整式的加减

【知识结构框图表解】

【本节解读】

本节课是以概念教学为主，同类项概念及同类项合并的法则既是对整式、有理数运算的综合运用，又是学习整式的加减、乘除和进一步理解解方程和不等式的基础和关键，有着承前启后的重要作用．进行有理数的加减运算是学好本节课的基础．其中准确判断同类项以及同类项合并法则的理解与运用是本节课学好的关键．

【基础知识详解与要点点拨】

1．同类项的含义

所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．

所有的常数项都是同类项．如：3x²y与-yx²是同类项；2与3是同类项．

注意：对于同类项的概念的理解，要抓住两个相同和两个无关．

两个相同：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数分别相同．两者缺一不可．

两个无关：（1）同类项与系数大小无关；（2）同类项与它们所含相同字母的顺序无关．

2．合并同类项

（1）合并同类项的含义

把多项式中同类项合并成一项就叫做合并同类项．换句话说：只有同类项才可以合并．

（2）合并同类项的法则

把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．

如：2a－b＋3b－a中，2a与-a是同类项，而-b与3b是同类项，可以合并同类项

2a－b＋3b－a＝（2－1）a＋（-1＋3）b＝a＋2b

（3）合并同类项步骤

①找出同类项，把同类项放在一起，中间用“＋”联结．

②利用合并同类项的法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变．

③写出合并后的结果．

注意：

（1）如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0．

（2）合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并；不能合并的项，不能遗漏．

（3）合并后的多项式结果可以是单项式，也可以是多项式．

（4）书写按代数式的规范．

【典型例题精讲与规律、方法、技巧总结】

例1　下列各题的两个式子是不是同类项？并说明理由．

（2）4x³y²与7x²y³

解题策略：判断几个单项式是不是同类项，可用两条标准衡量：（1）单项式所含的字母相同；（2）相同字母的指数也相同．两个条件缺一不可．

（2）4x³y²与7x²y³不是同类项．两项虽然都含有字母x、y，但是相同字母的指数不同．

注意：（1）几个常数项也是同类项；（2）同类项与系数的大小没有关系．

例2　合并同类项：

（1）6xy－3x²－4x²y－5yx²＋x²；

（2）x－3x²－7x－x²－5；

（3）5a－3x＋4a＋8x－5ax－2x．

解题策略：按合并同类项步骤进行即可．

（2）x－3x²－7x－x²－5＝（x－7x）＋（-3x²－x²－5＝-6x－4x²－5．

（3）5a－3x＋4a＋8x－5ax－2x＝（5a＋4a）＋（-3x＋8x－2x）－5ax＝9a＋3x－5ax．

注意：同类项用括号括在一起时，要添上加号．

例3　合并下列各式中的同类项．

（1）3（a＋b）－5（a＋b）＋（a＋b）；

（2）2（x－2y）²－4（2x－y）＋（x－2y）²－3（2x－y）．

解题策略：分别把a＋b，x－2y，2y－x看作一个字母，如a＋b＝m，x－2y＝s，2x－y＝t，那么以上代数式分别化为：3m－5m＋m，2s²－4t＋s²－3t．再应用合并同类项就是十分自然的事了．

解：（1）3（a＋b）－5（a＋b）＋（a＋b）＝（3－5＋1）（a＋b）＝-（a＋b）

注意：在一定的条件下，把一个代数式看作一个字母，一个复杂的代数式就会变得比较简单，使公式、法则有更广泛的应用．

例4　求下列各式的值．

解题策略：题目中给出的多项式含有同类项，先合并同类项再代入数值进行计算比较简便．

解：（1）原式＝（3－4＋1）x²y＋（-2＋2）xy＋（-10－2）xy²＝-12xy²，

注意：

（1）求多项式的值，先合并同类项，即先化简再代入求值．

（3）式中，同时出现小数和分数，把小数化成分数，较易计算．

【知识联系与拓展】

∴n＝4，m＝14．

注意：利用方程的思想进行解答是常用方法．

例6　若代数式a²＋2kab＋b²－6ab＋9不含ab项，求k的值．

解题策略：要使代数式不含ab项，将式中的2kab与-6ab两项看作同类项，合并后使ab项的系数为0，即可求出k值．

解：a²＋2kab＋b²－6ab＋9＝a²＋（2k－6）ab＋b²＋9，

因为代数式中不含ab项，所以2k－6＝0，即k＝3．

注意：字母k看作已知数，在2kab中，2k看成ab的系数．

【历届中考题解析与注意的问题】

例7　下列各组式子中，为同类项的是（　　）

A．3x²y与-3xy²

B．3xy与-2yx

C．2x与2x²

D．5xy与5yz

解题策略：判断两个单项式是不是同类项，可用两条标准衡量：（1）单项式所含的字母相同；（2）相同字母的指数也相同．

解：选B．

注意：同类项的两个条件缺一不可．

【知识结构框图表解】

【本节解读】

本节整式的加减实质就是去括号后再合并同类项．去括号法则是初中数学中的重要法则，务必熟练掌握，并灵活运用．正确地去括号和合并同类项是掌握整式加减的关键．

【基础知识详解与要点点拨】

1．去括号

（1）去括号法则

①括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，括号里各项的符号都不改变．

②括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，括号里各项的符号都要改变．

如：　3＋（a－b）　　　　——括号前是“＋”号

＝3＋a－b　　　　　　　　——括号内各项符号都不变

又如：　3－（a－b）　　　——括号前是“－”号

＝3－a＋b　　　　　　　　——括号内各项符号都要变

去括号时改变了式子的形式，但不改变式子的值．它属于多项式的恒等变形．这种变形是“形变实不变”．

对于去括号法则的理解，一是要注意括号前是“＋”号还是“－”号，法则中对应地有“不变”和“改变”符号这样的区别；二是法则中的“都”字，指括号中的所有各项，符号变则全变，不变则全不变．例如-（3x²－2x－1）去掉括号后得-3x²－2x－1是错误的．

（2）括号前有系数时去括号的方法

若代数式如3a＋2（b＋2），括号前有系数，应先进行乘法分配律，再去括号．

如：3a＋2（b＋2）＝3a＋（2b＋4）＝3a＋2b＋4．

注意：（1）去括号时，括号与前面的“＋”或“－”号一起去掉．

（2）括号前有“－”号，不管括号前是否有系数，去括号后，括号里各项的符号都要改变．

（3）括号前有数字因数，应把它与括号内各项相乘，切忌漏乘．

2．整式的加减

整式的加减的一般步骤：（1）去括号，（2）合并同类项．

注意：正确地去括号和合并同类项是整式加减的关键．

【典型例题精讲与规律、方法、技巧总结】

例1　化简：（4x－2xy－5）－（-7x＋2xy＋8）＋（2x－6－7xy）

解题策略：此题的计算实际上就是整式的加减．题中有括号，应先根据去括号法则去掉括号，再合并同类项．去括号法则是指：括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号都去掉，括号里的各项都不变；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号都去掉，括号里各项都变号．

注意：本题第一个括号前没有符号，事实上是“＋”号，只是省略了．第二个括号前是“－”号，括号里各项都变号．

解题策略：此题要化简，必须先去掉括号．但题目中括号前不是单一的“＋”号或“－”号，而是数字-4和+4，可以看出，它们与括号之间是相乘的关系．这样去括号的依据可以是乘法分配律．而在利用乘法分配律时，要注意带着性质符号与括号内各项相乘，不要漏乘．

解：原式＝3x²－2x²＋8x＋4＋4x²－8x＋4＝5x²＋8

注意：括号前有数字因数，应把它与括号内各项相乘，切忌漏乘．

例3　化简｛6a－［2a－1－（3a＋1）＋3］－4｝＋（a－1）

解题策略：此类题含有多层括号，一般的作法是先去小括号，然后去掉中括号，最后去掉大括号．也可以先去大括号，然后依次去掉中括号、小括号．但是不宜一次把所有的括号都去掉，特别是括号前面是“－”号时，容易发生错误．在去括号时，可以边去括号，边合并同类项．也可以去完括号后，再合并同类项．

注意：此类题掌握原则后，最重要的是细心．

例4　一个多项式A减去3x²＋2y－5的差是x²－2y，求A．

解题策略：由题意可知A是被减数．知道了减数和差，要求被减数可用减数与差相加．

注意：减数和差都是多项式，作为整体出现时要打括号！

例5　化简求值：5a³－2a²＋a－2（a³－3a²）－1，其中a＝-1．

解题策略：先去括号，再合并同类项，将代数式化到最简；最后再将a＝-1代入最简的代数式．

当a＝-1时，

例6　已知：x＝m²－2mn＋n²，y＝m²－2mn－n²．求x－［y－2x－（x－y）］当m＝1，n＝2时的值．

解题策略：此为多重代入求值题，解题方法一般是先将所求多项式化简，再将已知条件代入化简，最后将已知中字母的具体数字代入求值．

解：x－[y－2x－（x－y）]＝x－[y－2x－x＋y]＝x－2y＋3x＝4x－2y

当x＝m²－2mn＋n²，y＝m²－2mn－n²时，

原式＝4（m²－2mn＋n²）－2（m²－2mn－n²）＝4m²－8mn＋4n²－2m²＋4mn＋2n²＝2m²－4mn＋6n²

当m＝1，n＝2时，

原式＝2×1²－4×1×2＋6×2²＝2－8＋24＝18．

注意：这样的题更多地考验做题者的耐心与细心．

【知识联系与拓展】

解题策略：由c－a、b－c不能分别求出a、b、c的值，故只能把c－a、b－c都看作整体，会发现用c－a加b－c，得b－a，则a－b即可求得．

注意：这种整体的思想在以后的学习中应用很多．

例8　已知（x＋1）²＋｜y－1｜＝0，求2（xy－5xy²）－（3xy²－xy）的值．

解题策略：代数式首先要化简，化简后求值就必须求出x、y的值，虽然已知只给了一个方程，一般求不出两个未知数，但此方程较特殊，利用非负数的和为0，非负数只有都为零这一特点即可求x、y．

解：2（xy－5xy²）－（3xy²－xy）＝2xy－10xy²－3xy²＋xy＝3xy－13xy²

∵（x＋1）²≥0，｜y－1｜≥0，而（x＋1）²＋｜y－1｜＝0，

∴x＋1＝0且y－1＝0，即x＝-1，y＝1．

∴原式＝-3＋13＝10．

注意：非负数的和为0，这些数只能都等于0．

【历届中考题解析与注意的问题】

例9　已知a－b＝3，b＋c＝-5，则代数式ac－bc＋a²－ab的值是（　　）

A．-15

B．-2

C．-6

D．6

解题策略：由a－b＝3，b＋c＝-5，求不出a、b、c的值，但代数式ac－bc＋a²－ab进行变形后含有a－b、a＋c两式子，而a－b与b＋c的和为a＋c，把a－b、b＋c、a＋c都看作整体本题就可解答．

解：选C．

注意：整体思想的应用值得重视．