前面介绍了一阶线性微分方程．一般地，若微分方程关于未知函数及其各阶导数是线性的，则称此方程为线性微分方程．n阶线性微分方程的一般形式为
其中a1（x），a2（x），…，an（x）和f（x）都是某个区间I上的已知连续函数．当f（x）≡0时，（1）变成相应的齐次线性方程：
我们先讨论二阶齐次线性方程：
定理1（叠加原理） 如果函数y1（x）与y2（x）是二阶齐次线性方程（3）的两个解，则
也是方程（3）的解，其中C1，C2是任意常数．
证 将式（4）代入方程（3）的左边，得
由于y1与y2是方程（3）的解，上式右边方括号中的表达式都恒等于零，因而整个式子恒等于零，所以式（4）是方程（3）的解．
例如，可以验证y1＝e3x与y2＝e－x都是方程
y″－2y′－3y＝0
的解，从而由叠加原理可知，对于任意常数C1，C2，y＝C1e3x＋C2e－x也是方程的解，且由于这个解含有两个互相独立的任意常数C1与C2，所以y＝C1e3x＋C2e－x是方程的通解．但是，对于这个方程的任意两个解y1与y2，y＝C1y1＋C2y2不一定是方程的通解．
例如，y1＝e3x与y2＝2e3x是方程
y″－2y′－3y＝0
的两个解，由于y＝C1e3x＋C2·2e3x可以改写为y＝Ce3x，其中C＝C1＋2C2，所以y＝C1e3x＋C2·2e3x显然不是方程的通解．那么在什么情况下式（4）才是方程（3）的通解？为解决这个问题，我们引入函数线性相关与线性无关的概念．
定义 设y1（x），y2（x），…，yn（x）为定义区间I上的n个函数，如果存在n个不全为零的常数k1，k2，…，kn，使得任意x∈I都有
k1y1（x）＋k2y2（x）＋…＋knyn（x）＝0
成立，则称y1（x），y2（x），…，yn（x）在区间I上线性相关；否则称线性无关．
对于两个函数的情形，判断它们线性相关与否，只要看它们的比是否恒为常数．如果比恒为常数，那么它们线性相关，否则线性无关．
有了线性相关与线性无关的概念，我们给出如下关于二阶齐次线性方程（3）通解结构的定理．
定理2 如果函数y1（x）与y2（x）是二阶齐次线性方程（3）的两个线性无关的特解，则
y＝C1y1（x）＋C2y2（x） （C1，C2是任意常数）
就是方程（3）的通解．
例如，y1＝e3x与y2＝e－x是方程y″－2y′－3y＝0两个线性无关的特解，由上述定理可知y＝C1e3x＋C2e－x是方程的通解．
定理2不难推广到n阶齐次线性微分方程的情形．
推论 如果y1（x），y2（x），…，yn（x）是n阶齐次线性微分方程（2）的n个线性无关的特解，则
y＝C1y1（x）＋C2y2（x）＋…＋Cnyn（x） （其中C1，C2，…，Cn为任意常数）
是方程（2）的通解．
在前一节中我们已经看到，一阶非齐次线性微分方程的通解由两部分组成：一部分是对应齐次方程的通解，另一部分是非齐次方程本身的一个特解．实际上，二阶及更高阶的非齐次线性微分方程的通解也具有同样的结构．
定理3 设y*（x）是二阶非齐次线性微分方程
的特解，Y（x）是方程（5）相应的齐次线性方程（3）的通解，则
方程（5）的通解．
证 把y＝Y（x）＋y*（x）代入式（5）的左边，得
因为Y是方程（3）的解，y*是方程（5）的解，所以右边第一个括号内的表达式恒等于零，第二个恒等于f（x）．这样，y＝Y＋y*使式（5）的两边恒等，即y＝Y＋y*是方程（5）的解．
因为相应的齐次线性方程（3）的通解Y＝C1y1＋C2y2含有两个任意常数，所以y＝Y＋y*也含有两个任意常数，从而就是二阶非齐次线性方程（5）的通解．
在求解非齐次线性方程的特解时，有时可采用下述定理：
定理4 设非齐次线性方程（5）的右边f（x）可表示成几个函数之和，如
而y1与y2分别是方程
y″＋P（x）y′＋Q（x）y＝f1（x）
与
y″＋P（x）y′＋Q（x）y＝f2（x）
的特解，则y1＋y2是方程（7）的特解．
读者很容易验证这个定理．
这一定理通常称为非齐次线性微分方程的解的叠加原理．
定理3和定理4可以推广到n阶非齐次线性方程的情形，这里不再赘述．
1．下列函数组中，哪些是线性无关的？
（1）x，x2；
（2）x，2x；
（3）x，ex；
（4）ex，e－x；
（5）sin 2x，cos 2x；
（6）excos 2x，exsin 2x．
2．验证y1＝cos 2x及y2＝sin 2x都是方程y″＋4y＝0的解，并写出该方程的通解．
3．验证：
（1）y＝C1ex＋C2e－x＋e2x（C1，C2是任意常数）是方程y″－y＝3e2x的通解；
（3）y＝C1ex＋C2e－x＋C3cos x＋C4sin x－x2（C1，C2C3C4是任意常数）是方程y（4）－y＝x2的通解．
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