连续型随机变量的概率密度函数

定义2.4.1设随机变量X的分布函数是F（x），如果存在一个非负可积函数f（x），使得对任意x∈R有

则称X是连续型随机变量，称f（x）是随机变量X的概率密度函数，简称概率密度或密度.

由定义和分布函数的性质知密度函数有以下基本性质：

可以证明上述性质是一个函数成为某个随机变量的密度函数的充要条件.

一个连续型随机变量的分布由它的密度函数所决定，F（x）的值在几何上可以表达为t轴以上，曲线y= f（t）以下，直线t=x以左部分的面积，如图2-4-1.

由（2.4.1）可以获知

图2-4-1　

图2-4-2　

定理2.4.1设X为连续型随机变量，F（x）和f（x）分别为其分布函数和概率密度，则有

（1）对任意实数a，b （a≤ b）有

（2）对于任意常数c，有P｛X=c｝ = 0.

证（1）由概率密度的定义，有

即X落在（a， b］区间的概率为密度函数y = f（t）与直线t=a，t=b及t轴所围面积，如图2-4-2.

（2）设f（x）是连续型随机变量X的密度函数，则f（x）是非负可积函数，从而f（x）是有界函数，即存在M＞0，使得0≤f（x） ≤ M.而对任意Δx＞0，有

令Δx→0，可得P｛X = c｝ = 0 .

连续型随机变量与离散型随机变量的一个重要区别是连续型随机变量取单个值的概率为零，于是对一切a＜b，有

这个定理的结论（2）说明连续型随机变量取一个具体值的概率是零，因此，对连续型随机变量取值的每一次观察都将导致一个概率为零的事件的发生.这表明概率为0的事件不一定是不可能事件，同样也说明概率为1的事件不一定是必然事件.

例2.4.1设已知随机变量X的概率密度函数为

（1）确定系数A；（2）求X的概率分布函数F （x） .

任取其中1只，求：

（1）晶体管使用寿命超过150小时的概率；

（2）晶体管使用寿命小于200小时的概率.

解（1）晶体管使用寿命超过150小时的概率为

（2）晶体管使用寿命小于200小时的概率为