掌握珠算除法算

任务4　掌握珠算除法算

3.4.1 掌握商的定位法

商的定位法就是确定商数位数的方法。商的定位法有多种，常用的有：公式定位法、固定个位档（点）定位法。

1）公式定位法

公式定位法也叫通用定位法，适用于各种计算方法。它是根据被除数位数与除数位数用公式来确定商的位数，定位公式为：

公式一：a＝m－n

公式二：a＝m－n＋1

式中　a——商的位数；

　　　m——被除数的位数；

　　　n——除数的位数。

用被除数首位数与除数首位数进行比较来选择用哪个公式进行定位，分为以下三种情况：

（1）被除数首位小于除数首位，用公式一，即a＝m－n。如474.88÷6.4＝74.2，被除数首位“4”小于除数首位“6”，故用公式一定位，商的位数为：m－n＝3－1＝2位。

（2）被除数首位大于除数首位，用公式二，即a＝m－n＋1。如86.245÷3.67＝23.5，被除数首位“8”大于除数首位“3”，故用公式二定位，商的位数为：m－n＋1＝2－1＋1＝2位。

（3）被除数首位等于除数首位，比较后位，直至比较出大小，定位方法同上。如2 750÷2.5＝1 100，因首位相同，所以比较第二位，被除数第二位数“7”大于除数第二位数“5”，故用公式二定位，商的位数为：m－n＋1＝4－1＋1＝4位。若被除数与除数的各位都相等时，用公式二进行定位，如20÷20＝1。

2）盘上公式定位法

把公式定位法原理运用到算盘上定位，叫做“盘上公式定位法”，又称“首位档定位法”。它是指经运算后，根据商数的首位数落在哪一档上来确定用哪个公式进行定位。用这种方法进行定位，要依据运用什么除法来运算。

运用不隔位商除法和归除法时，一般是将被除数从算盘左边第二档起拨入，即算盘左边留出一个空档；运用隔位商除法时，将被除数从算盘左边第三档起拨入，即算盘左边留出两个空档。这样，当运算完毕后，如果算盘左边第一档无商数，即用公式一进行定位；如果算盘左边第一档有商数，即用公式二进行定位。

这种定位方法可概括为“位数相减，满档加1”，“满档”即指算盘左边第一档有商数。

3）固定个位档（点）定位法

这是一种算前定位法，又称固定个位点定位法，它是在除算前，在算盘上预先选定一个恰当位置（两档之间）作为商的小数点。运算完毕，该小数点左面一档即为商的个位档。

首先，在算盘的横梁或框上刻制如下：

其次，用公式确定被除数的起拨档。

不隔位商除法、归除法：b＝m－n

隔位商除法：b＝m－n－1

式中 b——被除数起拨档。

3.4.2 掌握基本除法

1）商除法

（1）一位除法

一位除法是指除数只有一个非零数字的除法。

①布置除数，先求m－（n＋1）的值。

②估商与置商：估商用九九口诀心算，置商规则可以概括如下：

等位除，隔位商（够除，隔位商）。

添位除，挨位商（不够除，挨位商）。

即如果取被除数的有效数字个数与除数的有效数字个数相同时，若被除数大于或等于除数，则隔位置商；否则，因被除数小于除数，被除数必须添一位后才能除以除数，则挨位置商。

③减积档次：商与除数的乘积的十位数从商右面第一档减去，个位数从商的右面第二档减去。

（2）多位除法

多位除法是指除数是两个或两个以上非零数字组成的除法。

它的运算步骤和方法与一位除法基本相同，只是由于除数位数较多，容易出现估商不准影响计算速度；减积错档，造成计算失准等情况。所以要特别注意多位商除法中的估商和减积档次。具体运算步骤如下：

①布被除数。

②估商与置商：估商用九九口诀心算。置商规则同一位除法。

③减积档次：在一次除法的运算方法和步骤中已经明确：商与除数的乘积的十位数，从商的右面第一档减去，个位数，从商的右面第二档减去。多位除法的减积档次，是以一位除法为基础的。商和除数最高位数字相乘，其减积档次与一位除法完全相同，除数位次每右移一档，其减积档次也相应右移一档。除数是第几位，它与商的乘积的十位数就从商的右面第几档减去。在正常乘减过程中，只要指不离档，按上次减积的个位档就是本次减积十位档的规律，依次运算下去，档次是不会减错。

④运算结果：除尽时，按定点定位法确定的正一位，即为商的个位，盘面数值即为商数；除不尽时，按要求的精确度除到一定位数，若商的精确度为0.01，则商数只需求到小数第二位，然后判断余数是否等于或大于除数的1/2，若余数大于等于除数的一半，就作“5入”处理（商的第二位小数加1），否则舍去。

（3）补商

在多位数除法运算过程中，有时因估商偏小，乘减后才发现余数仍大于或等于除数。这时不必重新计算，可用补商来调整商数。商除法的补商方法是把试商加1，同时隔位减一次除数；试商补几，就隔位减几倍除数。

（4）退商

商除法运算过程中，心算估商不仅可能偏小，有时还可能偏大，结果，当减试商与除数的乘积时，会遇到中途不够减的情况。这时也可以不必重新计算，而以退商的方法来调整试商。商除法的退商方法是：从试商上减去1，隔位加还已经除过的那几位除数，然后再用调整后的试商，去乘尚未乘减的那几位除数，并将其积从被除数的相应档位中减去。

2）归除法

（1）九归口诀

归除法是运用口诀进行除法运算的，有九归口诀、退商口诀和商九口诀，所以学习归除法首先必须熟记和熟练使用这些口诀。这里只介绍九归口诀。九归口诀是根据被除数1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字分别除以1、2、3、4、5、6、7、8、9各数应得的一位商数或应余的余数编制而成的，所以，每句口诀中都包括除数、被除数、商数或余数，九归口诀共61句。

一归（用1除）：逢一进一，逢二进二，逢三进三，逢四进四，逢五进五，逢六进六，逢七进七，逢八进八，逢九进九。

二归（用2除）：逢二进一，逢四进二，逢六进三，逢八进四，二一添作五。

三归（用3除）：逢三进一，逢六进二，逢九进三，三一三余一，三二六余二。

四归（用4除）：逢四进一，逢八进二，四二添作五，四一二余二，四三七余二。

五归（用5除）：逢五进一，五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八。

六归（用6除）：逢六进一，逢十二进二，六三添作五，六一下加四，六二三余二，六四六余四，六五八余二。

七归（用7除）：逢七进一，逢十四进二，七一下加三，七二下加六，七三四余二，七四五余五，七五七余一，七六八余四。

八归（用8除）：逢八进一，八四添作五，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八五六余二，八六七余四，八七八余六。

九归（用9除）：逢九进一，九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八。

（2）运算方法和步骤

①置数。如采用盘上公式定位法，将被除数从算盘左边第二档起拨入；如采用固定个位档定位法，则按公式m－n的计算结果确定被除数的起拨档。

②运用口诀。用除数首位除被除数首位来求商数，即用九归口诀来估商，这个商叫初商，要通过乘减后才是确定的商数。

③减积。从初商的右边一档起减初商与除数第二位直至末位各数的积，减积时应做到“指不离档”，每减一次手指往后移一档，上一次乘减的个位档即为下一次乘减的十位档。

④定位记商。用盘上公式定位法（首档无商，m－n；首档有商，m－n＋1）或按固定个位档定位法（m－n）进行定位并记商，能除尽，算盘上的数即商数，不能除尽，按精确度要求取舍。

（3）补商

如果初商与除数首位以外的各数乘减后，商数右边一档起的余数首位大于或等于除数首位，则说明这个商数求得偏小了，需进行补商。补商的方法是初商暂不与除数首位以外的各数相乘，而是先用“逢几进几”口诀进行补商，然后用补商后的商与除数首位以外的各数相乘，乘积从被除数中减去。

（4）退商

用九归口诀求得的补商有时也会偏大，这时就得用退商口诀来退商。退商口诀如下：

这九句口诀无须死记硬背，只要理解即可。即当余数不够减初商与除数的乘积时，在初商中减1，再在补商的右一档加上除数的首位数。退商的方法是在初商中减去1，再在商数右边一档起加还已经与初商乘减过的前几位除数（包括除数的首位数）。注意，从被除数或余数中减退商后的商数与未乘减过的除数的乘积时，要做到手指不离档，即退一还除过数后，手指要指在最末位档，退商后的商数与未乘减过的除数的乘积就从这一档开始乘减。

（5）撞归

当除数和被除数首位相同，但除数第二位大于被除数第二位时，如使用九归口决，会发现被除数不够减除，这时，应使用撞归口诀。撞归口诀共九句，如下所示。

这九句口诀无须死记硬背，只要理解其要领即可。即当发现除数和被除数首位相等且除数第二位大于被除数第二位时，直接将被除数的首位数改作商数“9”，作为初商，并在下一档加上除数的首位数，然后再从初商的右边一档起减初商与除数第二位直至末位各数的积。