第一节 资金的时间价值
资金的时间价值是指随着时间的推移，周转使用中的资金所发生的货币增值。资金的时间价值有两种表现形式：一种是绝对数形式，是指一笔资金一定时期后的增值额，即利息；另一种是相对数形式，是指一定时期的利息与初始投入资金的比率，即利息率。资金的时间价值并不是由时间创造的，而是劳动者在生产过程中创造的。从本质上看，资金在一定时期的增值额是劳动者在生产过程中所创造的剩余价值。通常情况下，资金的时间价值相当于没有风险和通货膨胀条件下的社会平均资金利润率。
由于资金具有时间价值，一定量的资金存入银行，一定时期后会获得利息，而积压起来的闲置资金则会遭受损失。因此，即使不考虑风险和通货膨胀因素，同样一笔数额的资金在不同的时点上，其经济价值也是不同的；而在一定的利率水平之下，两笔数额不等的资金在不同的时点上彼此的经济价值却可能是相等的，即彼此等值。
一、终值与现值
终值是指现在的一笔资金按给定的利率计算所得到的未来某一时刻的价值，也称未来值。现值是指未来的一笔资金按给定的利率计算所得到的现在时刻的价值。
（一）单利终值与现值
单利是指仅对本金计算利息，以前各期所产生的利息不再计算利息的利息计算方式。
1.单利终值。设P为现在投入的一笔资金，is为单利年利率，n为年限，Fs为单利计算方法下n年末的终值。现在投入的一笔资金，n年末的终值相当于n年末的本利之和，其计算公式为：
［例2-1］某人现在存入银行1000元，存期5年，银行按10%的年利率单利计息，问5年末此人可从银行取出本息多少元？
解：根据式（2-1）可得：
Fs=1000×（1+10%×5）=1500（元）
由式（2-1）可以看出，单利计息时，一定利率之下，终值与计息期数之间具有线性关系，如图2-1所示。
图2-1 不同利率下的单利终值
图2-2 不同贴现率下的单利现值
2.单利现值。如果已知一笔现在的款项一定时期后按单利计息的终值，则可求出其等值的现值。由终值求现值的过程叫做贴现或折现，贴现时所使用的利率又称贴现率或折现率。
由式（2-1）可得：
单利计息时，一定的贴现率水平之下，现值与贴现期数之间呈反方向变化。如图2-2所示。
［例2-2］某人三年前存入银行一笔钱，现在可取出本息合计2300元，银行按5%的年利率单利计息，问此人三年前存入银行多少钱？
解：根据式（2-2）可得：Fs=2300÷（1+5%×3）=2000（元）
（二）复利终值与现值
复利是指不仅对本金计算利息，而且对以前各期所产生的利息也计算利息的利息计算方式。
1.复利终值。是指一笔资金按一定的利率复利计息时，未来某一时刻的本利和。设：P为现在的一笔本金，i为复利年利率，n为计息年数，F为n年末的复利终值，则n年末本利和的计算如表2-1所示。
表2-1 n年末的复利终值
因此，可得复利终值公式：
式（2-4）中，FVIFi，n称为复利终值系数，且FVIFi，n=（1+i）n。通过附表一即复利终值系数表可以查得利率为i、计息期数为n所对应的复利终值系数。由式（2-3）可以看出，在一定的利率水平下，复利终值F与计息期数n之间具有指数关系，如图2-3所示。
图2-3 不同利率下的复利终值与计息期数之间的关系
在资金的时间价值计算过程中，往往借助于现金流量图来分析现金流入和流出的情况。现金流量图是一种以时间为横轴、配以纵向的箭线所组成的图形。横轴的时间刻度多数情况下以年为单位标示，根据实际需要也可以不到一年或几年为单位标示，纵向的箭线根据现金流量的大小近似地按比例反映现金流量的发生情况。一般情况下，假定资金的收付均发生在年初或年末某一时点上，向下的箭线表示现金流出，向上的箭线表示现金流入。
［例2-3］某银行贷出一笔100万元、5年期限的款项，贷款的年利率为6%，复利计息。问该银行5年后可一次性收回这笔贷款的本利和共多少？
解：从银行的角度分析，可画出现金流量图，如图2-4所示。
图2-4
由式（2-3）可得：F=100×（1+6%）5=133.8（万元）
或：由式（2-4）得：
F=100×（FVIF6%，5）=100×1.338=133.8（万元）
即银行5年后可收回贷款的本利和为133.8万元。
2.复利现值。是指未来时期的一笔资金按一定的利率复利计算折合成现在时刻的价值。贴现是复利的反过程。根据式（2-3），在已知复利终值、贴现率和贴现期数的条件下，可求得复利现值，其计算公式为：
式（2-6）中，PVIFi，n称为复利现值系数，且PVIFi，n=1/（1+i）n。由附表二即复利现值系数表可以查得贴现率为i、贴现期数为n所对应的复利现值系数。
［例2-4］某人希望在10年后获得50000元款项，若银行存款的年利率为8%，且复利计息，那么，此人现在应一次性存入银行多少钱？
解：根据题意可画出现金流量图，如图2-5所示。
图2-5
图2-6 不同利率下的复利现值与贴现期数之间的关系
或由式（2-6）得：P=50000×（PVIF8%，10）=50000×0.463=23150（元）
一定的利率水平下，复利现值与贴现期数之间呈反方向变化的关系，如图2-6所示。
二、年金
年金是指一定期限内每期都有的一系列等额的收付款项。年金可按照发生的时间和期限的不同划分为四种类型：一是普通年金，又称后付年金，指一定期限内每期期末发生的一系列等额收付款项；二是先付年金，又称即付年金，指一定期限内每期期初发生的一系列等额收付款项；三是永续年金，即无限期发生的普通年金；四是延期年金，即一定时期以后才发生的普通年金。
（一）普通年金的终值与现值
1.普通年金的终值。已知一定期限内的普通年金系列，求其终值的问题可用现金流量图示意，如图2-7所示。
图2-7
设：A为年金，i为复利年利率，n为年金发生的期限，F为年金终值。在已知年金A、期限n和年利率i的情况下，为求得普通年金的终值，可将第1至第n年年末的年金逐笔向后计算相当于第n年年末的复利终值并加总，可得：
为使（1）式简化，可将（1）式等号两边都乘以（1+i），得：
将式（2）减去式（1），得：
［例2-5］若某人在10年的期限内每年年末等额地向银行存入1000元，银行按5%的年利率复利计息，那么，此人在10年末可一次性从银行取出本息多少钱？
解：根据题意可画出现金流量图，如图2-8所示。
图2-8
由式（2-7）可得：
或由式（2-8）得：
F=1000×（FVIFA5%，10）=1000×12.578=12578（元）
［例2-6］某人打算在今后的4年中每年年末等额从银行取出2000元，在银行按10%的年利率复利计息的情况下，此人现在应一次性存入银行多少钱？
解：根据题意可画出现金流量图，如图2-9所示。
图2-9
由式（2-9）可得：
或由式（2-10）得：
P=2000×（PVIFA10%，4）=2000 ×3.170=6340（元）
（二）先付年金的终值与现值
1.先付年金的终值。先付年金发生在每期期初，若按普通年金终值公式计算，相当于计算到了（n-1）年末时刻的终值，再向后复利一期，即乘以系数（1+i），就可得到先付年金的终值Vn（见图2-10），其计算公式为：
图2-10
或者，先在第n年年末虚设一笔年金A，这样可得到（n+1）期的普通年金。根据普通年金终值公式计算（n+1）期普通年金的终值，再减去n年年末虚设的一笔年金A，也可得到先付年金的终值Vn，其计算公式为：
由式（2-12）可见，先付年金终值系数相当于是在普通年金终值系数的基础上期数加1系数减1调整之后的结果。
［例2-7］某人准备在今后的5年中每年年初等额存入银行8000元钱，如果银行按4%的年利率复利计息，那么第5年年末此人可一次性从银行取出多少钱？
解：由式（2-11）可得：
V5=8000×（FVIFA4%，5）×（1+4%）
=8000 ×5.416×（1+4%）=45061（元）
或V5=8000×（FVIFA4%，6）-8000
=8000 ×6.633-8000=45064（元）
2.先付年金的现值。先付年金的现值V0可以通过两种不同的方法计算得到。一种方法是可以先按普通年金现值公式将n期的普通年金折算到第0期的前一期即第-1期时刻的价值，再乘以系数（1+i）向后复利一期，则得到先付年金的现值V0（见图2-11），其计算公式为：
图2-11
或者，先将第1期末至第（n-1）期末的年金按照普通年金现值公式折算为第0期的现值，再加上第0期的一笔年金A，也可得到先付年金的现值V0，其计算公式为：
由式（2-14）可见，先付年金的现值系数相当于是在普通年金现值系数的基础上期数减1系数加1调整之后的结果。
［例2-8］某企业准备在今后的3年期限内租用一台设备，按租赁合同的约定，每年年初需要支付租金6000元，若贴现率为10%，那么全部租金的现值是多少？
解：由式（2-13）可得：
V0=6000×（PVIFA10%，3）×（1+10%）
=6000 ×2.487×（1+10%）=16414（元）
或由式（2-14）可得：
V0=6000×（PVIFA10%，2）+6000
=6000 ×1.736+6000=16416（元）
（三）永续年金的现值
永续年金是无限期的普通年金，因此不会有终值。永续年金的现值可由期限n趋于无穷大时的普通年金现值公式得到。
由式（2-9）可知，普通年金的现值计算公式为：
［例2-9］某学校拟建一项永久性的奖学金，准备每年用5000元奖励学习优秀的学生。如果银行存款的年利率为5%，且复利计息，那么该校现在应存入银行多少钱？
解：由式（2-15）得：
（四）延期年金的现值
延期年金是一定时期以后才开始有的年金，其终值可直接根据普通年金终值公式计算。延期年金的现值可采用两种不同的方法计算。
假设前m期没有年金，m+1至m+n期有n期普通年金A，如图2-12所示。
图2-12
可根据普通年金现值公式先将n期的普通年金折算为m年年末时刻的价值，然后再向前贴现m期，即可得到延期年金的现值V0，其计算公式为：
或者，先假设前m期也有普通年金A，这样，就可得到（m+n）期的普通年金。根据普通年金现值公式计算（m+n）期普通年金的现值，再减去虚设的前m期普通年金的现值，也可得到延期年金的现值V0，其计算公式为：
［例2-10］某人准备现在存入银行一笔钱，希望能够今后在第6年至第10年年末每年等额从银行取出1000元钱。如果银行存款的年利率为8%，且复利计息，那么此人现在应当一次性存入银行多少钱？
解：根据题意可画出现金流量图，如图2-13所示。
图2-13
由式（2-16）得：
V0=1000×（PVIFA8%，5）×（PVIF8%，5）
=1000 ×3.993 ×0.681=2719（元）
或由式（2-17）得：
V0=1000×（PVIFA8%，10）-1000×（PVIFA8%，5）
=1000 ×6.710-1000 ×3.993=2717（元）
三、名义年利率与有效年利率
在计算资金的时间价值的过程中，通常情况下给定了年利率，并且以年为计息周期，每年计息一次。但在实际经济活动中，有时会出现以半年、季度、月度或更短的时间为计息周期，即每年计息两次、四次或十二次计算复利等情况。如果每年计息的次数超过一次，那么给定的年利率仅是名义年利率，按一年的实际年利息与本金之比所计算的有效年利率会与给定的名义年利率不一致。
例如，企业借入资金100万元，年利率12%，在分别按年、半年、季度、月度为计息周期的情况下，一年末的本利和及有效年利率计算如表2-2所示。
表2-2 计息周期与有效年利率
可见，计息周期短于一年时，有效年利率大于名义年利率，而且一年内计息的次数越多，有效年利率越高。有效年利率与名义年利率之间的关系如公式（2-18）所示。
式中：γ表示有效年利率；i表示名义年利率；m表示一年内计息的次数。
特别地，在大银行的业务活动或理论研究中，有时会用到连续复利率，即允许每日、每时、每分、每秒……连续地计算复利。当一年内计息的次数m趋于无穷大时，就得到了连续复利时的有效年利率：γ=ei-1。其中，e为自然对数的底数，e≈2.71828。
例如，当给定的名义年利率为12%，按日计息，即一年内365次计息时，有效年利率为：
四、插值法
在计算资金时间价值的过程中，如果给定的年利率是1%的整数倍，年限是整数年时，往往可以直接通过查附表找到所需要的有关系数。但有时可能会出现给定的年利率不是1%的整数倍，年限不是整数年的情况；或反过来，已知现值、终值、年金等，需求未知的利率或相应的年限，则借助于插值法可以比较方便地解决类似的问题。
［例2-11］某人向银行贷款10万元购买房子，在今后的5年中，每年年末要向银行等额还款2.34万元，问银行贷款的年利率是多少？
解：根据年金现值公式，可得：
10=2.34·（PVIFAi，5）
PVIFAi，5=4.274
在附表四即年金现值系数表中的年限为5年一行中查找与4.274相近的数字，可查得：
PVIFA5%，5=4.330
PVIFA6%，5=4.212
将利率与年金现值系数之间的关系画到坐标图中，在利率较小的区间内，近似认为二者有线性关系，如图2-14所示。
根据相似三角形的比例关系，可得：
［例2-12］某公司目前拟对原有的一台设备进行更新改造，预计现在一次支付10万元，可使公司每年成本节约2.5万元。若现在银行复利年利率为6%，那么，更新这台设备至少使用几年才合算？
图2-14 利率与年金现值系数之间的关系
解：根据年金现值公式，可得：
10=2.5·（PVIFA6%，n）
PVIFA6%，n=4
在附表四即年金现值系数表中的利率为6%一列上查找与4相近的数字，
图2-15 年限与年金现值系数之间的关系
可查得：
PVIFA6%，4=3.465
PVIFA6%，5=4.212
将年限n与年金现值系数之间的关系画到坐标图中，在年限n较小的区间内，近似认为二者有线性关系，如图2-15所示。
根据相似三角形的比例关系，可得：
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