱布尼兹公式计算；另一种情形是，只知道被积函数的结构或某种性质，欲对积分值给出某种估计。图4-1或用微分中值定理注 f不恒为0时，式中严格不等号成立。11．设f为［0，2π］上的单调递减函数，证明n，有。 （令） 用的是积分第二中值定理。
§4.4 积分值的估计
有些函数虽然可积，但原函数无法用初等函数的有限形式表达，无法应用牛顿－莱布尼兹公式计算；另一种情形是，只知道被积函数的结构或某种性质（如微分性质等），欲对积分值给出某种估计。
注 本例和上节之例3是同本质之题目。
证 令x2＝y，得原积分
例4 假设f（x）在［a，b］上连续可微，且f（a）＝f（b）＝0，证明
分析 记M＝max｛｜f′（x）｜｝，｜f′（x）｜≤M的几何意义是什么呢？
－M≤｜f′（x）｜≤M
用面积比较法即知。见图4-1。
图4-1
注 f不恒为0时，式中严格不等号成立。
例4′ 设f（x）∈C*［a，b］且｜f′（x）｜≤M，f（a）＝0，试证
证明 因为f（a）＝0f（x）＝f（x）－f（a）＝f′（ξ）（x－a）
所以｜f（x）｜≤M｜x－a｜
例5 （Hadamard定理）设f（x）是［a，b］上连续的下凸函数，则有
分析 几何定义不妨认为f（x）>0时，凸函数恒在割线之下方，或者恒在切线之上方。曲边梯形之面积介于两个直边梯形面积之间。
思考 若不用切线（或者切线根本不存在），如何证明？
令x＝a＋（b－a）t，如上，再令x＝b－（b－a）t，得出
例6 设f（x）在［0，1］一阶连续可导，证明：
易得
例7 设f（x）∈C′［a，b］且f（a）＝0，试证
习题4.4
1．设f′（x）在［a，b］连续，试证
（北师大2007年）
2．设f（x）∈C′［0，1］，则有
用的是积分第二中值定理。
14．证明对任意连续函数f（x），有
（浙江省高等数学竞赛2005年）
（浙江省高等数学竞赛2006年）
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