【知识结构框图表解】
【本节解读】
同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．一些同底数幂的表面形式可能不相同，但其本质是同底数幂，此时要善于应用相应法则进行转化．
【基础知识讲解与要点点拨】
1．同底数幂的乘法法则：准确掌握同底数幂的乘法法则的前提是对法则的由来有清晰的认识，从而达到深刻理解．同底数幂相乘运算法则的推导，其主要依据是以前已学习过的乘方意义和乘法结合律．
由上可知：对于任意底数a和任意正整数m，n都有：am·an＝am＋n（m、n为正整数）．
2．同底数幂的乘法法则适用于三个或三个以上的同底数幂的乘法运算．
（1）当三个或三个以上同底数幂相乘时，仍适用法则，即am·an·ap＝am＋n＋p（m、n、p都为正整数）．
（2）指数可以是数字，也可以是字母，但字母表示的数在此都是正整数．
（3）运算中一定要注意化成同底数幂后方能进行．
（4）最后结果应以不能化简为最终结果，但以10为底的幂，仍可以写成幂的形式．
3．逆用这个法则，也可以把一个幂分解为两个同底数幂的积．其中它们的底数与原来幂的底数相同，它们的指数之和等于原来幂的指数．如34＝33×31＝32×32等．
【典型例题精讲与规律、方法、技巧总结】
例1 下列算式是否正确？对错误的指出错误原因，并加以改正．
（1）a2·a2＝2a2
（2）x3＋x3＝x6
（3）x4·x4＝x16
（4）a·a2＝a2
解题策略：计算此类题目时应认真审察每个问题的运算形式，特别要分清幂的底数和指数．
解：（1）错．错在将a2·a2与a2＋a2混淆，结果应为a4．
（2）错．错在将x3＋x3与x3·x3混淆，结果应为2x3．
（3）错．错在把法则“底数不变，指数相加”，误作为“底数不变，指数相乘”，结果应为x8．
（4）错．计算时误把a的指数当作0，而a的指数应为1，结果应为a3．
注意：应用同底数幂的乘法法则时要注意：
（1）与整式的加减即合并同类项区分开．
（2）单个字母如x、y等的指数为1，而不是0．
例2 计算下列各题：
（1）a·a2·a3
（2）（x＋y）2·（x＋y）3
（3）（-x）2·x3·（-x2）
（4）（x－2y）2·（x－2y）m－1·（x－2y）m＋2
解题策略：在幂的运算法则中的底数，可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式．例如（1）中的a与（3）中的x是单项式；（2）中的（x＋y）与（4）中的（x－2y）是多项式，而指数可以是自然数，也可以是代表自然数的字母．
解：（1）a·a2·a3＝a1＋2＋3＝a6
（2）（x＋y）2·（x＋y）3＝（x＋y）2＋3＝（x＋y）5
（3）（-x）2·x3·（-x2）＝x2·x3·（-x2）＝-x2＋3＋2＝-x7
（4）（x－2y）2·（x－2y）m－1·（x－2y）m＋2＝（x－2y）2＋（m－1）＋（m＋2）＝（x－2y）2m＋3
注意：（1）中a的指数是1不是0；（2）中要注意区别（-x）2与（-x2）的不同，（-x）2＝x2，而-x2＝-1·x2；（4）中指数含有自然数和字母，相加时要合并同类项化简．
例3 计算下列各题：
（1）（a－b）3·（b－a）2
（2）-（-a）3·（-a2）·（-a）
（3）x3·x4＋x·x3·x3＋（-x）·（-x）3·x3
（4）（-a）3（-a）2·（-a）＋（-a4）（-a）2
解题策略：应用同底数幂的乘法法则时，应先把各式化为同底数幂，为此应熟悉下列转换等式：（a－b）2n＝（b－a）2n，（a－b）2n＋1＝-（b－a）2n＋1；计算时，结合乘法法则确定积的性质符号，第（3）、（4）小题为混合运算，应先根据同底数幂的运算性质进行乘法运算，再进行加减运算．
解：（1）（a－b）3·（b－a）2＝（a－b）3·（a－b）2＝（a－b）5
或（a－b）3·（b－a）2＝［-（b－a）］3·（b－a）2＝-（b－a）3·（b－a）2＝-（b－a）5
（2）-（-a）3·（-a2）·（-a）＝-（-a）3·（-a）·（-a2）＝-（-a）4·（-a2）＝-a4·（-a2）＝a6
或-（-a）3·（-a2）·（-a）＝-（-a3）·（-a2）·（-a）＝a3·a2·a＝a6
（3）原式＝x3＋4＋x1＋3＋3＋（-x）1＋3·x3＝x7＋x7＋x4·x3＝x7＋x7＋x7＝3x7
（4）原式＝（-a）3＋2＋1＋（-a4）·a2＝a6－a6＝0
注意：要特别注意运算中符号的处理，结合乘方的意义和乘法法则，通常宜将字母前的负号看作因数-1，且要熟悉并掌握（-1）2n＝1，（-1）2n＋1＝-1（n为正整数）．当代数式中负号较多时，可分别化简，也可整体处理，同时注意区分性质符号和运算符号．
【知识联系与拓展】
例4 化简：（a＋b－c）2n·（c－a－b）2n－1＋（a＋b－c）2n＋1·（c－a－b）2n－2
解题策略：题中的底数不同，在运算过程中，一要注意符号，二要注意化为同底数幂的形式，再运用同底数幂乘法法则进行．
注意：等式（a－b）2n－1＝-（b－a）2n－1（n为正整数），在同底数幂的乘法运算中经常出现．当底数互为相反数时可设法化为底数相同，但必须注意指数的奇偶性，指数是偶数时，底数可直接变为它的相反数；指数是奇数时，底数变为相反数时，所得的幂也为相反数．当底数出现多项式时，注意添括号法则的正确使用．
例5 探究下面问题的解题技巧．
计算：（-2）2006＋（-2）2007
解题策略：每项的指数太大，故不能硬算．考虑到指数2006与2007是连续整数，结合乘方的意义考虑，由22006×2＝22007得到22007＝2×22006，这是逆用同底数幂的乘法公式．本题的错误结果为-2．
解：（-2）2006＋（-2）2007＝22006＋（-22007）＝22006－22007＝22006－2×22006＝22006×（1－2）＝-22006
注意：本题的解法体现了一个非常重要的数学方法与技巧：逆向思维法，即逆向使用运算公式：am＋n＝am·an，逆用公式能把一些法则、公式从反方向角度加以应用，从而灵活、有效地解决问题．
试计算：34×35－32×36＋3×（-3）7．
解题策略：由题目特点，正用和逆用法则am·an＝am＋n，再逆用乘法分配律进行简化运算．
解：原式＝34＋5－32＋6－31＋7＝39－38－38＝3×38－38－38＝38×（3－1－1）＝38
注意：本题的解法还体现了转化的思想．即把一个式子灵活地变形为可与某些公式或法则的运用相接近的式子．上述的运算进程即是设法向逆用乘法分配律的方向接近．
例6 已知5x＋2＝a，试用含a的式子表示出5x．
解题策略：要用含a的代数式表示5x，即要把5x看成一个整体，因此，解答本题的关键是把5x＋2转化为含5x的式子，即把5x＋2转化成5x·52．
解：∵5x＋2＝a，
【历届中考题解析与注意的问题】
例7 化简a3·a3等于：（ ）
A．2a3
B．a6
C．a9
D．a0
答案：B．
分析：A选项错在把同底数幂相乘与合并同类项混淆．C选项错在应把指数相加而非相乘．
【知识结构框图表解】
【本节解读】
幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a2）3是3个a2相乘，读作a的2次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方．
【基础知识讲解与要点点拨】
1．幂的乘方的性质：幂的乘方运算性质的推出可直接借助于同底数幂相乘的法则．
从而得到（am）n＝amn（m，n为正整数）．
即：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
2．幂的乘方的性质与同底数幂的乘法性质的区别：
幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）．如（23）4＝23×4＝212，而23·24＝23＋4＝27．
3．逆用此法则，即amn＝（am）n＝（an）m，可帮助我们根据问题的需要灵活将式子变形．
即：amn＝（am）n＝（an）m
如x12＝（x3）4＝（x4）3＝（x6）2等．
【典型例题精讲与规律、方法、技巧总结】
例1 计算下列各题：
（1）-（107）2
（2）（am－1）2
（3）［（x－y）3］4
（4）（c2）n·cn＋1
解题策略：首先判断这些问题都符合幂的乘方的结构特征．注意在应用公式时不要与同底数幂的乘法法则混淆．幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）．
解：（1）原式＝-107×2＝-1014
（2）原式＝a（m－1）×2＝a2m－2
（3）原式＝（x－y）3×4＝（x－y）12
（4）原式＝c2n·cn＋1＝c2n＋n＋1＝c3n＋1
注意：在公式（am）n＝amn中，底数a可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
例2 计算：
（1）-22（x3）2·（x2）4－（x2）5·（x2）2
（2）（a2）m·（an）3－（am－1）2·（a3）n·a2
解题策略：判断题目的特征，正确选用公式，注意将结果化简．
解：（1）原式＝-4x6·x8－x10·x4＝-4x14－x14＝-5x14
（2）原式＝a2m·a3n－a2m－2·a3n·a2＝a2m＋3n－a2m＋3n＝0
注意：正确区分合并同类项与同底数幂的乘法及同底数幂的乘法和幂的乘方运算中指数的不同处理．
例3 已知：a3＝5，求：（1）（a2）3的值；（2）a9的值．
解题策略：观察题目的特点，可应用（am）n＝（an）m．
解：（1）（a2）3＝（a3）2＝52＝25
（2）a9＝（a3）3＝53＝125
【知识联系与拓展】
例4 已知am＝2，an＝3，求a2m＋3n的值．
解题策略：逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，即：amn＝（am）n；am＋n＝am·an．
解：因为am＝2，an＝3，
所以（am）2＝22＝4，（an）3＝33＝27．
所以a2m＋3n＝a2m·a3n＝（am）2·（an）3＝4×27＝108．
注意：逆用公式具有一定的灵活性，要认真观察题目的特点，巧妙变形．
【历届中考题解析与注意的问题】
例5 计算（a2）3的结果是（ ）
A．a5
B．a6
C．a8
D．a9
答案：B．
分析：本题显然是幂的乘方运算，依据法则，底数不变，指数相乘．
【知识结构框图表解】
【本节解读】
积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，如（ab）2，（-xyz）3等．
【基础知识讲解与要点点拨】
1．积的乘方的性质：积的乘方的运算性质的推出可借助于乘方的意义和乘法法则．
从而得到：（ab）n＝anbn（n为正整数）
即：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
这个性质适用于三个或三个以上因式的积的乘方．
2．在运用积的乘方的性质进行计算时，易出现漏掉部分因式乘方的错误，如：
（-3xy2）2≠-3x2y4等．
4．关于幂的三种运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方）法则的异同归纳如下：
【典型例题精讲与规律、方法、技巧总结】
例1 计算：（1）（-3m3n）3
（2）（-2a3b2）4
（3）-（-2a2b4）3
（4）（-2×104）4
解题策略：在应用积的乘方公式时，要分清底数含有几个因式，确保每个因式都进行乘方，并且还要注意系数的符号，特别是不能忽略系数为-1时的符号计算．
解：（1）原式＝（-3）3（m3）3n3＝-27m3×3n1×3＝-27m9n3
（2）原式＝（-2）4（a3）4（b2）4＝16a12b8
（3）原式＝-（-2）3（a2）3（b4）3＝-（-8）a6b12＝8a6b12
（4）原式＝（-2）4×（104）4＝16×1016＝1.6×1017
注意：在-（-2a2b4）3中，指数3只对括号内的负号起作用，对括号外的负号不起作用，在（-2×104）4的计算中，计算结果应用科学记数法表示．
例2 计算：
（1）3（a2）4·（-a3）3－（-a）·（a4）4＋（-2a4）2·（-a）3·（a2）3
（2）（2x4）2－2·（-x2）4－x4·（x2）2－（-x3）·（-x2）2·（-x）
解题策略：认真观察题中每一项的结构特点，正确选用公式，理清运算顺序，并特别注意符号的处理．
（2）原式＝4x8－2·x8－x4·x4－（-x3）·（x4）·（-x）＝4x8－2x8－x8－x8＝0
注意：综合运算时，类比有理数的运算顺序，理清整式的运算顺序，处理好符号是关键．如计算时分清（2x4）2与2（-x2）4，前者的底数为2x4，后者的底数为-x2，注意底数的每一个因式都要进行乘方．同时，计算时一般先确定幂的符号，再确定乘积的符号，最后还要正确区分合并同类项和同底数幂的乘法．
例3 以下各题的错解都是具有代表性的，仔细思考错在何处，并把错解改正过来．
计算：（1）a3·a3＝2a3
（2）x4＋x4＝x8
（3）（xy）5＝xy5
（4）（-2a3）4＝-16a12
（5）10×105＝1015
（6）x·x4·x4＝x16
解题策略：幂的三种运算法则本身较易混淆，并易与合并同类项搅在一起．在计算时，要认真审题，观察题中每一项的结构特征，正确选用公式，慎重处理符号．
解：（1）错在将同底数幂的乘法误作合并同类项，原式＝a6．
（2）错在将合并同类项误作同底数幂的乘法，原式＝2x4．
（3）把积的乘方公式用错，未将积中的每一个因式都乘方，原式＝x5y5．
（4）把积的乘方公式用错，（-2）4＝16，原式＝16a12．
（5）把同底数幂的乘法法则用错，10的指数为1，原式＝106．
（6）错在将同底数幂的乘法误作幂的乘方，且忽视了x的指数为1，原式＝x9．
【知识联系与拓展】
例4 用简便方法计算：
（1）（0.2）2006×（-5）2006
解：（1）原式＝（0.2）2006×52006＝（0.2×5）2006＝1
注意：幂的运算性质在有理数计算中也有应用，尤其是这些性质的逆向使用，常能使一些数的计算简化．本题各个乘方运算显然都难以轻松求得结果，分析数字特征，逆用公式，可灵活、有效地解决问题．
例5 计算：226×1.258
解题策略：由1.25×8＝10，联想到将其中一个底数变为8，指数也要为8，可将计算简化．
解：原式＝22×224×1.258＝4×（23）8×1.258＝4×（8×1.25）8＝4×108
注意：幂的运算法则的逆用有一定的灵活性和技巧性，要善于观察和把握题目的特点，并多作尝试．
例6 试比较3555，4444，5333的大小．
解题策略：三个数的指数均为111的整数倍，故联想到逆用幂的乘方运算公式．
解：3555＝（35）111＝243111
4444＝（44）111＝256111
5333＝（53）111＝125111
∵256111＞243111＞125111，∴4444＞3555＞5333．
注意：当几个数的指数变为相同时，它们的大小取决于每个数的底数．
【知识结构框图表解】
【本节解读】
单项式的乘法，关键是通过乘法的交换律和结合律，把它转化为幂的运算．单项式与多项式的乘法可采用我们已经熟悉的有理数运算中乘法分配律的应用来类比理解，并指导运算．
多项式与多项式的乘法，先将一个多项式的每一项分别与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，运算中利用到单项式与单项式的乘法和合并同类项．运算时要按一定的顺序进行，防止漏项和符号出错．
【基础知识讲解与要点点拨】
1．单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．
进行单项式乘法运算时，可按下面三个步骤进行：
（1）系数相乘——确定系数（特别注意符号）．
（2）相同字母相乘——底数不变，指数相加．
（3）不同字母相乘——连同它的指数照搬下来．
进行单项式乘法运算时应注意：
（1）计算系数时，先确定结果的符号，再把它们的绝对值相乘．
（2）相同字母相乘时，利用同底数幂的乘法法则“底数不变，指数相加”．
（3）在乘法结果中，不要漏掉只在一个单项式中含有的字母因式，应连同它的指数一起写在积里．
（4）单项式乘法中若有其他运算，应注意运算顺序：“先乘方，再乘法”．
（5）单项式相乘的结果仍为单项式．三个或三个以上的单项式相乘，法则仍适用．
2．单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．
利用图9-10，能验证单项式与多项式相乘的法则：
图9-10
计算大长方形的面积：方法（1）S＝m（a＋b＋c）
方法（2）S＝ma＋mb＋mc
从而得到：m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc．
由法则可看出：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律把问题转化为单项式的乘法，其思路是：
进行单项式与多项式乘法运算时应注意：
（1）非零单项式乘以不含同类项的多项式，乘积仍为多项式；积的项数与所乘多项式的项数相同．
（2）正确运用去括号法则来确定积中每一项的符号．
（3）含有乘方、乘法、加减法的混合运算中，要注意运算顺序，还要注意合并同类项，得到最简结果．
3．多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
利用图9-11，能验证多项式与多项式相乘的法则：
图9-11
大长方形的面积为：（a＋m）（b＋n）．
四个小长方形的面积分别为：ab，mb，na，mn．
得出：（a＋m）（b＋n）＝ab＋an＋mb＋mn．
由法则可以看出，进行乘法计算时，注意：
（1）运算时要按一定的顺序进行，防止重复，避免漏项．积的项数在没有合并同类项之前，应为两个多项式项数的积．
（2）运算时要注意积的符号，正确运用符号法则．
（3）运算结果中有同类项的要合并，并将最后结果按某个字母的降幂形式排列．
【典型例题精讲与规律、方法、技巧总结】
解题策略：第（1）小题是三个单项式相乘，可按单项式乘法法则一次完成，计算系数时，先确定结果的性质符号，再把绝对值相乘；第（2）小题中应先计算乘方，注意符号．
解题策略：乘方、乘法与加减的混合运算中，掌握正确的运算顺序是关键．通常情况下，应先乘方，再乘除，最后做加减．
注意：幂的运算与单项式乘法的混合运算易在运算顺序和指数计算中出错，还有符号的处理是关键．错误原因多是贪快图简，过程过于简略．
解题策略：在单项式乘法运算中，有时可把一个多项式看作一个整体，视作单项式，然后按单项式的运算法则进行计算．本题中，（x－y）与（y－x）不同底，可利用x－y＝-（y－x）转化．
解题策略：两题都是单项式与多项式相乘，若括号前是“－”号，去掉括号，要特别注意变号．第（2）小题的结果可按字母x进行降幂排列．
注意：用我们已经熟悉的有理数运算中乘法分配律的应用来类比理解单项式与多项式相乘的法则，并指导运算．
（2）2a（a2－ab－b2）－3ab（4a－2b）＋2b（7a2－4ab＋b2）
解题策略：本题涉及整式乘法与加减法的综合应用，解题时注意运算顺序，遇到同类项一定要合并．
解：（1）原式＝xy［4xy－2xy－x2y］＝xy（2xy－x2y）＝2x2y2－x3y2＝x3y2－2x2y2
注意：多项式中的每一项都是包含它前面的符号的，当括号前是“－”号时，为防止错误，应把单项式与多项式相乘的结果先用括号括起来，然后再去括号．
例6 计算：（1）（2a－3b）（3a－2b）
（2）（x－5y）（y＋4x）
（3）（x＋y）（x2－xy＋y2）
解题策略：多项式与多项式相乘时，先把一个多项式每一项分别与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，在乘积中，若有同类项，要合并同类项，特别注意的是不要漏项和符号出错．在第（2）小题中，两个因式中字母x与y排列顺序不一致，通常两个多项式相乘时，字母排列的顺序最好一致．如把二项式y＋4x改写成4x＋y，这样处理的目的是提高计算的正确性且有助于心算．
解：（1）原式＝2a·3a－2a·2b－3b·3a＋3b·2b＝6a2－13ab＋6b2
（2）原式＝（x－5y）（4x＋y）＝4x2＋xy－20xy－5y2＝4x2－19xy－5y2
（3）原式＝x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3＝x3＋y3
注意：多项式与多项式相乘，积的项数在合并同类项前应等于两个因式的项数之积．掌握这个规律，在运算过程中可检验是否有漏乘的项．
例7 计算：（a－2）（2a－1）（3a－2）
解题策略：三个或三个以上多项式相乘，可依次两个两个相乘．
解：原式＝（2a2－5a＋2）（3a－2）＝6a3－19a2＋16a－4
例8 先化简，再求值．
（-2x）2＋（2x－5y）（2x＋3y）－3y（4x－5y），其中x＝2，y＝-1．
解：原式＝4x2＋4x2－4xy－15y2－12xy＋15y2＝8x2－16xy
当x＝2，y＝-1时，原式＝8×22－16×2×（-1）＝64．
【知识联系与拓展】
例8 化简求值：-xy（x2y5－xy3－y），其中xy2＝-2．
解题策略：整体考虑的方法是贯穿中学数学学习始终的一个重要思想和方法，所以要理解这种方法的本质和应用技巧，时刻考虑它在解题时的应用．本题中，利用幂的乘方的运算性质，有效沟通了未知与已知间的关系．
解：原式＝-xy·x2y5＋xy·xy3＋xy·y＝-x3y6＋x2y4＋xy2＝-（xy2）3＋（xy2）2＋xy2
当xy2＝-2时，原式＝-（-2）3＋（-2）2＋（-2）＝10．
例9 已知（x2＋ax＋8）（x2－3x＋b）的乘积中不含x2项，也不含x3项，求a与b的值．
解题策略：先按多项式乘以多项式法则展开，得到9项，合并后有5项，系数中含有字母a，b．根据条件，乘积中不含x2，x3项，即可认为x2项，x3项的系数为0，从而得到关于a，b的二元一次方程组，进而求出a、b的值．
由于乘积中不含x2，x3项，因此有
∴a＝3，b＝1．
注意：本题所用的方法在数学中较为常用，称之为待定系数法．
【历届中考题解析与注意的问题】
例10 化简：（-2a）·a－（-2a）2结果是（ ）
A．0
B．2a2
C．-6a2
D．-4a2
答案：C．
分析：应先确定（-2a）·a与（-2a）2的符号，再合并同类项．这里-（-2a）2＝-4a2．
例11 下列运算中，不正确的是（ ）
A．3xy－（x2－2xy）＝5xy－x2
B．2a2b·4ab3＝8a3b4
C．5x（2x2－y）＝10x3－5xy
D．（x＋3）（x2－3x＋9）＝x3＋9
答案：D．
分析：D选项中乘积有一项乘错，应为x3＋27．
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