《函数的极值与导数》课堂教学实录

《函数的极值与导数》课堂教学实录

刘高义

【三维目标】

1.知识与技能

掌握求可导函数的极值的步骤。

2.过程与方法

运用数形结合的思想推出函数的极值的一般步骤。

培养学生观察分析、抽象概括、归纳总结等逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观

学生通过知识的整合、梳理，理会极值与导数的关系及其互相联系，进一步培养学生解决问题的能力。

【教学重点】掌握求可导函数的极值的步骤。

【教学难点】区间导数符号的判断。

【课　　型】新授课。

【教学时数】1课时。

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

师：在上一节课，我们学习了函数的单调性和导数的正负关系，这个关系是什么？

生1：对于y＝f（x），x∈（a，b），若f＇（x）＞0，则y＝f（x）在（a，b）上是增函数；若f＇（x）＜0，则y＝f（x）在（a，b）上是减函数。

师：利用导数求函数的单调区间的步骤是什么？

生2：用导数求函数单调区间的步骤：

（1）求函数f（x）的导数f＇（x）。

（2）令f＇（x）＞0，解不等式，得x的范围，就是递增区间。

（3）令f＇（x）＜0，解不等式，得x的范围，就是递减区间。

师：说得很好。导数的正负决定了函数的单调性，导数的绝对值的大小反映了函数在这个区间或这点附近的变化的快慢程度。

在导数为零的点，函数又有什么性质？（引出新课，板书课题。）

二、进行新课

1.探究

师：请同学们观察课本第27页图1.3-8、图1.3-9，思考：函数h（t）在t＝a处的导数是多少？此点附近的函数图象有什么特点？相应地，导数符号有什么变化规律？此点附近的函数值与h（a）的关系如何？

生3：可以看出，h＇（a）＝0；在t＝a附近，当t＜a时，h（t）单调递增，h＇（t）＞0；当t＞a时，h（t）单调递减，h＇（t）＜0。也就是说，在t＝a附近，函数值先增t＜a时，h＇（t）＞0后减（t＞a）时，h＇（t）＜0。这样，当t在a的附近从小到大经过a时，h＇（t）先正后负，且h＇（t）连续变化，于是有h＇（a）＝0。

师：这位同学观察很详细，描述比较准确。像上面，把t＝a叫函数h（t）的极大值点，h（a）叫函数h（t）的极大值。

对于一般的函数，是否也有同样的性质呢？

请同学们观察课本第27页探究：如图1.3-10和图1.3-11，函数y＝f（x）在a，b，c，d，e，f，g，h，等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f（x）函数在这些点的导数值是多少？y＝f（x）在这些点附近，的导数的符号有什么规律？

图1.3-10

图1.3-11

（观察、思考，并尝试解答）

生4：以a，b两点为例，可发现，y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f＇（a）＝0；且在x＝a附近的左侧覼（x）＜0，右侧覼（x）＞0，类似的，y＝f（x）在点x＝b处，f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，覼（b）＝0；而且在x＝b附近的左侧覼（x）＜0，右侧。

师：由上，请大家归纳出函数的极大值、极小值的概念。

（学生思考、归纳，教师补充得出）

2.极大、极小值、极值的概念

一般地，设函数y＝f（x）在点x₀及其附近有定义，

（1）如果对x₀附近的所有的点，都有f（x）＜f（x₀），就说f（x₀）是函数y＝f（x）的一个极大值，记作y_极大值＝f（x₀），x₀是极大值点。

（2）如果对x₀附近的所有的点，都有f（x）＞f（x₀），就说f（x₀）是函数y＝f（x）的一个极小值，记作y_极小值＝f（x₀），x₀是极小值点。

极大值与极小值统称为极值。

师：（引导学生，结合图1.3－11，对极值的概念，从以下几个方面去理解）

①在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。

②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

③函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。

④极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如图1.3-11所示，f＇是极大值点，c是极小值点，而f（（c）＞f（f）。

⑤函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

3.判别f（x₀）是极大、极小值的方法

师：由前面观察、分析、归纳，当f＇（x₀）＝0，左、右两侧的导数一正一负。）

生5：若x₀满足f＇（x₀）＝0，且在x₀的两侧f（x）的导数异号，则x₀是f（x）的极值点，f（x₀）是极值。如果f＇（x）在x₀两侧满足“左正右负”，则x₀是f（x）的极大值点，f（x₀）是极大值；如果f＇（x）在x₀两侧满足“左负右正”，则x₀是f（x）的极小值点，f（x₀）是极小值。

4.求可导函数f（x）的极值的步骤

（师生共同归纳，得求函数的极值的步骤）

（1）确定函数的定义区间，求导数f＇（x）。

（2）求方程f＇（x）=0的根。

（3）由f＇（x）的正负号，确定函数的极值点，并求出。

三、例题精讲

令y＝0，解得x₁＝-2，x₂＝2

师：（引导学生讨论）如何判断出-2和2是函数的极大值点还是极小值点？

生6：对于x＝-2，左侧取x＝-3；覼（-3）＝5＞0；右侧取x＝-1；覼（-1）＝-3＜0，∴x＝-3是极大值点。

生7：这种判断方法不具有一般性，不能以特殊代替一般！如图1.3－11中，x＝d是极值点，但覼（x₁）＜0，覼（x₂）＞0易误得x＝d是极小值点，这与x＝d是极大值点矛盾。因而这样判断不够准确、合理！

师：一般的，如何判断呢？

生8：可以根据导函数的图象去判断！如在图所示，导函数f＇（x）＝x²-4是二次函数，f＇（-2）＝0，在x＝-2左侧，f＇（x）＞0，右侧f＇（x）＜0，∴x＝-2是y＝f（x）的极大值点。同理，x＝2是y＝f（x）的极小值点。

（其他同学对此分析表示很赞同，纷纷向他投去钦佩的目光！）

生9：这样做可以，但不足之处是要画导函数的图象，比较麻烦！如函数f（x）＝3x⁴-2x³+5x²-4x+3，它的导函数为f＇（x）＝12x³-6x²+10x-4的图象就不好画！

我认为，可以这样去判断：±2把（-∞，+∞）分成三个区间：（-∞，-2），（-2，2）（2，+∞）在每个区间上分别研究f＇（x）的正负及f（x）的单调性，就可确定极值点了。

师：上面几个同学分析得都很有道理！下面我们依生9的思路完成解题过程。当x变化时，y′、y的变化情况如下表所示。

师：（引导学生归纳）

求可导函数y＝f（x）的极值的步骤（把6.2.4（3）步骤补充完整）：

用函数的导函数零点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格。检查覼（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么y＝f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y＝f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么y＝f（x）在这个根处无极值。

例2：求函数y＝x³的极值。

（学生练习完成）

生10：这个函数无极值！

师：由例2可看出，导数为0的点一定是函数的极值点吗？

生11：不一定！

师：因而我们把导数为0的点叫函数y＝f（x）的“可疑点”！

一般的，（板书）f＇（x₀）＝0？y＝f（x）在x＝x₀处取得极值。

∴f＇（x₀）＝0是函数y＝f（x）在x＝x₀处取得极值的必要不充分条件。

求极值的具体步骤：第一，求导数f＇（x）；第二，令f＇（x）＝0,求方程的根；第三，列表，检查f＇（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f（x）在这根处无极值。

如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点。

四、课堂练习：课本第29页，练习1、2。

第1题学生口答；第2题学生板演，其他学生练习。

五、课内小结，布置作业

六、小结

1.利用导数求函数的极值的方法和步骤；

2.思考：函数的极值与函数的最值有什么关系？

七、课后作业：课本第31页习题1.3A组3