主成分分析法（Principal Components Analysis，简称PCA）是一种数学变换的方法。基于降维思想，这一方法可以将原本多个且彼此相关的变量通过线性变换转换为少数几个且彼此独立的综合变量，这些保留了原有变量主要信息的新的综合变量便被称为主成分。鉴于粮食安全影响因素的多维性及部分因素间存在相关性的特点，运用主成分分析法对我国粮食安全状况进行评价是较为合适的。
1.主成分分析法数学原理与模型介绍
假设共收集到n个样品，每个样品观测到p个随机变量（记为x1，x2，…，xp），组成一个n×p阶矩阵X：
主成分分析方法就是要利用p个原始变量（x1，x2，…，xp）来构造少数几个新的有代表性的综合变量，即对原始变量进行线性组合，在保留每个原始变量绝大部分信息的同时，组成个数较少、彼此独立的新的综合变量。因此，我们定义x1，x2，…，xp为原始变量，f1，f2，…，fm（m≤p）为新的综合变量，每一个新的综合变量均是p个原始变量的线性组合：
且满足如下两个条件：
（1）fi与fj相互独立，其中：i≠j；i，j＝1，2，…，m
（2）f1为原始变量x1，x2，…，xp的一切线性组合中方差最大者；f2为独立于f1的原始变量x1，x2，…，xp的一切线性组合中方差最大者；以此类推，fm为独立于f1，f2，…，fm-1的原始变量x1，x2，…，xp的一切线性组合中方差最大者。
由此，我们得到了新的综合变量f1，f2，…，fm，并分别将其称为原始变量的第一、第二……第m主成分。
可见，主成分分析就是确定p个原始变量x1，x2，…，xp在各个主成分fi（i＝1，2，…，m）上的系数kij（i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，p）。从数学上可以证明，它们是p个原始变量（x1，x2，…，xp）相关矩阵的前m个较大特征值所对应的特征向量，而各个综合变量fi的方差VAR（fi）是对应的特征根λi，各个主成分的方差贡献大小按特征根依次递减排列，即λ1≥λ2≥…≥λp≥0。事实上，主成分分析就是把p个原始变量的总方差分解为了p个不相关随机变量的方差之和，即λ1＋λ2＋…＋λp；第i个主成分在总方差中所占的比重或总方差总被第i个主成分所解释的比例便称为第i个主成分的贡献度，可用式（7.3）的公式来表示；前m个主成分的累计贡献度则衡量了这m个主成分共同对原始变量的解释程度，可用式（7.4）来表示。一般而言，以初始特征值大于1或是累计贡献度达到85%以上为限来确定所保留的主成分个数。
2.基于主成分分析法的我国粮食安全评价
本书使用SPSS20.0软件，选取1985-2012年的时间序列数据，对表7.1所构建的我国粮食安全评价指标体系进行主成分分析，以期找出体现我国粮食安全状况的主要成分，并计算我国粮食安全的综合评价值。软件分析结构如下：
表7.2相关矩阵检验结果显示，所选取变量的KMO统计量为0.788，Bartlett检验的F值为0.000，表明这些数据较适合作主成分分析。
表7.2 KMO和Bartlett的检验
表7.3显示的是提取后的公因子对各原始变量的解释程度，这15项因素的共性方差均大于0.5，且大多数都接近或超过了0.9，这表明所提取的公因子能够很好地反映原始变量的主要信息。
表7.3 变量的公因子方差
续表
提取方法：主成分分析。
表7.4为主成分分析的结果，包含了15个因子的初始特征值和提取5个因子成分后的特征值情况。前3个因子的初始特征均大于1，但前3个因子的累计贡献率仅为83.842%；尽管第4、5个因子的初始特征值均小于1，但前5个因子的累计贡献率达到了93.385%；从图7.1中也可以看出前5个因子成分能够概括大部分信息。因此，把前5个因子作为主成分来进行后续分析。
表7.4 主成分分析结果
续表
提取方法：主成分分析。
图7.1 碎石图
表7.5显示了各个变量在5个主成分上的载荷情况。由主成分分析的数学原理可知，主成分的经济意义表现为线性组合中系数较大的几个原指标的综合。结合表7.4，成分1的权重达到了62.712%，成为最为重要的影响因子。这一因子在反映粮食生产的农业机械总动力（x1）、化肥施用量（x2）、有效灌溉面积（x3）、单位面积产量（x5）指标上及反映粮食需求的城市化率（x7）、加工用谷物类粮食占谷物类粮食产量的比重（x10）指标上载荷均在0.9以上，故可以认为成分1是影响粮食安全的硬性供需因子。成分2以12.281%的贡献率成为影响粮食安全的次级重要因子，这一因子在反映粮食贸易的粮食进口依存度（x11）、粮食储备变动（x12）指标上载荷较大，故可以认为成分2是影响粮食安全的贸易调控因子。成分3、成分4和成分5三者的累计贡献率为18.392%，三者主要在粮食价格指数（x13）、废水排放增长率（x14）、工业废气排放增长率（x15）指标上载荷较大，故可以认为这三个主成分同为影响粮食安全的价格与环境调控因子。综上所述，粮食的生产与需求是影响粮食安全最主要的因素，粮食进口是影响粮食安全的不可忽视的重要调控因素。
表7.5 主成分载荷矩阵
提取方法：主成分分析。
通过对历年来我国粮食安全情况在5个主成分上的得分和5个主成分的方差贡献率进行加权求和，得到了我国历年粮食安全程度的综合得分情况（如表7.6所示）。表中数据较清楚显示了近几十年来我国粮食安全的变动情况及发展趋势。在市场化改革初期，随着粮食产量的稳步提高，粮食流通问题不断突出，国内市场供过于求，统购统销的政策下的“卖粮难”、购销价格“倒挂”等现象极大地降低了农民种粮的积极性；而随着改革的进行，工业的发展在吸引了更多农民进入城市而放弃种粮的同时，还不断加大了对粮食的个性需求，使得世纪之交我国粮食市场供需缺口偏大，粮食安全程度没有根本性的好转。加入WTO后，我国粮食市场的改革也不断深入，惠农支农政策也不断落实，粮农种粮积极性不断提高，运用国际市场调节国内粮食供需矛盾的力度也不断加大，我国粮食安全压力逐步缓解。整体而言，我国粮食安全状况趋于好转，但仍需警惕各项因素变化带来的影响。
表7.6 我国历年粮食安全综合得分情况
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