“平行四边形的判定”学习体验案例

刘从荣

一　教学设计

（一）知识点

平行四边形判定定理

（二）教学目标

1.掌握平行四边形的判定定理，并能灵活地运用平行四边形的性质定理和判定定理的知识进行有关证明，培养学生的逻辑思维能力。

2.通过观察、操作、实验、猜想、证明的活动，经历探索四边形是平行四边形的条件的过程，并在活动中发展学生的合作探究能力和推理能力。

3.通过动手实践、合作与交流，利用全等三角形的判定和平行四边形的定义证明平行四边形的判定；获得探究几何图形判定的基本思路。经历观察、归纳等教学活动过程，培养学生的合作精神和有条理的思考和探究的能力。

（三）教学重难点

教学重点：通过实际操作，探究分析、归纳、总结平行四边形的判定定理及应用。教学难点：判定定理在动点问题的灵活应用，一题多解。

（四）设计思路

1.复习巩固，情景导入

让学生复习平行四边形性质入手创设情境（引导学生思考、猜想从而揭示课题：平行四边形的判定。）

2.新知互动探究

合作学习中，通过教师对平行四边形性质逆命题的逐一提问，引起学生运用“观察——猜想——操作——验证——推理——归纳”的研究方法。）

3.知识拓展，定理应用

让学生探究用不同的方法验证一个四边形是平行四边形的体验。（学习活动中，加深学生一题多解，变式思维的体验。）

4.小试身手，巩固提高

根据所学四边形是平行四边形的条件，解决情境导入中的问题1：“碰碎实验室的一块平行四边形的玻璃片”，问题2：游戏——构成一个平行四边形。

5.知识总结

让学生回忆后归纳：平行四边形的四个判定方法；用几何符号表示：并与性质进行区别、比较。

（整节课按照“情境导入—提出问题—猜想操作—探索验证—解决问题—实践应用”的模式展开教学，从而培养学生的问题意识能力、实践操作能力、语言表达能力及解决问题能力等。）

二　教学过程

片段一　温故知新，创设情景

师：平行四边形有哪些性质？

生1：平行四边形的对边平行且相等。平行四边形的对角相等，邻角互补。

平行四边形的对角线互相平分。

师：以上性质可以用其他方式表示吗？

生2：几何符号表示。

师：几何符号怎样表示？

∵四边形ABCD为平行四边形　∴∠A=∠C，∠B=∠D

∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°

∵四边形ABCD为平行四边形　∴OA=OC，OB=OD

问题：学生在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的玻璃片，只剩下如图所示的部分，他想割一块赔给学校，带上剩下的玻璃去不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来，带上图纸去就行了。（见图一）

师：原来的平行四边形怎么给它画出来呢？

生1：A，B，C为三个顶点，即找出第四个顶点D。

生2：平行四边形的第四个顶点D怎样找？

（师：问得好！凭我们目前所学的知识有一定的困难，但学了今天的知识后就知道了。）

从而揭示课题：板书“平行四边形的判定”。

片段二　启发诱导，自主探究

（引出问题1）

师：平行四边形的定义是什么？

生1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

师：它有什么作用？

生2：它有正反两方面的应用，

生2：此处正反两方面的作用是什么意思？

生2：它既可以作为平行四边形的性质，又可以作为平行四边形的判定。

（教师引导学生根据平行四边形的定义动手作图，找出以上图一的第四个顶点D后，教师演示Flash动画。）启发学生归纳得出：

平行四边形的判定　两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

师：用几何符号怎样表示？

生2：∵AB∥CD；AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形

（教学反思：注重了学生独立思考，培养了学生用规范、准确的几何语言文字表达和几何符号表示，而忽略了课堂中学生全员参与的积极性。）

（引出问题2）

师：平行四边形的对边相等的逆命题是什么？

生1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

生2：它是真命题吗？

师：问得好！请同学们猜一猜：此命题成立吗？

生（众）：命题成立，是真命题。

师：同学们能通过实验来验证你的猜想吗？

生（众）：能。

师：马上开始。

（指导学生以小组为单位合作：动手操作，将课前准备好的两长两短分别相等的四根木条用小钉绞合在一起，拼成一个平行四边形，并观察，转动这个四边形，使它改变形状，在图形变化过程中。它一直是平行四边形吗？）

众生讨论结果：只有将两两相等的木条分别作为四边形的两组对边才能得到平行四边形。

通过观察、实验验证得到：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

师：同学们能结合图形推理证明吗？

已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD。

求证：四边形ABCD是平行四边形。

生：能。

师：马上开始。

（让学生先独立分析思考，小组合作交流探索，再启发诱导，把证明平行四边形的问题逐步转化为证明线平行、角相等、三角形全等。同时向学生渗透化归的思想，让学生口述其推理论证的过程。教师用多媒体flash动画演示证明过程。）

启发学生归纳得出：平行四边形的判定　两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

师：用几何符号怎样表示？

生1：∵AB=DC，AD=BC　∴四边形ABCD是平行四边形

师：用此判定方法能解决以上图一的问题吗？

生：能。

生1：怎样解决？

生2：分别以A、C为圆心，以BC、BA为半径画弧，两弧相交于点D，找出第四个顶点D。就作出了平行四边形。

（全班掌声激励，教师利用多媒体Flash动画演示）

（教学反思：学生在拼四边形时，学生与学生的互动缺少价值性，有好多互动的问题只是停留在解决问题的表面层次。学生在展示期间应该多给他们一些反思消化的时间，利用好帮扶小组，查缺补漏，提高课堂的学习效果。本课设计中让学生经历猜想，再动手尝试、确认这一学习过程，然后通过质疑、思考、讨论，充分发挥学生的想象力和集体的智慧，发展学生的概括能力，不仅能更好地激发学生的学习兴趣，更重要的是培养学生的创新意识和创新能力。忽略了指导学生将相等的两根木条作为平行四边形的对边，导致部分同学拼平行四边形未成功。）

（引出问题3）

师：平行四边形的对角相等的逆命题是什么？

生1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

师：请同学们猜想：此命题是真命题吗？

生（众）：是真命题。

师：同学们能根据以下题意结合图形推理证明吗？

已知：在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D。

求证：四边形ABCD是平行四边形。

生（众）：能。

师：先独立思考，再小组合作讨论，小组代表口述证明思路。

生2：我上黑板写推理过程：

（教师引导学生小组合作交流，一名同学口述证明思路，另一名同学板演口述证明思路，其余同学自己书写证明思路，集体点评。）

启发诱导学生归纳得出：

平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

师：用几何符号怎样表示？

生3：∵∠A=∠C，∠B=∠D ∴四边形ABCD是平行四边形

（反思：给予学生独立思考时间和空间太少了，忽略了学生自主学习能力）

（引出问题4）

师：平行四边形的对角线互相平分的逆命题是什么？

生1：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

师：请大家猜想此命题是真命题吗？

生（众）：真命题。

师：同学们能通过实验来验证你的猜想吗？

生2：能，将两根细木条的中点重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木头的顶点，做成一个平行四边形。

师：观察：转动两根木条，四边形一直是平行四边形吗？

生（众）：通过观察：是平行四边形。

师：还有其他方法验证此命题是真命题吗？

生3：有，比如在实验室碰碎的一块平行四边形的玻璃片，见以上图一，连接AC，找出AC的中点O，连接BO，并延长BO到D，使BO=DO，连接AD、CD便得到平行四边形ABCD。

师：怎样证明它是一个平行四边形？

生4：（举手）我上黑板讲并写证明过程

证明：∵AO=CO，BO=DO，∠1=∠2

∴△AOB≌△COD

∴∠3=∠4

∴AB∥CD

同理AD∥BC

∴四边形ABCD是平行四边形

师：掌声激励。

启发诱导学生归纳得出：

平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

师：用几何符号怎样表示？

生5：∵AO=CO，BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形

师：现在有多少种判定平行四边形的方法了？

生6：1.用定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

∵AB∥CD；AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形

2.判定定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

∵AB=CD，AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形

3.判定定理2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

∵∠A=∠C，∠B=∠D ∴四边形ABCD是平行四边形

4.判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

∵AO=CO，BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形

（教学反思：在实施开放式教学过程中，注重引导学生在课堂活动中感悟知识的生成、发展与变化，培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作交流的能力。将创新的教材、创新的教法与创新的课堂环境有机地结合起来，将学生自主学习与创新意识的培养落到实处。）

片段三　新知应用，点击范例

（出示例题3）

例3：已知：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC上的两个动点，使AE=CF。则四边形BFDE是平行四边形吗？

师：能证明四边形BFDE是平行四边形吗？

生（众）：能。

师：马上寻找证明方法，（先独立思考，然后小组合作交流、讨论）

生1：根据四边形ABCD是平行四边形，得出AO=CO，BO=DO；又有AE=CF得

AO－AE=CO－CF即OE=OF；根据判定定理3得四边形BFDE是平行四边形。

师：还有其他证明方法吗？

生2：有，先证明△ABE≌△CDF得BE=DF；在证明△AED≌△CFB得DE=BF；根据判定定理1得四边形BFDE是平行四边形。

生3：我还有另外两种证明方法，根据平行四边形的定义和判定定理2也可证明。

师：回答得很好，比较一下哪一种证明方法更简单。

生1：我这种方法简单一些。

师：正确，点拨：在以后的证明题中，尽量寻找简单的方法进行证明，也可按照适合自己的方法进行证明。

师：两名同学板演，看谁写得又对又好，其余同学按照自己的方法书写证明过程。

（写完以后，同学们相互检查、点评、订正。）

师：若把例3中E、F移动到OA、OC的延长线上，仍使AE=CF，则结论还成立吗？

生1：成立，根据四边形ABCD是平行四边形，得出AO=CO，BO=DO；又有AE=CF得AO+AE=CO+CF即OE=OF；根据判定定理3得四边形BFDE是平行四边形。

师：若把例3中AE=CF改成“BE//DF”结论还成立吗？

生1：成立，因为四边形ABCD是平行四边形，得OB=OD；因为BE//DF，得

∠BEO=∠DFO，又因为∠EOB=∠FOD，所以△BEO≌△DFO得OE=OF。根据判定定理3得四边形BFDE是平行四边形。

师：若把例3中的AE=CF改成“BE⊥AC，DF⊥AC“结论还成立吗？

生1：成立，因为四边形ABCD是平行四边形，得OB=OD；由BE⊥AC，DF⊥AC得∠BEO=∠DFO=90°，又因为∠EOB=∠FOD所以△BEO≌△DFO，得OE=OF。根据判定定理3得四边形BFDE是平行四边形。

师：三位同学回答非常正确。

（教学反思：学生的数学语言的规范性不够，有部分同学在叙述定理或定义时语言不够严谨。在知识迁移过程中，注重了学生思维能力培养和语言表达训练，忽略了给予大多数同学独立思考的时间和空间，从而未充分调动全员参与的积极性。需要改进的是：对学生例题时间安排略紧一些，没有能充分展示学生的解题过程。）

片段四　小试身手

（问题解决）

图一

问题1：学生在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的玻璃片，只剩下如图所示的部分，他想割一块赔给学校，带上剩下的玻璃去不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来，带上图纸去就行了。（见图一）

生1：怎样找出原来的平行四边形第四个顶点D？然后把它画出来呢？

生2：过点A、C分别作BC，AB的平行线相交于点D，连接AD、CD即可画出平行四边形。

生3：以A、C为圆心，分别以BC，AB为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD、CD，就画出完整的一块平行四边形的玻璃片。

生4：作∠C=∠A，∠D=∠B即可。

生5：连接AC，找出AC的中点O，连接BO，并延长BO到D，使BO=DO，连接AD、CD便得到平行四边形ABCD。

（反思：此练习训练了学生语言表达能力，忽略了实践操作。）

（小游戏　看谁反应快）

师：根据学生的座位（正方形）情况，任选三位不坐在同一直线的同学（生1、生2、生3）为一个平行四边形的三个顶点，那么第四个顶点应是哪个座位的同学？请站起来。

（同时站起来三位同学，引起了全班激烈的掌声。）

师：哪位同学说一下同时站三位同学的理由？

生4：生1、生2、生3和第四位同学作为一个平行四边形的四个顶点，分三种情况：站起来的第一位同学为生1的对角，站起来的第二位同学为生2的对角，站起来的第三位同学为生3的对角。

师：把同学们站的平行四边形在作业本上作出来。

生5：教室学生的座位形状不一样，第四位同学作为一个平行四边形的四个顶点，已有三种情况吗？

师：问得好！请同学们讨论一下，找出解决此问题的办法。

生5：作为一个平行四边形的四个顶点，答案可能有三种情况：第一种答案是只能站一位同学；第二种答案是站两位同学；第三种答案站是站三位同学。

生6：学生的座位在什么形状下答案分三种情况？

师：请同学们利用课余时间研究生6的问题。

（教学反思：学生提出了一个有探索价值的问题，教师怕耽误时间未指导学生即刻展开讨论，错过了很好的探索机会。）

三　学习体验

（一）复习旧知，由生活实际问题导入情境，激发学生学习兴趣

本节课在引入的环节上，采用复习引入的方式。首先复习了平行四边形的定义和性质，唤起学生对已有知识的回顾，引导学生复习平行四边形概念和性质的基础上，由生活实际问题导入问题情境，以问题唤醒学生的回忆，引起学生的思考。提出问题：让学生带着问题开始学习活动。学生在教师的引导下，让学生明确平行四边形的定义既是它的性质，又是它的判定，目前判定一个四边形是不是平行四边形的方法只有定义。从而引出本节课的学习内容，并学会三个逆命题的准确的文字表达。提出猜想，通过拼图观察、展示和组内合作，探索发现、实验验证、完成证明过程，归纳判定方法。并用所学判定方法和定义解决较为复杂的数学问题，让全体学生经历合情推理和演绎推理的全过程，使“双基”得到有效落实，推理能力得到锻炼。与此同时，情感、态度、价值观等伴随着知识技能的学习与运用过程而得到相应的发展。同时，让学生初步感受平行四边形的性质与判定的区别与联系，为平行四边形的性质和判定的综合运用作了铺垫。

（二）创建和谐课堂，培养学生探究能力，发展学生合情推理能力

课堂上，我建构了自由、平等、宽松、向上的课堂文化，学生积极、踊跃参与学习活动的全过程，热情高涨而持久。教师适时地组织、引导学习活动，倾听而不干预地关注学生的学习活动，以平等的态度与学生交流对话，帮助学生解决学习中的困难，鼓励学生表达自己的见解，体现了新型的和谐师生关系。教学中鼓励学生积极合作，充分交流，帮助学生在学习活动中获得最大的成功，促使学生学习方式的改变，从而使学习成为学生想去做、乐于做的事情，使教学成为教师展示自己与促进学生发展的舞台，使课堂成为师生的互动乐园。

本节课的判定定理的教学，我都是让学生自己动手、实验，观察、猜想、推理等活动得出的，平行四边形的判定让学生明确本节课的学习任务，起到了提纲挈领的作用。学生亲历将两两相等的木条作为对边得到平行四边形这个知识的发生过程，并通过拼图、观察、猜想、验证、归纳判定等，经历知识的发展形成过程，体验了“发现”知识的快乐，变被动接受为主动探究。

证明命题是一个难点，因此采用先独立思考、小组合作、再由教师引导，把证明平行四边形的问题逐步转化为证明线平行、角相等、三角形全等，体现化归的思想。也使学生有一个不断的自我矫正的过程，突破了难点前面的文字表达和这里的符号表示是理解判定方法的重要方面。

从所学的知识、探究的方法、数学学习方法等多个角度去回顾，学生动手、实验，亲历知识的发生、发展过程，体会运用“观察—实验—猜想—验证—推理”的研究方法，并在探究的过程中学会与人合作，充分交流，帮助学生在学习活动中获得最大的成功，促使学生学习方式的改变。

（三）变式训练，促进学生问题意识培养

对于例3的问题：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC上的两个动点，使AE=CF。则四边形BFDE是平行四边形吗？

这组题的难度拾级而上，由浅入深，体现知识呈现的序列性。我的教法是直接运用已学的三种平行四边形的判定方法。对平行四边形性质和判定的综合运用的基础上，变换E、G、F、H的位置，降低了学生思维的难度。并通过对例题的进一步变式，让学生体会各条件的内在联系，抓住“对角线互相平分”这一本质特征。通过多种渠道、多种策略地解决问题，培养学生思维的发散性和广阔性。

（四）情境问题解决，激趣教学（游戏），促进学生个性发展

课堂练习，我设计了两个练习题，第一个情境问题，让学生用平行四边形的判定采用不同的方法解决。体现“一题多解”的能力。第二个游戏问题，为了让学生“乐”学，我通过游戏、拼图极大地激发了学生的学习兴趣，提高了学习的效率。通过游戏加深对“两组对边分别平行、两组对边分别相等的四边形是平行四边形”这两种判定方法的理解，提高学生的运用能力和学习兴趣，活跃了课堂气氛，体现了“寓教于乐”的思想。