经典集合的扩展

定义5．15 论域U上的一个Fuzzy集A是指：对任意的u∈U，都指定一个数μA（u）∈［0，1］，与之对应，μA（u）称为u对A的隶属度。μA称为A的隶属函数。U上的所有模糊集组成的集合记为F（U）。

定义5．16 设A，B∈F（U），A和B的并集A∪B、交集A∩B、A的补集A′的隶属度函数分别定义为：

μA∪B（x）＝μA（x）∨μB（x）

μA∩B（x）＝μA（x）∧μB（x）

μA′（x）＝1－μA（x）

定理5．25 设A，B，C∈F（U），则：

（1）等幂律：A∪A＝A，A∩A＝A。

（2）结合律：（A∪B）∪C＝A∪（B∪C），（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）。

（3）交换律：A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A。

（4）分配律：A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C），A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）。

（5）同一律：A∪∅＝A，A∩U＝A。

（6）零一律：A∪U＝U，A∩∅＝∅。

（7）吸收律：A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A。

但互补律对于模糊集不成立。

定义5．17 令U是一个论域，U上的一个Vague集A由真隶属函数t A（x）和假隶属函数f A（x）来描述。t A：U→［0，1］，f A：U→［0，1］，其中t A（x）是从支持x的证据所导出的x的真隶属函数下界，f A（x）是从反对x的证据所导出的假隶属函数下界，且t A（x）＋f A（x）≤1。U中的任一元素x在Vague集A中的隶属度被区间［0，1］的一个子区间［t A（x），1－f A（x）］所界定，称该区间为区间x在A中的Vague值，记为VA（x）。

定义5．18 设A和B是Vague集，A和B的并集A∪B、交集A∩B，以及A的补集A′的真、假隶属度函数定义如下：

t A∪B（x）＝t A（x）∨t B（x）

1－f A∪B（x）＝（1－f A（x））∨（1－f B（x））

t A∩B（x）＝t A（x）∧t B（x）

1－f A∩B（x）＝（1－f A（x））∧（1－f B（x））

t A′（x）＝f A（x）

1－f A（x）＝1－t A（x）

定义5．19 设R为论域U上的等价关系，若X能用R的某些等价类的并来表示，则称X是R可定义的，否则称X是R不可定义的或R的粗糙集。

定义5．20 设R为论域U上的等价关系，X的下近似集与X的上近似集分别定义为：

R＊（X）＝｛Y｜Y∈U／R且Y⊆X｝

R＊（X）＝｛Y｜Y∈U／R且Y∩X≠∅｝

R＊（X）是根据R，U中所有一定归入X的元素的集合，即所有包含于X的R的等价类的并。R＊（X）是根据R，U中所有可能归入X的元素的集合，即所有与X的交非空的R的等价类的并。

我们也把POSR（X）＝R＊（X）称为X的R正域，把NEGR（X）＝U－R＊（X）称为X的R负域，BNR（X）＝R＊（X）－R＊（X）称为X的R边界域。BNR（X）是根据知识R，U中既不能肯定归入X，也不能肯定不归入X的元素的集合。

定理5．26

（1）R＊（X）⊆X⊆R＊（X）；

（2）R＊（∅）＝R＊（∅）＝∅，R＊（U）＝R＊（U）＝U；

（3）R＊（X∪Y）＝R＊（X）∪R＊（Y）；

（4）R＊（X∩Y）＝R＊（X）∩R＊（Y）；

（5）X⊆Y⇒R＊（X）⊆R＊（Y）；

（6）X⊆Y⇒R＊（X）⊆R＊（Y）；

（7）R＊（X∪Y）⊇R＊（X）∪R＊（Y）；

（8）R＊（X∩Y）⊆R＊（X）∩R＊（Y）；

（11）R＊（R＊（X））＝R＊（R＊（X））＝R＊（X）；

（12）R＊（R＊（X））＝R＊（R＊（X））＝R＊（X）。