函数项级数与一致收敛

函数项级数的基本概念

设｛u_n（x）｝是定义在数集E上的一个函数列，和式

u₁（x）＋u₂（x）＋…＋u_n（x）＋…

称为定义在数集E上的函数项级数。称

为函数项级数的前n项的部分和。若x₀∈E，且数项级数

u₁（x₀）＋u₂（x₀）＋…＋u_n（x₀）＋…

收敛，则称函数项级数在点x₀收敛，称x₀为收敛点。如果该函数项级数在E的某一子集D上的每点都收敛，则称此函数项级数在D上收敛。全体收敛点的集合称为收敛域。在收敛域上，每一点x都有和数S（x），则称S（x）为函数项级数的和函数。

例7.7.1　几何级数

1＋x＋x²＋…＋xⁿ＋…

对任何x≠1，前n项和

于是当｜x｜＜1时，

函数项级数的一致收敛概念

设函数项级数

u₁（x）＋u₂（x）＋…＋u_n（x）＋…

按数列极限的定义，对于任意给定的正数ε，以及区间I上的每一个值x₀，都存在着一个自然数N，使得当n＞N时，有不等式

｜S（x₀）－S_n（x₀）｜＜ε．

即

这个数N一般来说不仅依赖于ε，而且也依赖于x₀。下面我们考虑一种更强的收敛性概念。其定义中的N不依赖于x₀，仅依赖于ε．

定义7.7.2　给定区间I上的函数列｛S_n｝及函数S，如果对于任意给定的正数ε，存在自然数N，使当n≥N时，对一切x∈I，都有

｜S_n（x）－S（x）｜＜ε

注意到定义中的N是对所有x∈I都适合的。从定义可知，若函数项级数在I上一致收敛，则必在I上每点都收敛。反之则不一定，如下面的例子。

函数项级数一致收敛的判别法

判别函数项级数是否一致收敛有许多种办法，以下介绍其中常见的几种。

｜u_n＋1（x）＋u_n＋2（x）＋…＋u_n＋p（x）｜＜ε．

于是对一切p

充分性　若对任意ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，对一切x∈I和自然数p，都有

即对一切x∈I和自然数p有

由数列收敛的Cauchy准则，对一切x∈I，S_n（x）都收敛，其极限记为S（x），在

中令p趋于+∞，于是当n＞N时，对一切x∈I都有

在判断函数项级数是否一致收敛时，有更简单和有效的判别法。

证明　由条件（ii），对任意给定的ε＞0，根据级数的Cauchy收敛准则，存在自然数N，当n＞N时，对任意的自然数p，都有

a_n＋1＋a_n＋2＋…＋a_n＋p＜ε．

由条件（i），任何x∈I，都有

解　因为对一切x∈（-∞,+∞），都有

最后介绍两种关于函数项级数一致收敛的比较有效的判别法。考虑在区间I上有定义的如下形式的函数项级数

它可看作两个函数项序列的对应项乘积之和。

（ii）对于每个x∈I，｛v_n（x）｝是单调的；

（iii）｛v_n（x）｝在I上一致有界，即存在正数M，使得对一切x∈I和自然数，n，有

｜v_n（x）｜＜M，

在I上一致有界；

（ii）对每个x∈I，｛u_n（x）｝是单调的；

（iii）在I上，｛v_n（x）｝一致趋于零；

作为这两个定理的应用，我们来看下面的两个例子。

证明　可以验证在闭区间［α，2π－α］上有

一致收敛级数的性质

一致收敛级数有许多性质，以下讨论其中几个常用的性质。

证明　设x₀，x为I上任意两点，则

由（1），（2），（3）式可见，对任给ε＞0，必存在δ＞0，当｜x－x₀｜＜δ时，有

｜S（x）－S（x₀）｜＜ε．

所以S（x）在点x₀处连续，而x₀在I上是任意的，因此S（x）在I上连续。

这个定理指出：在一致收敛的条件下，

即函数项级数中求和与极限运算可以交换次序。　　□

其中x₀，x∈I，并且上式右端的函数项级数在I上一致收敛。

又由函数项级数的一致收敛性，对任给的ε＞0，都存在N＝N（ε），使当n＞N时，对I上的一切x，都有

于是当n＞N时，有

根据极限定义，有

即

而

故

从而有

其中a≤x₀≤x≤b，a，b为I的左右端点。上式两端求导，即得关系式

φ（x）＝S′（x）．

所以

由此即得所要证的结论。　　□

必须注意，函数项级数一致收敛并不保证可以逐项求导。例如，可以证明函数项级数

在任何区间I上都是一致收敛的，但逐项求导后的级数

cosx＋cos2²x＋…＋cosn²x＋…，

其一般项不趋于零，所以对任意值x都是发散的，因此原函数项级数不可以逐项求导。