几种常见的连续型分布

时间：2023-02-18 百科知识版权反馈

【摘要】：若只有65分钟，又应走哪条路？解记行走时间为t，走第一条线路，t～N；走第二条线路，t～N .走第一条路线能及时赶到的概率为走第二条路线能及时赶到的概率为因此，若有70分钟可用，应选第二条路线.因此，若只有65分钟可用，应选第一条路线.

1.均匀分布

定义2.4.2若连续型随机变量X的概率密度为

则称X在［a， b］上服从均匀分布，记为X ～ U［a， b］.

均匀分布的分布函数为

这表明，X取值于［a ， b］内的任一区间的概率与区间的长度成正比，而与该区间的具体位置无关，这就是均匀分布的概率意义.

例2.4.3设在某段时间内的任一时刻乘客来到公共汽车站是等可能的.车站每隔8分钟有一趟车，设X表示某乘客的候车时间，求：

（1）该乘客候车时间在5分钟以内的概率；

（2）该乘客候车时间在4分钟以上的概率.

解依题意，X～ U［0 ， 8］，其概率密度为

2.指数分布

定义2.4.3若连续型随机变量X的概率密度为

则称X在［a， b］上服从指数分布，记为X～ E（λ）.

指数分布的分布函数为

指数分布的密度函数及分布函数的图形如图2-4-3和图2-4-4.

图2-4-3　

图2-4-4　

指数分布常用作各种“寿命”的近似分布.例如，电子元件的寿命，动物的寿命，随机服务系统的服务时间等，都可以近似地用指数分布来描述.

指数分布具有以下有趣的性质：

这个性质称作指数分布的无记忆性.

假如把服从指数分布的随机变量解释为某元件工作的寿命，则上式表明，在该元件已工作了s小时的条件下，它还能继续工作t小时的概率与已经工作过的时间s无关.换句话说，如果元件在时刻s还“活着”，则它的剩余寿命的分布还是原来寿命的分布，而与它已工作了多长的时间无关.所以有时又称指数分布是“永远年轻”的.值得指出的是，我们可以证明，指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布.

例2.4.4设某种电子元件的寿命X（以年记）服从参数λ=2的指数分布，求

（1）寿命在0.5年和1年之间的概率；

（2）寿命超过2年的概率.

3.正态分布

正态分布是概率分布中最重要的一种分布，这有实践与理论两方面的原因.实践方面的原因是，正态分布是自然界最常见的一种分布，例如测量的误差、炮弹的落点、人的身高与体重、农作物的收获量、波浪的高度等都近似服从正态分布.一般来说，如果影响某一随机变量的因素很多，而每一个因素都不起决定性作用，且这些影响是可以叠加的，则这个随机变量服从正态分布，这点可用第五章的极限定理来加以证明.从理论方面来说，正态分布有许多良好的性质，如正态分布可以导出一些其他分布，而某些分布（如二项分布、泊松分布等）在一定的条件下可用正态分布来近似.

定义2.4.4若连续型随机变量X的概率密度为

正态分布的分布函数为

正态分布的密度函数f（x）的图形如图2-4-5所示，f（x）是一条钟形曲线，呈现“中间大，两头小”的形状.容易看出：

（2） f（x）在（-∞， μ）内单调增加，在（ μ， + ∞）内单调减少；

（3）曲线在x = μ±σ处有拐点；

（4）当x→∞时，曲线以x轴为渐近线；

（5）如果固定σ，改变μ的值，则图形沿x轴平行移动，而不改变形状，即正态分布的密度函数的位置由参数μ确定，因此称μ为位置参数；

图2-4-5　

特别地，称μ=0，σ=1时的正态分布N（0，1）为标准正态分布，其密度函数和分布函数分别用φ（x）和Φ（ x）表示，即

φ（x）和Φ（x）的图形如图2-4-6所示.

图2-4-6　

图2-4-7　