向量组的线性相关性

定义4　给定向量组A:a1，a2，…，am，若存在不全为零的一组数k1，k2，…，km，使

k1a1+k2a2+…+kmam=0，

则称向量组A是线性相关的，否则称向量组A线性无关.

根据相关性的定义，易得如下结论：

（i）对于只有一个向量a的向量组，当a=0时线性相关，当a≠0时线性无关：

（iii）含有零向量的向量组一定线性相关.

向量组线性相关概念也可移用于线性方程组，当方程组中某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，这时称方程组是线性相关的；当方程组中没有多余方程时，就称方程组是线性无关的.

设A=（a1，a2，…，am），则向量组A:al，a2，…，am线性相关，就是齐次线性方程组

x1a1+x2a2+…+xmam=0，即Ax=0

有非零解. 由第3章定理7，可得

定理4　向量组A:a1，a2，…，am线性相关的充分必要条件是矩阵A=（a1，a2，…，am）的秩R（A）<m；线性无关的充分必要条件是R（A）=m（m为向量组A中向量的个数）.

推论　m个n维列向量构成的向量组A:al，a2，….am，当m>n时，一定线性相关.

证　记A=（a1，a2，…，am），则A为n×m矩阵，于是有

R（A）≤min｛n，m｝=n<m，

故由定理4可知结论成立.

解　n维单位坐标向量组构成的矩阵

E=（e1，e2，…，en）

是n阶单位矩阵. 由于|E|=1≠0，所以R（E）=n，由定理4可知该向量组线性无关.

例4.4　已知

讨论向量组a1，a2，a3及向量组a1，a2的线性相关性.

解　由

可知R（a1，a2，a3）=2，故a1，a2，a3线性相关，而R（a1，a2）=2，故a1，a2线性无 关.

例4.5　已知向量组a1，a2，a3线性无关，而

b1=a1+a2b2=a2+a3，b3=a3+a1，

试证向量组b1，b2，b3线性无关.

证一　设有x1，x2，x3使

x1b1+x2b2+x3b3=0，

即

x1（a1+a2）+x2（a2+a3）+x3（a3+a1）=0，

亦即

（x1+x3）a1+（x1+x2）a2+（x2+x3）a3=0，

又因a1，a2，a3线性无关，故有

此齐次线性方程组的系数行列式

故方程组只有零解，即x1=x2=x3=0，所以向量组b1，b2，b3线性无关.

证二　可把已知条件合写成

记为B=AK.因为|K|=2≠0，所以K可逆，根据第3章定理3知R（B）=R（A）.

因为A的列向量组线性无关，根据定理4知R（A）=3，从而R（B）=3，再由定理4知B的3个列向量线性无关，即b1，b2，b3线性无关.

本例给出了两种方法，证一的基本思想：按定义4把证明向量组线性相关性转化为讨论齐次线性方程组有无非零解. 证二的基本思想：采用矩阵形式，并用了矩阵的秩的相关知识及定理4，从而可以不涉及线性方程组而直接证得结论.

下面再给出几个向量组线性相关性方面的重要结论.

定理5　（1）向量组A:a1，a2.…，am（m≥2）线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.

（2）若向量组A:a1.a2，…，am线性相关，则向量组B:a1，a2，…，am，am+1也线性相关；反之，若向量组B:a1，a2，…，am，am+1，线性无关，则向量组A:a1，a2，…，am也线性无关.

（3）设向量组A:a1，a2，…am线性无关，而向量组B:a1，a2，…，am，b线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示唯一.

证　（1）先证必要性.

若A:a1，a2，…，am线性相关，则有不全为零的数k1，k2，…，km使

k1a1+k2a2+…+kmam=0，

不妨设k1≠0，则有

所以a1可由其余m-1个向量a2，…，am线性表示.

再证充分性.

已知a1，a2，…，am中至少有一向量可由其余m-1个向量线性表示. 不妨设a1可由a2，…，am线性表示，即

a1=k2a2+k3a3+…+kmam.

所以

-a1+k2a2+k3a3+…+kmam=0，

因为-1，k2，k3，…，km不全为零，故a1，a2，…，am线性相关.

（2）记A=（a1，a2，….am），B=（a1，a2，…，am，am+1），则有R（B）≤R（A）+ 1. 若向量组A线性相关，根据定理4，有R（A）<m，从而R（B）≤R（A）+1<m+1，因此根据定理4可知向量组B线性相关.

结论（2）是对向量组增加一个向量而言的，对增加多个向量结论仍然成立. 即设向量组A是向量组B的一部分（这时称A是B的部分组），结论（2）可叙述为：一个向量组若有线性相关的部分组，则该向量组线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任一部分组都线性无关.

（3）记A=（a1，a2，…，am），B=（a1.a2，…，am，b），有R（A）≤R（B）. 因为向量组A线性无关，所以R（A）=m，而向量组B线性相关，所以R（B）<m+1，即有m≤R（B）<m+l，故R（B）=m.

由于R（A）=R（B）=m，根据第3章定理4，可知方程组

x1a1+x2a2+…+xman=b

有唯一解，即向量b能由向量组A线性表示，且表示唯一.