极限存在准则

1）夹逼准则

定理1　如果数列{an}，{bn}，{cn}满足：

（1）存在正整数N，当n＞N时，有an≤cn≤bn；

a－ε＜an＜a＋ε；

当n＞N2时有

a－ε＜bn＜a＋ε．

取N3＝max{N，N1，N2}，则当n＞N3时，有

a－ε＜an≤cn≤bn＜a＋ε，

即

∣cn－a∣＜ε，

所以

这个定理不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一种求极限的方法．

由夹逼准则知

上述数列极限存在准则可以推广到函数极限的情形．

定理2　如果函数f（x），h（x），g（x）满足：

（1）在x0的某个去心邻域内，f（x）≤h（x）≤g（x）；

则

解　由于

当x＞0时

另一方面，当x＜0时

综上所述，得

2）单调有界准则

定义　如果数列{an}满足

a1≤a2≤…≤an≤an＋1≤…

则称{an}是单调增加数列；如果数列{an}满足

a1≥a2≥…≥an≥an＋1≥…

则称{an}是单调减少数列．单调增加和单调减少数列统称为单调数列．

定理3（单调有界准则）　单调有界数列必有极限．

证　显然{an}是单调增加的，下面证明{an}有上界．事实上

于是，由单调有界准则，数列{an}收敛．

证　由于

所以

因为

故

从而

即

e是一个无理数，它的值是

e≈2.718 281 828 459…

即

故

sin x＜x＜tan x．

图1.13

不等式各边同除以sin x，有

解

证　先考虑x→＋∞的情形．任意x≥1，有

故

则

由例4有

由夹逼准则有

再证x→－∞的情形．当x＜0时，设x＝－y，则x→－∞时y→＋∞，故

综合有

这个重要极限的另一种形式为

解

例9　设某人以本金p元进行一项投资，投资的年利率为r．如果以年为单位计算复利（即每年计息一次，并把利息加入下年的本金，重复计息），那么t年后，资金总额将变为

而若以月为单位计算复利（即每月计息一次，并把利息加入下月的本金，重复计息），那么t年后，资金总额将变为

这样类推，若以天为单位计算复利，那么t年后，资金总额将变为

现在让n→∞，即每时每刻计算复利（称为连续复利），那么t年后，资金总额将变为

1．求下列极限：

2．求下列极限：

3．利用夹逼准则求下列数列的极限：

4．利用单调有界准则证明下列数列收敛．