无穷小量和无穷大量

定义2.3.3　设（x）和g（x）当x→x₀时是无穷小量且g（x）≠0．

（1）如果

则称f（x）是g（x）当x→x₀时的高阶的无穷小量，g（x）是比f（x）低阶的无穷小量。

（2）如果

则称f（x）与g（x）是当x→x₀时的同阶无穷小量。

（3）如果

则称f（x）与g（x）是当x→x₀时的等价无穷小量。

对于无穷大量，我们也可以进行比较，有相应于定义2.3.3的定义。

定义2.3.4　设（x）和g（x）当x→x₀时是无穷大量且g（x）≠0，

（1）如果

则称f（x）是比g（x）低阶的无穷大量，g（x）是比f（x）高阶的无穷大量。

（2）如果

则称f（x）与g（x）是同阶无穷大量。

（3）如果

则称f（x）与g（x）是等价无穷大量。

我们介绍几个常用的记号。

注2.3.5　等价无穷小量（或者无穷大量）满足乘法运算关系，但不满足加法运算关系，即如果x→x₀时，f（x）～α（x），g（x）～β（x），我们有

f（x）g（x）～α（x）β（x）（x→x₀），

但

f（x）＋g（x）～α（x）＋β（x）（x→x₀）

不一定成立。如f（x）＝x＋x³，α（x）＝x＋x²，g（x）＝β（x）＝－x，当x→0时，f（x）～α（x），g（x）～β（x），但f（x）＋g（x）～α（x）＋β（x）不成立。

（2）利用对数函数的连续性，

所以

（3）令e^x－1＝t，则x＝ln（1＋t）且当x→0时，t→0．

所以

（4）令αln（1＋x）＝t，则x→0时，t→0．

所以

当x→0时，我们有sinx～x，tanx～x，ln（1＋x）～x，e^x－1～x，（1＋x）^α－1～αx．

根据下面定理，我们可以利用等价无穷小来简化函数极限的计算，这是一个非常有效的方法。

证明　利用

和极限的乘法法则，

解　当x→0时

根据定理2.3.7，

在计算极限时，加法是不能用等价无穷小量来替代的（见注2.2.5）。

下面的计算是错误的：

解　a^x－a^α＝a^α（a^x－α－1），令x－α＝t，则

解　令x－1＝t，则x＝1＋t，当x→1时，t→0，

我们也可以讨论当x→∞时的无穷小量和无穷大量并有类似的性质，请读者自己叙述和应用。