最优后续决策模型

9.2 最优后续决策模型

为便于分析，提出如下基本假设：

①风险投资家VC是理性的决策主体^［95］，能够通过学习最大程度消除初创企业的不确定性。

②不考虑VC资金不足和投资偏好等问题，拥有的折扣率r（0，1），其将依据期望收益理论进行后续投资决策。

③初创企业在其发展过程中不产生中间收益。以是否盈利为界，假定初创企业在投资阶段完全结束后仅有两种可能性：高收益U^H和低收益U^L。

④市场是充分有效的，且风险企业家EN完全传递了信号，未对信号进行“窗饰”。

本章将初创企业最终的自然状态刻画为二项结构：高收益U^H和低收益U^L，即＝｛U^H，U^L｝，令U^H＝R；不失一般性，令U^L＝0。为进一步刻画初创企业的不确定性，我们引入初创企业获得高收益的概率^{［196－198］}，用来表示VC对初创企业的先验认识。令VC在初始投资时认为该初创企业获得高收益这一事件的概率为p₀，即p₀＝P（U^H），p₀可看作VC认为该初创企业获得高收益的初始概率（以下简称VC的初始概率），VC认为该初创企业获得低收益的初始概率为1－p₀，即1－p₀＝P（U^L），其中0＜p₀＜1。

表9－1　初创企业在高收益和低收益条件下观察到信号的概率分布

假设第t阶段的投资额为I_t，I_t＞0；在第t阶段信号总数被记为n_t，n_t是个泊松过程，归纳为

其中n_t（0）＝0。

第t阶段获得信号s^g_t的个数为g_t（g_t≤n_t），因此，dg_t＝μdn（t），其中：

且g_t（0）＝0。

因此，VC对初创企业获得高收益的认识为p_t（n_t，g_t），其中对初创企业的初始认识为p₀（0，0）＝p₀。

下面对VC后续增资决策进行分析。

运用贝叶斯公式，得

其中，k_t＝2g_t－n_t及。

容易理解，k_t刻画了该初创企业在第t阶段的信号状态。因此，决定VC增资与否的关键在于k_t的选取，若能得到足够多的信号肯定能使得VC作出增资的决策。VC的后验概率可以描述为＝p），则VC在第t阶段的后续投资决策有三种情况。

第一种情况：当k_t≥，即p（k_t）≥，此时，VC的最优决策是直接进行增资。在这种情况下，初创企业对于VC的价值记为Ω，其值等于期望收益，即

第二种情况：当在新的信号到来之前，即k_t＜－1，此时不是最优的增资时机，应继续等待。对于VC而言，该初创企业的投资价值记为V₁，可以建立以下的二阶微分方程：

式（9－3）说明在状态k_t时的投资期权价值等于一个很小量时间的贴现期望价值。对式（9－2）应用贝尔曼法则可得出投资的连续区域：

将式（9－5）代入式（9－3）并让dt趋近于零。整理各项，得贝尔曼方程：

式（9－7）是一个二阶线性差分方程，其通解为

其中，A是常量，β是下列方程的解：

方程式（9－9）有两个根，分别为

因为（0）＝λ_t（1－λ_t）＞0及Ψ（1－λ_t）＝（1－λ_t）≤0，所以有β₁≥1－λ_t及0＜β₂＜1－λ_t，如图9－1所示。

第三种情况：当时，此时k_t的值正好处于不会立即增资的范围。在这个范围内，VC投资的价值函数V₂必须满足下列贝尔曼方程：

求解式（9－12），得

把式（9－11）、式（9－2）、式（9－4）和式（9－5）代入式（9－13），得

如果有一个信号到来，则落到k_t≥的区域；如果有一个信号到来，则落到k_t＜的区域。因此，V₂（k_t）的值完全由V₁（k_t－1）和Ω（k_t＋1）决定。于是，VC的投资价值函数V（k_t）可以表示如下：

当k_t＜－1时，

当－1≤k_t＜时，

当k_t≥时，

V（k_t）＝U^Hp（k_t）－I_t

我们利用边界条件得到关键值。首先，如果信号的个数相对于信号的个数更容易得到的话，则VC的投资价值趋于零，即

这就意味着我们仅仅需要考虑最大根β₁，因此A₂＝0。为求出A₁和，我们可通过连续条件V₁－1）＝V₂－1）和价值条件V₂＝Ω获得。

由V₂＝Ω，得

将A₁代入式（9－14），得

其中

信号相对于信号的最优个数由决定，其中为

由式（9－17）右端对p₀求偏导，其中，得。因此，可以发现随着p₀的增大而递减，即当VC对初创企业获得高收益的初始概率很大时，只需要很少的信号就能使得VC增资于该初创企业。

定理　当初创企业第t阶段的总信号数n_t和信号的数量g_t满足集合Β＝｛（n_t，g_t）∈Ν×Ν｜g_t≤n_t，2g_t－n_t≥［k_t^＊］＋1｝时，增资是最优决策（由第一种情况可知）。

上述定理给出了VC在第t阶段实施增资决策时总信号数量n_t和信号数量g_t的量化关系式。

命题　当

条件下，实施增资时的后验概率p^＊随着I_t、r和λ_t的增大而增大（由式（9－16）可得）。