牛顿定律应用举例

牛顿运动定律定量地反映了物体所受的合外力、质量和运动之间的关系．应用牛顿运动定律解决的动力学问题一般可分为两类：一类是已知力求运动；另一类是已知运动求力．在实际问题中常常两者兼有．

式（2.1c）是牛顿第二定律的矢量式，实际应用时常用到分量式．由力的叠加原理，当几个外力同时作用于物体时，合外力所产生的加速度等于每个外力所产生的加速度的矢量和．式（2.1c）在直角坐标系x、y、z轴上的分量式为

式中Fx、Fy、Fz分别表示作用于物体上所有外力在x、y、z轴上的分量之和；ax、ay、az分别表示物体加速度a在x、y、z轴上的分量．

当质点作平面曲线运动时，可选取自然坐标系，如图2.1所示，en为法向单位矢量，et为切向单位矢量，质点在P点的加速度在自然坐标系的两个相互垂直方向上的分量为an和at，牛顿第二定律可写成

图2.1　加速度在自然坐标系的分解

式中Fn和Ft分别表示合外力的法向分量和切向分量，ρ是质点所在处曲线的曲率半径．

应用牛顿第二定律求解力学问题时，一般按下列步骤进行：

（1）根据问题的需要和计算方便，选取研究对象．

（2）把研究对象从与之相联系的其他物体中“隔离”出来进行受力分析，画出受力图．

（3）分析研究对象的运动状态，涉及几个物体时，需找出它们运动之间的联系．

（4）选择适当的坐标系，由牛顿第二定律列出方程并求解．

注意，求解时最好先用符号得出结果，而后再带入数据进行运算，这样既简单明了，又可避免数字的重复运算和运算误差．

下面通过几则典型例题介绍质点动力学问题的一般解法．

例2.1　设电梯中有一质量可以忽略的滑轮，在滑轮两侧用轻绳悬挂着质量分别为m1和m2的重物，且m1＞m2．设滑轮与轻绳间的摩擦及轮轴的摩擦忽略不计．当电梯（1）匀速上升，（2）以加速度a匀加速上升时，求绳中的张力和m1相对于电梯的加速度ar．

解　（1）取地面为参考系，把m1和m2隔离开来，分别画出它们的受力图，如图2.2所示．因忽略轻绳质量和滑轮质量，故滑轮两侧绳中张力相等．

当电梯匀速上升时，物体相对地面的加速度等于它相对电梯的加速度ar，取y轴的正方向向上，由牛顿第二定律得

图2.2　例2.1图

其中a1＝a2．由上两式消去T，解得

（2）当电梯以加速度a上升时，m1相对地面的加速度a1＝a－ar，m2相对地面的加速度a2＝a－ar，由牛顿第二定律

由此解得

如在结果中用－a代替a，可得电梯以加速度a下降时的结果

由此可看出，当a＝g时，ar与T都等于0，亦即滑轮、物体都成为自由落体，两个物体之间没有相对加速度．

例2.2　如图2.3所示，长为l的轻绳，一端系着质量为m的小球，另一端系于定点O，开始时小球处于最低位置．若使小球获得如图所示的初速v0，小球将在铅直平面内作圆周运动．求小球在任意位置时的速率及绳的张力．

图2.3　例2.2图

解　由题意，t＝0时，小球位于最低点，速率为v0．在时刻t，小球位于P点，轻绳与铅直线成θ角，速率为v．此时小球受力为：重力mg、绳的拉力T，由牛顿第二定律

选取自然坐标系，以过P点与速度同向的切线方向为et轴，过P点指向圆心的法线方向为en轴．式（1）在两轴方向上的分量式为

an为法向加速度，an＝v2/l；at为切向加速度，at＝dv/dt．上两式为

式（3）中

代入式（3）可写成

将上式积分并带入初始条件，有

得

代入式（2）得

由式（4）可以看出，小球的速率与位置有关．在0～π之间，速率随角θ的增大而减小；而在π～2π之间，小球速率随角θ的增大而增大．小球作变速率圆周运动．

由式（5）可以看出，在小球从最低点向上升的过程中，绳对小球的张力随角θ的增大而减小，在到达最高点时，张力最小；而后在小球下降的过程中，张力又逐渐增大，在到达最低点时，张力最大．

例2.3　已知小球质量为m，水对小球的浮力为B，水对小球运动的黏滞阻力为R＝Kv，式中的K是与水的黏滞性、小球的半径有关的常数，计算小球在水中竖直沉降的速度．

解　如图2.4，对小球进行受力分析：重力G竖直向下，浮力B竖直向上，黏滞力R竖直向上．

图2.4　例2.3图

取向下方向为正，由牛顿第二定律

即

当小球速度v逐渐增加时，其加速度逐渐减小．当v增加到足够大时，a趋近于零，此时v趋近于一个极限速度，称为收尾速度，用vT表示，令

于是式（1）化为

对上式两边积分

得

上式为小球的沉降速度v随t变化的函数关系．