现值及终值的计算

【活动目标】

了解终值和现值的含义，以及有效年利率的计算方法；掌握复利现值和复利终值的计算方法以及计息频率的确定方法。

【知识准备】

终值是指货币在未来某个时间点上的价值；复利终值是指一定量的货币本金，按复利计算的若干期后的本利和。现值是指未来某个（或某些）时刻的现金流量按某种利率贴现到目前时点上的价值；复利现值是指未来某期的一定量货币，按复利计算的现在价值。

复利终值FV=PV·（1+i）n

复利现值PV=FV/（1+i）n

计息频率是指一年内计息的次数；有效年利率是指按照给定的现值，一年复利m次和一年复利一次所得的终值相同时的年利率。

一、复利终值的计算

终值是指货币在未来某个时间点上的价值；它通常是把现在或未来某些时刻之前多次支付或收入的现金额，按照某一利率计算出的在未来某一时间点的值。复利终值是指一定量的货币本金，按复利计算的若干期后的本利和。复利终值的计算公式为：

式中：FV为复利终值；PV为复利现值；i为一个期间的利率；n为期间数。

式中的（1+i）n为复利终值系数，记作（F/P，i，n）。该系数既可以利用公式计算出结果，也可以根据已知i和n的值查复利终值系数表得到。于是上述公式可以写成：

【例题2-3】本金为100 000元，每年的投资回报率为5%，投资年限为3年，按复利计算。那么，3年后所获得的本利和是多少？

【解析】

根据复利终值公式计算：

因此，采用复利终值公式计算的结果是11.58万元。上面的复利终值系数（1+5%）3可通过查找复利终值系数表（如表2-7所示）得出1.1576。

表2-7　复利终值系数表（部分）

二、复利现值的计算

现值是指未来某个（或某些）时刻的现金流量按某种利率贴现到目前时点上的价值。复利现值是指未来某期的一定量货币，按复利计算的现在价值。复利现值为复利终值的逆运算，因此，由FV=PV·（1+i）n可以求出复利现值的计算公式为：

式中的为复利现值系数，记作（P/F，i，n）。该系数既可以利用公式计算结果，也可以根据已知的i和n的值查复利现值系数表得到。于是上述公式可以写成：

复利现值和复利终值之间的关系为：复利现值+复利利息=复利终值

【例题2-4】郭某的姑姑允诺在郭某年满25岁时给郭某10万元，郭某现年20岁。设某3年期债券（复利计息）的平均年收益率为5%，则郭某的姑姑现在应拿出多少钱购买该债券才能在5年后刚好等于10万元？

【解析】

根据复利现值公式计算：

因此，郭某的姑姑现在应拿出大约8.64万元购买该债券才能在5年后刚好等于10万元。上面的复利现值系数可通过查找复利现值系数表（如表2-8所示）得出0.8638。

表2-8　复利现值系数表（部分）

三、计息频率和有效年利率的计算

（一）计息频率

为了计算每年计息超过一次的复利和复利终值或复利现值，要用计息频率将年利率换算成每一计息期的利率。因此，计息频率是指一年内计息的次数，用m表示。

设r为年名义利率，m为计息频率，i为每一计息期的利率，t为年限数，n为总计息次数（期数），则：

因此，复利终值的计算公式可进一步推导出：

【例题2-5】本金为10万元，每年的投资回报率为12%，投资年限为3年，按每季度计算一次复利。那么，3年后所获得的本利和是多少？

【解析】

根据带有计息频率的复利终值公式计算：

因此，按照给定的计息频率计算的3年后所获得的本利和是14.26万元。

（二）有效年利率的计算

有效年利率是指按照给定的现值，一年复利m次和一年复利一次所得的终值相同时的年利率。有效年利率可以用符号EAR表示。

有效年利率的计算公式推导过程如下：

已知FV=PV·（1+EAR）t和

上面等式经过整理后得出，

有效年利率EAR与名义利率r关系：一是当计息周期为1年时，名义利率与有效年利率相等；计息周期短于1年时，有效年利率大于名义利率；计息周期长于1年时，有效年利率小于名义利率。二是名义利率越大，计息周期越短，有效年利率与名义利率的差异就越大。三是名义利率不能完全反映资本的时间价值，有效年利率才能真正反映资本的时间价值。

【例题2-6】某人进行有价证券投资，期初投入10万元，年利率12%，期限3年。按每半年计息一次，问3年后的有效年利率是多少？

【解析】

根据有效年利率公式计算：

因此，10万元的证券投资，名义利率为12%，计息频率为一年两次，3年后的有效年利率是12.36%。