1．3．1 资金时间价值的含义
资金时间价值是指货币经历一定时间的投资和再投资所增加的价值，也称为货币时间价值。 资金时间价值的实质是没有风险和没有通货膨胀条件下的社会平均利润率，是利润平均化发生作用的结果。
在没有通货膨胀或通胀率很低时，政府债券的利息率可以视为资金时间价值的一种具体表现。 为了方便教学，我们假定利息率、利润率、贴现率等也可以在一定程度上代表货币时间价值。
想一想：
将100000元存入银行，假设银行年利率3％，1年以后将得到本息103000元。这一经济活动中体现的资金时间价值是多少？
1．3．2 单利终值和现值的计算
利息的计算有单利和复利之分。 以首期的本金为基数计算所得的各期利息就叫单利；以本金与前期累计的利息之和为基数计算所得的各期利息就叫复利。 可见，单利对本金所产生的利息不再计算利息，每期计算基数相同；复利是对本金及其产生的利息一并计算，也就是“利滚利”，每期计算基数是不同的。
终值又称将来值，是现在一定量的资金折算到未来某一时点所对应的金额，一般指某年年末价值，记作F。 现值是指未来某一时点上的一定量资金折算到现在所对应的金额，记作P。 现值和终值是一定量资金在前后两个不同时点上对应的价值，其差额即为资金的时间价值。
为计算方便，我们假定有关字母的含义如下：
I为利息；F为终值；P为现值；i为利率（折现率）；n为计算利息的期数。按照单利的计算法则，单利利息的计算公式为：
I＝P·i·n
单利终值的计算公式为：
F＝P＋P·i·n＝P（1＋i·n）
【例1-1】宏远公司将100万元资金存入银行，单利年利率5．25％，求5年后的资金为多少？
【解析】
F＝［100×（1＋5．25％×5）］万元＝126．25万元
从以上计算可知，5年后宏远公司的资金为126．25万元。
单利现值的计算同单利终值的计算是互逆的，由终值计算现值的过程称为折现。 单利现值的计算公式为：
P＝F／（1＋i·n）
【例1-2】王先生希望在5年后取得本利和200000元，用于支付一笔款项，则在利率为5．25％，单利方式计算的条件下，此人现在需存入银行的资金为多少？
【解析】
P＝［200000÷（1＋5．25％×5）］元＝158415．84元
从以上计算可知，王先生现在需存入银行的资金为158415．84元。
1．3．3 复利终值和现值计算
我们在长期投资决策计算时，通常采用复利制。 因为企业在生产经营过程中，运用资金一次循环所得的利润，应投入下一次循环中，这一过程与复利制的原理一致。
1）复利终值计算
复利终值是指一定量的本金按复利计算的若干年后的本利和。 复利终值的计算公式为：
F＝P（1＋i）n
式中，（1＋i）n称“复利终值系数”，记作（F／P，i，n），可以通过查阅“复利终值系数表”直接获得。 F为终值；P为现值；i为利率（折现率）；n为计算利息的期数。
【例1-3】佳谊公司现在准备一笔资金580000元用于3年后的设备更新，若复利利率为4％，该公司3年后可用于设备更新的资金为多少？
【解析】
F＝［580000×（F／P，4％，3）］元＝（580000×1．1249）元＝652442元
从以上计算可知，佳谊公司3年后可得到652442元用于设备更新。
2）复利现值计算
复利现值是指在将来某一特定时间取得或支出一定数额的资金，按复利折算的现在价值。 它是复利终值的逆运算。 其计算公式为：
【例1-4】景云公司准备5年后要用250000元偿还欠款，在复利利率为6％的条件下，公司现在需要向银行一次性存入多少款项？
【解析】
P＝［250000×（P／F，6％，5）］元＝（250000×0．7473）元＝186825元
从以上计算可知，景云公司现在需要向银行一次性存入186825元。
想一想：
1．复利终值系数与复利现值系数的换算关系如何？
2．随着贴现率的增加，复利现值和复利终值如何变化？ 为什么？
3）名义利率和实际利率换算
在实际业务中，复利的计算期不一定是1年，可以是半年、一季或一月复利一次。 当利息在一年内要复利几次时，给出的年利率称名义利率，用r表示，根据名义利率计算出的每年复利一次的年利率称实际利率，用i表示。 当利息在一年内要复利m次时，实际利率一定大于名义利率。
实际利率与名义利率之间的换算关系如下：
式中，r表示名义利率；m表示每年复利次数；i表示实际利率。
【例1-5】如果你现在存入银行10000元，年利率5％，每季度复利一次。 那么2年后能取得多少元本利和？
【解析】先根据名义利率与实际利率的关系，将名义利率折算成实际利率：
i＝（1＋r÷m）m-1＝（1＋5％÷4）4-1＝5．09％
再按实际利率计算资金时间价值：
F＝P（1＋i）n＝［10000×（1＋5．09％）2］元＝11043．91元
或者（将已知的年利率r折算成利率r÷m，期数变为m×n）：
F＝P（1＋r÷m）m×n
＝［10000×（1＋5％÷4）2×4］元
＝11044．86元
一年内复利几次时，实际利率一定大于名义利率，当然，实际得到的利息也比按名义利率计算的利息高。
1．3．4 年金终值与现值的计算
年金是等额定期的系列的收支，记作A。 年金具有两个特点：一是金额相等；二是时间间隔相等。 在现实工作中年金应用很广泛。 例如，分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入等，都属于年金收付形式。 年金包括普通年金（后付年金）、先付年金（即付年金）、递延年金、永续年金等形式。 年金收付间隔的时间不一定是1年，可以是半年、一个季度或者一个月等。 年金收付的起止时间可以是从任何时点开始，如一年的间隔期，不一定是从1月1日至12月31日，可以是从当年7月1日至次年6月30日。
1）普通年金终值和现值的计算
普通年金是指在每期的期末、间隔相等时间、收入或支出相等金额的系列款项，也称为后付年金。 其收付形式如图1-1所示。
（1）普通年金终值的计算
普通年金终值是一定时期内每期期末收付款项的复利终值之和。 其计算公式为：
F＝A＋A（1＋i）＋A（1＋i）2＋A（1＋i）3＋…＋A（1＋i）n-1
图1-1 普通年金示意图
等式两边同乘（1＋i）可得：
F（1＋i）＝A（1＋i）＋A（1＋i）2＋A（1＋i）3＋…＋A（1＋i）n
上述两式相减：
F（1＋i）-F＝A（1＋i）n-A
上式也可写作：
F＝A·（F／A，i，n）
【例1-6】京润公司准备3年后，购置一台预计价值为350万元的大型设备。现每年年末从利润中留成110万元存入银行，年利率为10％，问3年后这笔资金是否足够购买这台大型设备？
【解析】先计算每年年末从利润中留成110万元的款项3年后的价值，然后与大型设备的预计价值比较。 当该笔资金3年后的价值大于大型设备的预计价值时，才足够购买。
每年年末从利润中留成并存入银行的款项相等，表现为普通年金，求3年后的价值，即为普通年金终值。
F＝［110×（F／A，10％，3）］万元＝（110×3．3100）万元＝364．1万元
从以上计算可知，该笔资金3年后的价值为364．1万元，大于大型设备的预计价值350万元，所以足够购买。
（2）普通年金现值的计算
普通年金现值是在每期期末取得相等金额的款项现在需要投入的金额。其计算公式为：
P＝A（1＋i）-1＋A（1＋i）-2＋A（1＋i）-3＋…＋A（1＋i）-n
等式两边同乘（1＋i）可得：
P（1＋i）＝A＋A（1＋i）-1＋A（1＋i）-2＋A（1＋i）-3＋…＋A（1＋i）-（n-1）
上述两式相减：
上式也可写作：
P＝A·（P／A，i，n）
【例1-7】某公司拟筹资240万元，用于购买一项专利。 该专利投产后预计在今后5年内每年可获得收益60万元，公司要求的最低投资报酬率为12％，问这项投资是否合算？
【解析】先计算该项专利投产后每年收益的现值之和，然后与筹资额比较。当现值之和大于或等于筹资额时，这项投资才可行。 因专利投产后预计在今后5年内每年可获得收益均为60万元，表现为普通年金，可以用普通年金现值公式求每年收益的现值之和。
P＝［600000×（P／A，12％，5）］元
＝（600000×3．6048）元
＝2162880元
计算结果表明，每年收益的现值之和为2162880元，小于筹资额240万元，所以这项投资是不可行的。
想一想：
请举例说明普通年金终值与普通年金现值在现实经济生活中的应用。
知识扩展
偿债基金和年资本回收额
偿债基金，是指为了在约定的未来一定时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金，也就是为使年金终值达到既定金额的年金数额。 比如：某企业有一笔4年后到期的借款，到期值为1000万元。 若存款利率为10％，则为偿还这笔借款应建立的偿债基金为多少？ 从计算的角度来看，就是在普通年金终值公式F＝A×（F／A，i，n）中解出A，这个A就是偿债基金，因此偿债基金系数和普通年金终值系数互为倒数。
年资本回收额，是指在约定年限内等额收回初始投入资本或清偿所欠的债务。 比如：某企业现在借得1000万元的贷款，在10年内以利率12％偿还，则每年应付的金额为多少？从计算的角度看，就是在普通年金现值公式P＝A（P／A， i，n）中解出A，这个A，就是年资本回收额，因此年资本回收系数与普通年金现值系数互为倒数。
2）即付年金终值与现值的计算
即付年金是指在每期的期初、间隔相等时间、收入或支出相等金额的系列款项，也称为先付年金。 其收付形式如图1-2所示。
图1-2 即付年金示意图
（1）即付年金终值的计算
即付年金终值是各期期初收付款项A的复利终值之和。 其计算公式为：
F＝A（1＋i）＋A（1＋i）2＋A（1＋i）3…＋A（1＋i）n
式中各项为等比数列，首项为A（1＋i），公比为（1＋i），根据等比数列的求和公式可得出：
上述公式也可写作：
F＝A［（F／A，i，n＋1）-1］
由于即付年金与普通年金支付时间不同，即付年金终值比普通年金终值多计算一期的利息。因此，在普通年金终值的基础上乘上（1＋i）就是即付年金终值，即付年金终值也可通过以下公式求得：
F＝A（F／A，i，n）（1＋i）
【例1-8】为给儿子上大学准备资金，李先生连续6年于每年年初存入银行3000元。 若银行存款利率为5％，则李先生在第6年末能一次取出本利和多少钱？
【解析】
F＝A（F／A，5％，6）（1＋i）＝［3000×6．8019×（1＋5％）］元＝21426元
或：
F＝A［（F／A，5％，6＋1）-1］＝［3000×（8．1420-1）］元＝21426元
计算结果表明，李先生在第6年末能一次取出本利和为21426元。
（2）即付年金现值的计算
即付年金现值是各期期初收付款项A的复利现值之和。 其计算公式为：
P＝A＋A（1＋i）-1＋A（1＋i）-2＋…＋A（1＋i）-（n-1）
式中各项为等比数列，首项为A，公比为（1＋i）-1，根据等比数列的求和公式可得出：
P＝A［（P／A，i，n-1）＋1］
由于即付年金与普通年金支付时间不同，即付年金现值比普通年金现值少计算一期的利息。因此，在普通年金现值的基础上乘以（1＋i）就是即付年金现值，即付年金现值也可通过以下公式求得：
P＝A（P／A，i，n）（1＋i）
【例1-9】盛浩公司拟购买一台设备，价值260万元。 若融资租赁，则每年年初需支付租金30万元，租赁期10年，期满后设备归公司所有。 银行存款的利率为6％，问该公司应购买设备还是融资租赁设备？
【解析】先计算融资租赁的现值，再与购买设备的价值比较，哪个方案的现值小，就应选择哪个方案。
融资租赁每年年初均需支付租金，表现为即付年金，求租金的现值，即为求即付年金的现值。
P＝［30×（P／A，6％，10）×（1＋i）］万元＝［30×7．3601×（1＋6％）］万元＝234．05万元
或：
P＝30×［（P／A，6％，10-1）＋1］万元＝［30×（6．8017＋1）］万元＝234．05万元
计算结果表明，融资租赁每年年初需支付租金30万元的现值为234．05万元，小于购买设备的价值260万元，应选择融资租赁该设备。
3）递延年金终值与现值的计算
递延年金是指第一次收付发生时间不在第一期期末，而是间隔若干期后才发生的系列等额收付款项，它是普通年金的特殊形式。 其收付形式如图1-3所示。
图1-3 递延年金示意图
从图1-3中可以看出，前三期没有发生收付，一般以m表示递延期数，n为连续收付的次数，则此例图中m＝3，n＝4。
（1）递延年金终值的计算
递延年金的终值的大小，与递延期无关，只与年金支付期有关。 递延年金终值的计算方法和普通年金终值的计算方法相似。 其计算公式为：
F＝A（F／A，i，n）
【例1-10】某企业于年初投资一项目，估计从第5年开始至第10年，每年年末可得收益10万元，假定年利率为5％。 要求：计算投资项目年收益的终值。
【解析】
F＝［10×（F／A，5％，6）］万元＝（10×6．8019）万元＝68．019万元
计算结果表明，投资项目年收益的终值为68．019万元。
（2）递延年金现值的计算
递延年金现值的计算方法有两种：
①把递延年金视为n期普通年金，求出递延期末的现值；再将此现值当作递延期末的终值折现到第一期期初。 计算公式为：
P＝A（P／A，i，n）（P／F，i，m）
②假设递延期也进行支付，先求出m＋n期的年金现值，后扣除实际并未支付的递延期m的年金现值。 计算公式为：
P＝A（P／A，i，m＋n）-A（P／A，i，m）＝A［（P／A，i，m＋n）-（P／A，i，m）］
【例1-11】某公司拟购置一处房产，付款条件是：从第4年开始，每年年初支付50万元，连续支付5次，共250万元，假设该公司的资金成本率为10％，则相当于该公司现在一次付款的金额为多少万元？
【解析】
P＝｛50×［（P／A，10％，7）-（P／A，10％，2）］｝万元＝［50×（4．8684-1．7355）］万元＝156．645万元
计算结果表明，相当于该公司现在一次付款的金额为156．645万元。
承接例1-11，若将付款条件改为每年年末支付，则相当于该公司现在一次付款的金额为：
P＝｛50×［（P／A，10％，8）-（P／A，10％，3）］｝万元＝［50×（5．3349-2．4869）］万元＝142．4万元
想一想：
请举例说明递延年金终值与递延年金现值在现实经济生活中的应用。
4）永续年金现值的计算
永续年金是指无限期的等额收付，也称永久年金。 它也是普通年金的一种特殊形式。 其收付形式如图1-4所示。
由于永续年金的期限趋于无限，没有终止时间，因而没有终值，只有现值。永续年金的现值计算公式为：
图1-4 永续年金示意图
当n→∞时，（1＋i）-n的极限为零，故上式可写成：
【例1-12】某企业要建立一项永久性助学基金，计划每年拿出20万元帮助失学儿童，年利率为5％。 那么现在应筹集多少元资金？
【解析】
P＝A／i＝（20÷5％）万元＝400万元
计算结果表明，现在应筹集400万元资金。
注意：综上所述，我们在进行复利或年金计算时，发现有三对系数互为倒数，它们分别是：复利终值系数与复利现值系数互为倒数；偿债基金系数和普通年金终值系数互为倒数；资本回收系数与普通年金现值系数互为倒数。
1．3．5 贴现率和期数的推算
1）贴现率的推算
前述四类年金的计算问题一般是已知年金、折现率、计算期，要求年金现值或终值。 但在实际生活中，有时还会遇到已知年金、年金现值或终值、计算期，要推算折现率的情况，比如公司购买一台柴油机20000元，寿命5年，每年可产生收益2000元，其投资回报率是多少？ 这就涉及折现率（收益率、利息率等）的推算问题。 而折现率的推算须利用相关系数表，有时还要用内插法加以计算。 具体说明如下：
普通年金终值计算公式：
F＝A（F／A，i，n）
普通年金现值计算公式：
P＝A（P／A，i，n）
将上述两个公式变形可得：
F／A＝（F／A，i，n）
P／A＝（P／A，i，n）
设F／A＝α，若年金终值F，年金A，计算期n已知，则可利用公式F／A ＝（F／A，i，n），查普通年金终值系数表，找出系数值为α对应的i即可；设P／A＝β，若年金现值P，年金A，计算期n已知，则可利用公式P／A＝（P／A，i，n），查普通年金现值系数表，找出系数值为β对应的i即可。 若系数表中找不到完全相同的系数值α或β，因而无法直接找到完全对应的i，则可运用内插法求解。 现以公式P／A＝（P／A，i，n）为例，说明采用内插法求i的基本步骤：
①计算出P／A的值（假设为β）；
②查普通年金现值系数表。 沿着已知n所在的行横向查找，若恰好能找到某一系数值等于β，则该系数值所在的列相对应的利率便为所求的i值；
③若无法找到恰好等于β的系数值，则应在表中n行上找到与β最接近的两个上下临界值：一个大于β的系数值（设为β1）、一个小于β的系数值（设为β2），则β1＞β＞β2。分别读出β1和β2对应的利率i1和i2。
④根据临界系数值β1，β2和对应的利率i1，i2，运用线性相关假定原理的内插法计算公式如下：
【例1-13】公司向银行贷款100000元，每年年末还本付息额为20000元，连续6年还清，问其贷款利率是多少？
【解析】根据题意，已知P＝100000，A＝20000，n＝6，则：
P／A＝100000／20000＝5＝（P／A，i，6）
查n＝6的普通年金现值系数表，在n＝6这一行上无法找到恰好等于5的系数值，于是找大于5和小于5的两个临界系数值，分别为：β1＝5．0757，β2＝4．9173，并读出对应i1＝5％，i2＝6％。
则运用内插法可得：
2）期数的推算
同样的道理，当我们遇到已知年金、年金现值或终值、折现率，要推算计算期的情况，也需要利用相关系数表和内插法加以计算。
【例1-14】公司拟购入一台机器，需120000元资金，预测该投资项目的收益率达15％，每年可创造40000元收益，则该机器至少使用多久对企业才有利？
【解析】根据题意，已知P＝120000，A＝40000，i＝15％，则：
120000元＝［40000×（P／A，15％，n）］元
（P／A，15％，n）＝3
查i＝15％的普通年金现值系数表，在i＝15％这一列上无法找到恰好等于3的系数值，于是找大于3和小于3的两个临界系数值，分别为：β1＝3．3522，β2＝2．8550，并读出对应n1＝5，n2＝4。
则运用内插法可得：
注意：用内插法推算计算期是比较精确的理论算法，可运用于决策需要。而实际生活中，如果只需大致回答例1-14的问题，可以不用内插法，在查完系数表后即可知：该机器至少使用5年对企业才有利。
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
