矩阵的运算

定义3　设有两个m×n矩阵A=（aij）m×n，和B-（bij）m×n，则矩阵A与矩阵B的和记作A+B，并规定为

注意：只有同型矩阵才能进行加法运算.

矩阵加法的运算规律（设A，B，C都是m×n矩阵）：

（i）A+B=B+A；

（ii）（A+B）+C=A+（B+C）.

设矩阵A=（aij）m×n，记-A=（-aij）m×n，称为A的负矩阵，显然有

A+（-A）=0.

由此定义矩阵的减法为

A-B=A+（-B）.

定义4　数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，并规定为

数与矩阵相乘的运算规律（设A，B都是m×n矩阵，λ，μ为数）：

（i）（λμ）A=λ（μA）；

（ii）（λ+μ）A=λA+μA；

（iii）λ（A+B）=λA+λB.

矩阵的加法和数与矩阵的乘法合起来，统称为矩阵的线性运算.

定义5　设矩阵A=（aij）m×s，B=（bij）s×n，则规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵C=（cij）m×n，其中

把此乘积记作C=AB.

由定义可以看出：C=AB中第i行第j列的元素cij，等于A的第i行与B的第j列的对应元素的乘积之和. 必须注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘.

例2.1　若变量x1，x2，…，xn与变量.y1，y2，…，ym之间存在关系式

则称该关系式为从变量x1，x2，…，Xn到变量.y1，y2，…，ym的线性变换. 由矩阵乘法的定义，上式可表示为：Y=AX，其中

例2.2　设矩阵

求AB.

解　因为A是2×3矩阵，B是3×3矩阵，A的列数等于B的行数，所以矩阵A与B可以相乘，AB=C是2×3矩阵. 由定义5有

由以上例子可以看出，矩阵乘法一般不满足交换律，即AB≠BA.因为AB与BA未必都有意义，如例2.2中，AB有意义，而BA就没有意义；即使都有意义，AB也不一定等于BA，如例2.3. 由此可知，在矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序.AB是A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积.

对于两个n阶方阵A，B，若AB=BA，则称A与B是可交换的.

由例2.3还可看出：A，B都不是零矩阵，但却有AB=O，这是矩阵乘法与数的乘法又一不同之处. 特别注意：若两个矩阵A，B满足AB=O，不能推出A=O或B=O的结论；若AB=AC，A≠O，也不能推出B=C的结论.

矩阵乘法的运算规律（设其中所涉及的运算都有意义）.

（i）（AB）C=A（BC）；

（ii）A（B+C）=AB+AC，

（B+C）A=BA+CA；

（iii）λ（AB）=（λA）B=A（λB）.

对于单位矩阵E，容易验证

EmAm×n=Am×n，Am×nEn=Am×n，

可简记为

EA=AE=A.

可见单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数量中的1.

有了矩阵的乘法，就可定义n阶方阵的幂. 设A是n阶方阵，k为正整数，则规定

A1=A，A2=A1A1，…，Ak=Ak-1A1，

称Ak为A的k次幂，即Ak就是k个A连乘.

方阵幂的运算规律：

（i）AkAl=Ak+l；

（ii）（Ak）l=Akl.

由于矩阵乘法运算一般不满足交换律，所以在数的乘法中成立的一些恒等式，在矩阵中一般不再成立. 如

（A+B）2≠A2+B2+2AB；

（A+B）（A-B）≠A2-B2；

（AB）k≠Ak·Bk.

但若A与B可交换，即AB=BA，则上式等号成立.

解

于是很容易通过数学归纳法得到

定义6　将m×n矩阵A=（aji）m×n的行换成同序数的列得到的一个n×m矩阵，称为A的转置矩阵，记作AT.

例如矩阵

的转置矩阵为

矩阵的转置也可看成一种运算，满足下列运算规律：

（i）（AT）T=A；

（ii）（A+B）T=AT+BT；

（iii）（λA）T=λAT；

（iv）（AB）T=BTAT.

（i），（ii），（iii）可直接按定义验证，下面只证明（iv）.

证　设A=（aij）m×s，B=（bij）s×n，记AB=C=（cij）m×n，BTAT=D（dij）n×m，按矩阵乘法公式，有

同理，由于BT的第j行为B的第j列，AT的第i列为A的第i行，故D的第j行第i列元素

所以

dji-cij（i-1，2，…，m；j-1，2，…，n），

即D=CT，亦即

（AB）T=BTAT.

（ii），（iv）还可推广到n个矩阵的情形：

例2.5　已知

求（AB）T.

解法1　因为

所以

解法2

定义7　设A为n阶方阵，如果满足AT=A，即

aij=aji（i，j=1，2，…，n），

则称A为对称阵. 其特点是它的元素以主对角线为对称轴对应相等.

例如

为对称阵.

定义8　若n阶方阵A满足AT=-A，即

aij=-aji（i，j=1，2，…，n），

则称A为反对称阵. 由此定义，应有aii=-aii（i=1，2，…，n），即aii=0，表明主对角线上的元素aii（i=1，2，…，n）全为零.

例如

为反对称阵.

例2.6　设列矩阵X=（x1，x2，…，xn）T满足XTX=1，E为n阶单位矩阵，H=E-2XXT，证明H是对称矩阵，且HHT=E.

证　因为

所以H是对称矩阵. 且

定义9　由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作|A|或det A.

注意：方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵是n2个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是n2个数按一定的运算法则所确定的一个数.

方阵的行列式的运算规律（设A，B为n阶方阵，λ为数）：

（i） | AT|=|A|（行列式的性质1）；

（ii）|λA|=λn|A|；

（iii）|AB|=|A|·|B|.

（i）和（ii）由行列式的性质容易验证. 下面我们证明（iii）.

证　设A=（aij），B=（bij），记2n阶行列式

由第1章1.3节中的例1.11可知D=|A|·|B|，而在D中以b1j乘第1列，b2j乘第2列，…，bnj.乘第n列，都加到n+j列上（j=1，2，…，n），有

其中，C=（cij），cij=b1jail+b2jai2+…+bnjain，故C=AB.

再对D的行作ri↔rn+j（j=1，2，…，n），有

由第1章1.3节中的例1.11有

D=（-1）n|-E||C|=（-1）n（-1）n|E||C|=|C|=|AB|，

所以

|AB|=|A|·|B|.

对于n阶方阵A，B，一般来说AB≠BA，但总有|AB|=|BA|=|A|·|B|.

例2.7　设A是n阶方阵，满足AAT=E，且|A|=-1，求|A+E|.

解　由于

所以2|A+E|=0，即|A+E|=0.

共轭矩阵的运算规律（设A，B为复矩阵，λ为复数，且运算都有意义）：