投资组合的风险与收益

时间：2023-04-07 百科知识版权反馈

【摘要】：图4－5　两种投资非完全正相关二、投资组合风险的衡量（一）投资组合的预期收益率在前面的分析中，我们考虑的是股票W和股票M的组合，并假定各自所占的比重为50%。则投资组合的预期收益率为：（二）协方差和相关系数在进行投资组合的决策时，需要度量一种股票的收益率与另一种股票收益率的相互关系。

第三节　投资组合的风险与收益

在前面的分析中，我们考虑的是单一资产的风险和收益，即在两个备选投资方案互不相关的前提下讨论它们的各自风险。但事实上，随着金融产品的不断推出，投资方式不断增多，大多数投资者都拥有一种以上的资产，如银行向个人和企业提供多种形式的金融资产贷款，个人购买有价证券也有多种选择——公司债券、国库券和股票等。因此，我们有必要了解投资组合的风险和收益。

一、投资的多元化与风险的分散

投资组合需要考虑其投资的规模和各自的投资比例，为了方便起见，我们假设投资100万元，W和M两种股票各占50%。

1．如果两种股票完全负相关，其风险和收益特性如表4－2所示。

表4－2　完全负相关的证券组合数据

由于单个股票投资标准差为22．6%，如果单独投资，风险较大。但若将它们放在一起，构成WM的组合，则风险可完全消除，组合投资的标准差为0%，如图4－3所示。

图4－3　两种投资完全负相关

股票W和股票M之所以能构成无风险组合投资，是因为它们的收益呈反向变化，即当股票W的收益下降，则股票M的收益上升，反之亦然。用统计术语表示，股票W和股票M的收益之间呈完全负相关，即相关系数ρ＝－1．0。

2．如果两种股票完全正相关，则相关系数ρ＝＋1．0。两种完全正相关的股票，其收益涨落一致，如果投资比例相同，它们构成的组合投资将具有与单独投资时相同的风险，即组合投资中的资产之间如果完全正相关，则其组合对风险的减少无任何作用，如表4－3所示。

表4－3　完全正相关的证券组合数据

续表

投资组合后的图形如图4－4所示。

图4－4　两种投资完全正相关

综上所述，当两种股票呈完全负相关时，所有风险都可以消除；而当两种股票完全正相关时，组合投资对减少风险不起任何作用。从理论上讲，只要相关系数在－1．0＜ρ＜＋1．0之间时，通过组合投资，可以部分减少风险，但不能完全消除风险。在现实生活中，股票之间相关性呈正相关，而非完全正相关。例如，纽约股票交易所上市的任意两只股票之间，它们的相关系数约为＋0．6，大多数股票之间的相关系数ρ落在＋0．5至＋0．7之间。在这种情况下，用所挑选的股票构成的组合投资可以减少风险，但不能完全消除风险。假如，有关股票W和股票M的风险和收益的特性如表4－4所示。

表4－4　不完全正相关的证券组合数据

组合投资后的图形如图4－5所示。

图4－5　两种投资非完全正相关

二、投资组合风险的衡量

（一）投资组合的预期收益率

在前面的分析中，我们考虑的是股票W和股票M的组合，并假定各自所占的比重为50%。在实际生活中，我们可能持有两种以上的金融资产，我们投资

的比例也可以各不相同。投资组合的预期收益率为，用公式表示为：

该公式表明：投资组合的预期收益率是指各单项资产预期收益率的加权平均数，权数为投资在各类资产中的比重，因此，投资组合的预期收益率是各单项资产的线性函数。然而，投资组合的风险衡量就要复杂得多。

【例2】承例1，假如A公司股票的投资比例为40%，B公司股票的投资比例为60%，其他条件相同。则投资组合的预期收益率为：

（二）协方差和相关系数

在进行投资组合的决策时，需要度量一种股票的收益率与另一种股票收益率的相互关系。更确切地说，我们需要建立度量两个变量之间相互关系的统计指标，即协方差和相关系数。

协方差的计算公式为：

对于该公式的解释应注意以下几点：

1．如果两个公司股票收益率的变动趋势一致，则在每种经济形势下，两公司股票收益率均高于或低于预期收益率，其结果为正，即两个公司股票呈正相关时会得出正的协方差。

2．如果两个公司股票收益率的变动方向相反，则在每种经济形势下，一家公司股票收益率高于预期收益率，而另一家公司股票收益率低于预期收益率，那么结果为负，即两个公司股票呈负相关时会得出负的协方差。

3．如果两个公司股票收益率的变动是随机的，股票收益率离差的乘积有正有负，相互抵消，其结果趋于0。

承上例，A公司股票收益率与B公司股票收益率的协方差为：

δ_AB＝（100%－27%）×（80%－25%）×0．2＋（30%－27%）×（20%－25%）×0．3＋（10%－27%）×（12．5%－25%）×0．4＋（－60%－27%）×（－20%－25%）×0．1

＝0．1275

对于协方差大小的解释是很困难的。因此，与之相关的统计量指标则是相关系数，它是衡量两个变量共同变动的程度，相关系数是协方差的标准化。任何两个变量A和B之间的相关系数ρ的计算公式为：

因为标准差总是正值，所以相关系数的符号取决于两个变量之间协方差的符号。如果相关系数为正，则表明两个变量之间呈正相关；如果相关系数为负，则两个变量之间呈负相关；如果相关系数等于零，则两个变量之间的变化是相互独立的，即不相关。标准化的过程确定了相关系数的取值范围在－1和＋1之间。

承上例，A公司股票和B公司股票的相关系数为：

（三）投资组合的方差和标准差

由A和B两种证券构成的投资组合的方差计算公式为：

上述公式表明：投资组合的方差取决于各种证券的方差和两种证券之间的协方差。每种证券的方差度量该种证券收益率的变动程度，而协方差度量两种证券收益率之间的相互关系。在两种证券方差给定的情况下，如果两种证券之间的协方差为正值，则投资组合的方差就上升；相反，投资组合的方差就下降。此外，投资组合方差的计算公式可以表示为如下矩阵形式：

在上述矩阵图中有四格，把上述四格中的数字相加即可计算投资组合的方差。左上方和右下方两格中的数字分别表示两公司的方差；左下方和右上方两格中的数字相等，分别表示两公司的协方差，这两格的数字之和正好是两个协方差。所以四个格子中的数字之和就是投资组合的方差，其计算结果与上述公式的计算结果完全相同。

根据以上投资组合的方差，我们可以计算投资组合的标准差，即：

承上例，投资组合的标准差为：

投资组合标准差的含义与单个证券标准差的含义相同。该投资组合的收益率是25．8%，如果投资组合的收益率是－9．39%，说明组合的收益率低于其预期收益率1个标准差（25．8%－35．19%）；如果投资组合的收益率是60．99%，说明组合的收益率高于其预期收益率1个标准差（25．8%＋35．19%）。显然，如果投资组合的收益率满足正态分布，那么组合收益率位于－9．39%至60．99%的概率大约为68．26%。

三、两种证券投资组合的有效集

在上一个例子中，我们只考虑了A公司和B公司股票的投资分别为40%和60%的情况。如果投资比例变化了，投资组合的预期收益率和标准差也会发生变化。为了讨论这一问题，我们假设有两种证券X和Y，它们的预期收益率、标准差和相关系数如下：

两种证券组合在不同投资比例下的预期收益率和标准差如表4－5。

表4－5　两种证券组合的预期收益率和标准差

图4－6　投资于两种证券组合的机会集

图4－6描绘出随着证券投资比例的变化，预期收益率与风险之间的关系。图中的黑点与表4－5中的六种投资组合一一对应。连接这些黑点所形成的曲线称为机会集，它反映了风险与收益之间的权衡关系。

关于图4－6，有以下几点需要特别指出：

1．它揭示了风险分散化效应。比较曲线和直线的距离可以判断风险分散化效应的大小。直线代表两种证券的相关系数（ρXY）等于1的情况下各种可能的组合，由全部投资于X证券和全部投资于Y证券所对应的两点连接而成。曲线代表相关系数为0．2时的机会集曲线。投资组合的风险分散化效应可以从图中弓形曲线看出来。从第1点出发，拿出一部分资金投资于风险较大的Y证券会比将全部资金投资于风险小的X证券的标准差还要小。这种结果与人们的直觉相反，揭示了风险分散化的内在特征。

2．它表达了最小方差组合。曲线最左端的MV点组合被称为最小方差组合，它在持有证券的各种组合中具有最小的标准差。离开此点，无论是增加还是减少Y证券的投资比例，都会导致标准差的小幅度上升。

3．它表达了投资组合的可行集。在只有两种证券的情况下，投资者的所有投资机会只能出现在机会集曲线上，而不会出现在该曲线的上方或下方。投资者改变投资比例，只会改变组合在机会集曲线上的位置。最小方差组合以下的组合是无效的。因为该部分组合与最小方差组合相比不仅标准差大，而且收益率低。所以，投资组合的可行集应该是从最小方差组合点到最高预期收益率组合点的那段曲线。

图4－6只表示在ρ＝0．2时的可行集或机会集，要理解这一问题，必须考察图4－7，它展示了当相关系数变化时，组合的收益与方差之间随之不同。由图可见，相关系数越低，曲线越弯曲，风险的分散化效应也就越强。当相关系数逼近－1时，曲线的弯曲程度最大。完全正相关的投资组合，不具有风险分散化效应，其机会集是一条直线。多数证券之间只存在正相关，完全正相关或完全负相关的情况在实践中出现的可能性很小。

图4－7　不同相关系数下的两种证券组合的机会集

四、多种证券组合的有效集

上一部分讨论了两种证券组合的有效集。我们发现可用一条简单的曲线概括出各种可能的组合。因为投资者持有的证券一般超过两种，所以我们必须探讨持有两种以上证券的组合及其有效集。图4－8中的阴影部分表示在组合中证券种数很多时的机会集或可行集。这个机会集反映了投资者所有可能的投资组合，图中阴影部分中的每一点都与一种可能的投资组合相对应，随着可供投资证券数量的增加，所有可能的投资组合数量将呈几何级数上升。但是，所有可能产生的组合都会落在一个有限的区域内。

当只有两种证券构成投资组合时，所有的各种组合都位于一条弓形曲线之中。当多种证券构成投资组合时，所有的各种组合都位于一个区域之中。值得一提的是，投资者无论如何都要选择该区域上方从MV到Y这一边界上的组合。这一边界，就是图中粗线描述的部分，又称有效集或有效边界。有效集以外的投资组合与有效边界上的组合相比，有三种情况：相同的标准差和较低的预期收益率、相同的预期收益率和较高的标准差、较低的预期收益率和较高的标准差。这些投资组合都是无效的。如果你的投资组合是无效的，可以通过改变投资比例转换到有效边界上的某个组合，以提高预期收益率而不增加风险，或者降低风险而不降低预期收益率，或者得到一个既提高预期收益率又降低风险的组合。

图4－8　由多种证券构成的投资组合的可行集

五、资本市场线

在现实中，投资者很有可能是将无风险证券与一个风险证券组合再构成一个投资组合，如图4－9所示。从无风险证券的收益率Rf开始，做有效边界的切线，切点为M，该直线称为资本市场线。切点M表示由所有风险证券构成的投资组合。资本市场线表示由无风险证券和风险证券组合M构成的各种组合。

资本市场线表达式的推导如下：

假设投资者投资于无风险证券的比例为Wf，投资于风险证券投资组合（即市场组合M）的比例为Wm，并且Wf＋Wm＝1，则投资组合预期收益率为：

所以：

R_P＝（1－W_m）R_f＋W_mR_m＝R_f＋W_m（R_m－R_f）

图4－9　无风险证券与风险证券组合构成的投资组合的预期收益率和标准差

又因为

由于无风险证券的收益率不具有变动性，从而不会随着市场组合收益率的变动而变动，所以：δ_f＝0，δ_fm＝0，则：

所以：W_m＝

资本市场线揭示了持有不同比例的无风险证券和市场组合M的情况下风险和预期收益率的关系。直线的截距Rf表示无风险利率。直线的斜率代表风险的市场价格，即当标准差增长某一幅度时预期收益率相应的增长幅度。直线上任何一点都可以告诉我们投资于市场组合和无风险证券的比例。在M点的左侧，投资者将同时持有无风险证券和风险证券组合。在M点的右侧，投资者将仅持有市场组合，并且会借入资金增加市场组合M的投资比例。

存在无风险证券的情况下，投资人可以通过贷出资金（如购买国库券）减少自己的风险，当然会同时降低预期收益率。如果投资者的风险厌恶程度较高，他将选择由无风险证券和风险证券组合M构成新的组合，并在R_f和M之间选择一点（如点1）。风险厌恶程度低的投资者可以通过借入资金（如出售国库券），增加风险证券组合M的投资比例，选择超过M点的投资组合（如点2）。

【例3】某投资者的投资总额为100000元，其中35%投资于股票组合，65%投资于无风险证券。该投资者可以按照无风险利率进行借入或贷出资金，有关资料如表4－6所示。

表4－6　股票组合和无风险证券的预期收益率和标准差