联合分布和边缘分布

由于从二维推广到三维及以上没有实质性的困难，所以本节我们重点讨论二维随机变量.

1.二维随机变量

定义3.1.1设S是随机试验E的样本空间，ω ∈S为样本点，而

是定义在S上的两个随机变量，则由它们构成的一个二维向量（X， Y）称为二维随机变量或二维随机向量.

二维向量（X， Y）的性质不仅与X及Y有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.因此，逐个讨论X和Y的性质是不够的，需要把（X， Y）作为一个整体来讨论.和一维的情形类似，我们也借助于“分布函数”来研究二维随机变量.

2.二维随机变量的分布函数

定义3.1.2设（X， Y）为二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数

称为二维随机变量（X，Y）的分布函数，或X与Y的联合分布函数.

分布函数的几何意义：若把二维随机变量（X， Y）看成平面上随机点的坐标，则分布函数F（x， y）在（x， y）处的函数值就是随机点（X， Y）落入以（x， y）为定点且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率（见图3-1-1）.

图3-1-2　

图3-1-1　

联合分布函数的性质：基于一元分布函数的性质和二元分布函数的定义，不难理解F（x， y）有如下性质.

3.边缘分布函数

二维随机变量（X，Y）作为一个整体具有联合分布函数F（x， y）.而X和Y都是一维随机变量，它们也有各自的分布函数，把X和Y的分布函数分别记为FX （x）和FY （y），分别称这两个分布函数为（X，Y）关于X和Y的边缘分布函数，简称边缘分布.

由分布函数的定义可得到联合分布函数和边缘分布函数的关系.

例3.1.1设二维随机变量（X， Y）的联合分布函数为其中参数λ≥0，称这分布为二维指数分布，试分别求关于X和Y的边缘分布函数.

解 由（3.1.3）式和（3.1.4）式，可得关于随机变量X和Y的边缘分布函数分别为

我们发现，X和Y的边缘分布都是一维指数分布函数，且与参数λ无关，这说明由联合分布函数可以唯一确定边缘分布函数，但是由边缘分布函数不能唯一确定联合分布函数，即联合分布函数不仅含有随机向量的每个分量的信息，而且还含有随机向量每个分量之间关系的信息，这正是人们研究多维随机变量的原因.

例3.1.2设随机变量（X， Y）的分布函数为

试求：（1）系数A， B， C； （2） X和Y的边缘分布函数；（3） P｛X ＞ 2｝ .

（2）边缘分布函数分别为