任务3.2 确定资金时间价值
能力目标
能熟练计算各种类型的年金现值、终值。
能在企业投资项目价值确定中熟练应用。
知识目标
年金、年金现值、年金终值的内涵。
普通年金现值、普通年金终值的公式计算。
偿债基金与投资回收额的公式计算。
即付年金的现值与终值的公式计算。
递延年金现值与终值的公式计算。
永续年金现值的公式计算。
展示成果
能利用所学的资金时间价值的知识。
驱动任务
任务内容:根据给定情境，计算判断资金时间价值。
任务要求:掌握各种资金时间价值计算的公式。
任务分析:通过企业和生活中各种涉及资金时间价值的情况，绘制资金收付时间的图形，通过资金收付的先后判断资金时间价值，理解各种概念，计算资金时间价值。
任务实施与实践
一、识别资金时间价值
1.资金时间价值的含义
资金时间价值，又称货币时间价值，是指货币经历一定时间的投资和再投资所增加的价值，资金的时间价值来源于资金进入社会再生产过程后的价值增值。在商品经济中，存在这样一种现象:今天你将100元钱存入银行，假定利息率为5%，一年后的今天，你将会得到105元。其中的100元是本金，5元的利息就是这100元钱经过一年时间的投资所增加的价值，该利息就是货币时间价值。但并非所有货币都具有时间价值，货币具有时间价值的前提条件是货币只有被当做资本投入生产和流通后才能产生增值。
通常情况下，资金时间价值相当于没有风险也没有通货膨胀下的社会平均利润率，是利润平均化规律发生作用的结果。
2.货币时间价值的表现形式
货币时间价值有两种表现形式:一种是相对数（时间价值率），它是指在没有风险和没有通货膨胀条件下的社会平均资金利润率或平均报酬率。在实际工作中，人们习惯使用相对数表示货币的时间价值。另一种是绝对数（时间价值额），它是指资金在生产经营过程中带来的增值额，它等于投资额与时间价值率的乘积。
3.货币时间价值的意义
货币的时间价值是客观存在的经济范畴。任何企业的财务活动都是在特定的时空中进行的。离开了时间价值因素，就无法正确计算不同时期的财务收支，也无法正确评价企业盈亏。因此，货币的时间价值是企业进行财务决策的基础。
（1）货币时间价值是企业筹资决策的重要依据。在筹资活动中，筹资时机的选择、举债期限的选择、资本成本的确定以及资本结构的决策等都要考虑时间价值因素。
（2）货币时间价值是企业投资决策的重要依据。在投资活动中，树立货币时间价值理念，能够从动态上比较投资项目的各种方案在不同时期的投资成本、投资报酬，提高投资决策的正确性；能够使投资者有意识地加强投资经营管理，降低投资成本，缩短投资项目建设期，提高投资效益。
（3）货币时间价值是企业经营决策的重要依据。在企业经营活动中，分期付款销售的定价决策，商品发运结算时间的决策，积压物资的降价处理决策，以及流动资金周转速度的决策等，都要考虑时间价值因素。
二、资金时间价值的计算
（一）现值和终值的计算
在考虑货币时间价值、分析资本运动和现金流量时，应明确现值和终值两个基本概念:
（1）现值。现值是指在未来某一时点上的一定数额的资金折合成现在的价值，在商业上俗称“本金”，通常记作P。
（2）终值。终值是指现在一定数额的资金经过一段时期后的价值，在商业上俗称“本利和”，通常记作F。
终值与现值是一定数额的资金在前后两个时点上对应的价值，其差额就是货币时间价值。在现实生活中，计算利息时的本金、本利和相当于货币时间价值理论中的现值和终值。
为了计算方便，本任务假定有关字母的含义:I—利息；F—终值，即本利和；P—现值，即本金；i—利率（或折现率）；n—期数。
1.单利的计算
单利是指计算利息时只按本金计算利息，其所生利息不再加入本金重复计算利息，
即本能生利，利不能生利。目前我国银行存贷款一般都采用单利计算利息。
（1）单利终值的计算。单利终值是指现在的一定量资金按单利计算的未来价值。其计算公式为:
F＝P＋I＝P＋P×i×n＝P（1＋i×n）
式中，（1＋i×n）为单利终值系数。
【案3-2-1】 某人将100元存入银行，年利率2%，求5年后的终值。
解:F＝P（1＋i×n）＝100×（1＋2%×5）＝110（元）
（2）单利现值的计算。单利现值是指在未来某一时点上的一定量资金折合成现在的价值。其计算公式如下:
P＝F／（1＋i×n）
式中，1／（1＋i×n）是单利现值系数。
【案3-2-2】 某人为了5年后能从银行取出110元，在年利率2%的情况下，目前应存入银行的金额是多少？
解:P＝F／（1＋i×n）＝110／（1＋2%×5）＝100（元）
单利的终值和现值互为逆运算，单利终值系数（1＋i×n）和单利现值系数1／（1＋i×n）互为倒数。
而在票据贴现业务中，计算票据的贴现价值所采用的计算公式是:P＝F-I，其中，I是票据贴现利息。
【案3-2-3】 商业汇票贴现业务
资料:常信公司持有一张带息期票，面值为1 200元，票面利率为4%，出票时间为6月15日，8月14日到期。
要求:
（1）计算票据到期的利息。
（2）计算票据到期的终值。
（3）因公司急需用款，于6月27日贴现，贴现利息率为6%，问银行应付给企业多少钱？
解答:
（1）票据到期的利息I＝P×i×n＝1×200×4%×（60／360）＝8（元）
（2）票据到期的终值F＝P＋I＝1 200＋8＝1 208（元）
（3）银行应付给企业P＝F-I＝F（1—i×n）＝1 208［1-6%×（48／360）］＝1 198.34（元）
注意:本公式中的I、i均为银行的贴现利息和贴现利率。
课堂讨论:试从财务角度分析票据贴现的实质。
小提示:张先生把40 000元存入某商业银行，存期为五年（定期），请问这笔存款的利息是以单利计算还是复利计算？
小提示:张先生把40 000元存入某商业银行，该笔存款为活期储蓄，请问这笔存款的利息是以单利计算还是复利计算？
2.复利的计算
复利是指不仅本金计算利息，而且本期所生利息在下期并入本金一起计算利息，即本能生利，利也能生利，俗称“利滚利”。货币时间价值通常是按复利计算的。
（1）复利终值的计算。复利终值是指现在的一定量资金按复利计算的未来价值。计算复利终值时，每期期末计算的利息应加入下期的本金形成新本金，再计算下期的利息，逐期滚算，其计算原理如表3-2-1所示。
表3-2-1 复利终值计算公式的推导过程
由表3-2-1可得:n期复利终值的计算公式为:Fn＝P（1＋i）n
式中的（1＋i）n为“1元的复利终值系数”，记为（F／P，i，n），可查“1元的复利终值系数表”求得，见附录一。
上式也可以写为:Fn＝P（F／P，i，n）
即:复利终值＝现值×复利终值系数
【案3-2-4】 复利终值的计算
资料:常信公司从银行取得贷款10万元，年利率为6%，贷款期限3年，第3年末一次偿还，贷款到期时公司应向银行偿还多少钱？
解答:已知P＝10万元，i＝6%，n＝3年，如图3-2-1所示。
图3-2-1 一次性收付款项终值的现金流量图
贷款到期时公司应向银行偿还的本利和如下:
F＝P（1＋i）n＝P（F／P，i，n）＝10×（F／P，6%，3）＝10×1 191＝11.91（万元）
点评:查表方法——“1元的复利终值系数表”的第一行是利率i，第一列是计息期数n，相应的（F／P，i，n）在其纵横相交处。
（2）复利现值的计算。复利现值是指未来一定时间的特定资金按复利计算的现在价值。由n期复利终值计算公式Fn＝P（1＋i）n。可推到求得:
Pn＝Fn／（1＋i）n＝Fn（1＋i）-n
式中的（1＋i）-n为“1元的复利现值系数”，记为（P／F，i，n），可查“1元的复利现值系数表”求得，见附录二。
上式也可以写为:Pn＝F（P／F，i，n）
即:复利现值＝终值×复利现值系数
【案3-2-5】 复利现值的计算
资料:常信公司欲投资A项目，预计5年后可获得600万元的收益，假定年利率（折现率）为10%。
要求:计算该笔收益的现值？
解答:如图3-2-2所示。
P＝Fn／（1＋i）n＝Fn（1＋i）-n＝Fn（P／F，i，n）
＝6 000 000×（P／F，10%，5）＝6 000 000×0.620 9＝3 725 400（元）
图3-2-2 一次性收付款项现值的现金流量图
（3）不等额系列收付款项的终值和现值的计算。在实际工作中，许多情况是发生系列不等额收付款项，因此经常需要计算不等额现金流量的终值之和或现值之和。
不等额系列收付款项终值的计算公式是:
不等额系列收付款项现值的计算公式是:
【案3-2-6】 复利终值与现值的综合运用。
资料:常信公司2007年年初对A设备投资100 000元，该项目2009年年初完工投产；2009年至2011年各年末预期收益分别为20 000元、30 000元、50 000元；银行存款复利利率为10%
要求:（1）计算2009年年初投资额的终值和2009年年初各年预期收益的现值之和。
（2）该投资项目是否可行？
解答:该投资项目的现金流量如图3-2-3所示。
图3-2-3 项目投资的现金流量图
（1）2009年年初投资额的终值。
F＝P（1＋i）n＝P（F／P，I，n）＝100 000×（F／P，10%，2）
＝100 000×1.21
＝121 000（元）
（2）2009年年初各年预期收益的现值之和
∑P＝F07（P／F，i，n）＋F08（P／F，i，n）＋F09（P／F，i，n）
＝20 000×（P／F，10%，1）＋30 000×（P／F，10%，2）＋50 000×（P／F，10%，3）
＝20 000×0.909 1＋30 000×0.826 4＋50 000×0.751 3
＝80 539（元）
（3）该投资项目在2009年年初时，其收益小于支出，故该投资项目不可行。
点评:货币具有时间价值，不同时点上的收支不能直接比较，因而在筹资、投资分析中通常是以现值为基础进行各方案的比较，使发生在不同时点上的资金具有合理的、共同的可比基础。
小提示:请举例说明日常生活中哪些项目是以复利计算的？
（二）年金的计算
年金是指一定时期内等额、定期的系列收付款项，通常记为A。如折旧、租金、养老金、等额分期付款、等额分期收款以及零存整取等都是年金问题。
年金的形式多种多样，根据其每次收付发生的时点不同，可分为普通年金、预付年金、递延年金、永续年金，如表3-2-2所示。
表3-2-2 各种年金的特点与现金流量
1.普通年金的计算
普通年金，又称后付年金，是指一定期限内每期期末等额收付的系列款项。
（1）普通年金终值是指一定时期内每期期末等额收付的复利终值之和。其计算原理如表3-2-3所示。
表3-2-3 普通年金终值计算原理
由表3-2-3可知，普通年金终值的计算公式及其推导如下:
FA＝A（1＋i）n-1＋A（1＋i）n-2＋A（1＋i）n-3＋……＋A（1＋i）1＋A（1＋i）①
将①式两端同时乘以（1＋i），得:
（1＋i）FA＝A（1＋i）n＋A（1＋i）n-1＋A（1＋i）n-2＋…＋A（1＋i）2＋A（1＋i）1②
用②式减去①式，得:i×FA＝A（1＋i）n-A＝A×［（1＋i）n-1］
式中，［（1＋i）n-1］／i称为“1元年金的终值系数”，记为（F／A，i，n），可查“1元年金的终值系数表”求得，此表见附录三。
上式也可以写为:FA＝A（F／A，i，n）。
即:普通年金终值＝年金×普通年金终值系数
【案3-2-7】 普通年金终值的计算
资料:常信公司计划在5年内每年年末向银行借款1 000万元，借款年利率为10%，那么该公司在年末应付银行本息总额是多少？
解答:如图3-2-4所示。
图3-2-4 普通年金的现金流量图
FA＝A（F／A，i，n）＝1 000×（F／A，10%，5）＝1 000×6.105 1＝6 105.1（万元）
【案3-2-8】 年偿债基金的计算
资料:常信公司有一笔5年后到期的借款，金额为10万元，公司为了能到期偿还该笔借款，设立了偿债基金，年借款利率为8%。
要求:试计算从现在起每年年末需存入银行多少钱，才能到期偿清该笔借款？
解答:已知P＝10万元，i＝8%n＝5年
由公式FA＝A（F／A，i，n）得:
A＝FA／（F／A，i，n）＝100 000／（F／A，8%，5）
＝100 000／5.866 6＝17 045.65（元）
该公司从现在起每年年末需存入银行17045.65（元），就能到期偿清该笔借款。
①偿债基金是指为了使年金终值达到既定金额，每年年末应收付的年金数额。在现实经济生活中，企业为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或积累一定数额的资金而必须分次等额提取的存款准备金，即偿债基金。
②偿债基金的计算实际上是年金终值的逆运算，其计算公式如下:
式中，分式称作“偿债基金系数”，记作（A／F，i，n），等于普通年金终值系数的倒数。
【案3-2-9】 某人希望以8%的年利率，按半年计息每半年付款一次的方式，在3年内等额偿还现有的60 000元债务，问每次应还款多少？
解:实际利率＝8%／2＝4%，计息次数＝6
A＝P／（P／A，i，n）＝60 000／（P／A，4%，6）＝60 000／5.242
＝10144.6（元）
（2）普通年金现值，是指一定时期内每期期末等额收付的复利现值之和。其计算原理如表3-2-4所示。
表3-2-4 普通年金现值计算原理
由表可知，普通年金现值的计算公式及其推导如下:
PA＝A（1＋i）-1＋A（1＋i）-2＋A（1＋i）-3＋…＋A（1＋i）-（n-1）＋A（1＋i）-n①
将①式两端同时乘以（1＋i），得:
（1＋i）PA＝A（1＋i）0＋A（1＋i）-1＋A（1＋i）-2＋…＋A（1＋i）-（n-2）＋A（1＋i）-（n-1）②
用②式减去①式，得:i×PA＝A-A（1＋i）-n＝A［1-（1＋i）-n］
所以:
公式中的［1-（1＋i）-n］／i称为“1元年金的现值系数”，记为:（P／A，i，n），可查“1元年金的现值系数表”求得，此表见附录四。
上式也可以写为:PA＝A（P／A，i，n）
即:普通年金现值＝年金×普通年金现值系数
【案3-2-10】 年资本回收额的计算
资料:常信公司想投资100万元购置一条生产线，预计可使用5年，社会平均利润率为8%。
要求:试计算该生产线每年至少给公司带来多少收益该投资才是可行的？
解答:已知P＝100万元，i＝8%，n＝5年，如下图3-2-5所示。
图3-2-5 一次性收付款项现值的现金流量图
由公式PA＝A［1-（1＋i）-n］／i可知:
A＝PA／［1-（1＋i）-n］／i＝PA／（P／A，i，n）
＝100／（P／A，8%，5）＝100／4.329＝23.1（万元）
点评:年资本回收额是指为了使年金现值达到既定金额，每年年末应收付的年金数额。年资本回收额是年金现值的逆运算。其计算公式为:
A＝P×i／［1-（1＋i）-n］
式中，分式称作“资本回收系数”，记作（A／P，i，n），等于年金现值系数的倒数。
2.预付年金的计算
预付年金，又称即付年金，是指一定期限内每期期初等额收付的系列款项。预付年金与普通年金的区别仅在于收付款时间的不同。
预付年金终值是指一定时期内每期期初等额收付款项的复利终值之和。
将普通年金视为标准年金，预付年金终值与普通年金终值之间的关系如图3-2-6所示。
由图可知:n期预付年金与n期普通年金的收付次数相同，收付发生的时间不同，利用图形变换将n期预付年金转化为（n＋1）期普通年金，然后求n期预付年金的终值。
图3-2-6 预付年金终值计算原理图
n期预付年金终值FA＝FA（n＋1）-A
＝A（F／A，i，n＋1）-A
＝A［（F／A，i，n＋1）-1］
即:预付年金终值＝年金×预付年金终值系数
公式中的［（F／A，i，n＋1）-1］称为“预付年金终值系数”，可查“1元年金的终值系数表”的（n＋1）期的值，然后减去1便可得到对应的n预付年金终值系数。
【案3-2-11】 鲁先生为了给儿子上学准备学费，连续六年于每年年初存入银行5 000元。若存款年利率为5%，则鲁先生在第6年末能一次取出本利和多少钱？
解:F＝A［（F／A，i，n＋1）-1］
＝5 000×［（F／A，5，7）-1］
＝5 000×（8.142 0-1）
＝35 710（元）
预付年金现值是指一定时期内每期期初等额收付款项的复利现值之和。如下图3-2-7。
图3-2-7 预付年金现值计算原理图
由图可知:n期预付年金与n期普通年金的收付次数相同，收付发生的时间不同，利用图形变换将n期预付年金转化为（n-1）期普通年金，然后求n期预付年金现值。
n预付年金现值PA＝PA（n-1）＋A
＝A（P／A，i，n-1）＋A
＝A［（P／A，i，n-1）＋1］
即:预付年金现值＝年金×预付年金现值系数
式中的［（P／A，i，n-1）＋1］称为“预付年金现值系数”，可查“1元年金的现值系数表”的（n-1）期的值，然后加上1便可得到对应的n期预付年金现值系数。
【案3-2-12】 鲁先生打算在采用分期付款的方式购入商品房一套，每年年初付款15 000元，分10年付清。若银行利率为6%，该项分期付款相当于现在支付的购买价是多少？
解:P＝A×［（P／A，i，n-1）＋1］
＝15 000×［（P／A，6%，9）＋1］
＝15 000×［6.801 7＋1］
＝117 025.5（元）
【案3-2-13】 李博士是国内某领域的知名专家，某日接到一家上市公司的邀请函，邀请他作为公司的技术顾问，指导开发新产品。邀请函的具体条件如下:①每个月来公司指导工作一天；②每年聘金10万元；③提供公司所在地A市住房一套，价值80万元；④在公司至少工作5年。李博士对以上工作待遇很感兴趣，对公司开发的新产品也很有研究，决定应聘。但他不想接受住房，因为每月工作一天，只需要住公司招待所就可以了，这样住房没有专人照顾，因此他向公司提出，能否将住房改为住房补贴。公司研究了李博士的请求，决定可以在今后5年里每年年初给李博士支付20万元房贴。
收到公司的通知后，李博士又犹豫起来，因为如果向公司要住房，可以将其出售，扣除售价5%的契税和手续费，他可以获得76万元；而若接受房贴，则每年年初可获得20万元。假设每年存款利率2%，则李博士应该如何选择？
解:要解决上述问题，主要是要比较李博士每年收到20万元的现值与售房76万元的大小问题。由于房贴每年年初发放，因此对李博士来说是一个即付年金。其现值计算如下:
方法一:
P＝A×［（P／A，2%，4）＋1］
＝20×（3.807 7＋1）
＝96.154（万元）
因为年金的现值大于76万元，所以对于李博士来说，应该接受房贴。
方法二:
P＝A×（P／A，2%，5）×（1＋2%）
＝20 4.713 5×1.02%
＝96.154（万元）
小提示:请举例说明日常生活中哪些项目是以普通年金计算？
3.递延年金的计算
递延年金是指第一次收付发生在第二期或以后各期的年金。递延年金是普通年金的特殊形式。假设递延期为m，从第m＋1期开始连续n期发生等额收付款项，递延年金的现金流量图如图3-2-8所示。
递延年金终值与递延期数无关，其计算方法与普通年金终值相同。
图3-2-8 递延年金的现金流量图
递延年金现值的计算方法有三种。
第一种方法:假设递延期也有年金，先求出（m＋n）期的年金现值，再减去递延期的年金现值。其计算公式如下。
递延年金现值PA＝A×（P／A，i，n＋m）-A×（P／A，i，m）
＝A×［（P／A，i，n＋m）-（P／A，i，m）］
第二种方法:分段计算递延年金的现值。先将递延年金视为普通年金，求出其递延期末的年金现值，再将此现值转换成第一期期初的现值。
其计算公式是:递延年金现值PA＝A×（P／A，i，n）×（P／F，i，m），如图3-2-9所示。
图3-2-9 递延年金现值计算原理图
第三种方法:分段计算递延年金现值。先将递延年金视为普通年金，求出其普通年金终值，再将此终值转算成第一期期初的现值。
其计算公式是:递延年金现值PA＝A×（F／A，i，n）×（P／F，i，n＋m），如图3-2-10所示。
图3-2-10 递延年金现值计算原理图
【案3-2-14】 常信公司拟购置一处房产，房主提出两种付款方案:①从现在起，每年年初支付20万元，连续支付10次，共200万元；②从第5年开始，每年年初支付25万元，连续支付10次，共250万元。假设该公司的资金成本率（即最低报酬率）为10%，你认为该公司应选择哪个方案？
解答:
（1）计算两个方案的现值。
方案Ⅰ:预付年金的现值PA＝A［（P／A，i，n-1）＋1］＝20［（P／A，i，n-1）＋1］
＝20［（P／A，10%，9）＋1］＝20［5.759 0＋1］＝135.18（万元）
方案Ⅱ:递延年金的现值PA＝A×（P／A，i，n）×（P／F，i，m）
＝25×（P／A，10%，10）×（P／F，10%，3）
＝25×6.144 6×0.751 3＝115.41（万元）
（2）因为方案Ⅰ的现值大于方案Ⅱ的现值，故该公司应选择方案Ⅱ。
点评:计算递延年金的现值可采用三种不同的方法，但要注意年金发生的时点.
4.永续年金的计算
永续年金是指无限期支付的年金。在实际生活中，优先股股利、无限期债券、奖励基金等都属于永续年金。
由于永续年金期数无限，没有终止的时间，因此永续年金没有终值。
永续年金现值可以从普通年金现值的计算公式中推导出来。
【案3-2-15】 永续年金的应用
资料:常信公司拟建立一项永久性的用于奖励优秀员工的奖金，每年计划颁发20 000元的奖金，若银行存款利率为8%。
要求:试计算该单位现在应存入多少钱？
解答:P＝A／i＝80 000÷8%＝1 000 000（元）
说明:折现率如何选择？
在进行投资决策时，没有一个固定的折现率，很多人喜欢用10%来作为折现率，因为这个数字好记、好算，但用多少的折现率要依据是否有其他更好的投资机会而定。这就是经济学上讲的机会成本的概念。某个项目的折现率，应为该投资者选择其他投资项目可能的投资回报率。
由于是否能找出更好的投资机会与每个人的能力范围有关，因此机会成本也因人而不同。一般人的机会成本是多少呢？
很大部分的人因为欠缺投资理财的必要知识或时间，多以银行定存为投资理财的主要方式，因此他的机会成本就是银行定存的报酬，因此他会把各种投资机会拿来与银行定存的报酬率作比较。换句话说，他是以银行定存利率作为折现率。
在评价一家公司的股票价值时也是同样的道理。一般投资人的机会成本为零风险的最高报酬率。所谓“零风险”是指该投资标的未来的现金流量是完全确定的。在各种零风险的投资标的当中，十年期以上的国库券利率是最好的指标。即使如此，持有国库券期间仍然会有利率变化的风险，如果期间利率提高了，你手中持有的国库券就会变得不值钱。
小提示:常见的折现率包括银行定期存款利率、国库券利率、投资回报率等。
任务总结
资金时间价值，又称货币时间价值，是指货币经历一定时间的投资和再投资所增加的价值，资金的时间价值来源于资金进入社会再生产过程后的价值增值，是财务管理中很重要的概念，在日常的投资理财活动中经常会涉及与资金时间价值相关的决策。
在计算各种资金时间价值的决策中，预付年金和递延年金的现值和终值计算是其中的难点，通过绘制资金收付时间的现金流量图形，能够将预付年金和递延年金问题转换成熟悉的普通年金问题，掌握相关图形的绘制是资金时间价值计算和决策的基本能力。
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