《基本不等式》教学设计

《基本不等式》教学设计

杨振刚

一、教学目标

1.通过本节探究，使学生学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等。

2.通过对基本不等式的不同解释，渗透“转化”的数学思想，提高学生换个角度看问题的思维意识，引导学生学习和使用数学知道的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

4.教学难点：发现并对基本不等式给出几何解释。

5.教学工具：多媒体。

二、教学过程

（一）导入新课

（二）新课探究

1.提出问题

②你能证明这个不等式吗？

③你能根据初中学过的几何知识，尝试给出基本不等式的几何解释吗？

④你能对基本不等式给出另外的解释吗？

2.学生活动：对于任意实数x，y，（x－y）²≥0总是成立的，即x²－2xy+y²≥0

即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

请学生注意公式的结构形式，成立的条件是a、b为正实数，等号成立的条件是当且仅当a、b相等。

显然上式是成立的，所以不等式得证。

接下来我们对基本不等式的几何意义作进一步探究。

图1

如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DD'，连结AD、BD，你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？

显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立。

教师引导学生对基本不等式作进一步的交流探究：

图2

如图2，在⊙上半圆中，设AC=a，CB=b，OF⊥AB交上半圆于F，请你利用得出一个关于a，b的不等式，将这个不等式与基本不等式和例1中的不等式进行比较。

4.应用示例

例1.已知都是x，y正数，求证：

（2）（x+y）（x²+y²）（x³+y³）≥8x³y³

证明：（1）∵x，y都是正数

（2）∵x，y都是正数

∴x²＞0，y²＞0，x³＞0，y³＞0

即（x+y）（x²+y²）（x³+y³）≥8x³y³

［变式训练］

已知a，b，c都是正实数，求证（a+b）（b+c）（c+a）≥8ab：证明：∵a＞0，b＞0

∴a+b＞0，b＞0，c＞0

∴（a+b）（b+c）（c+a）≥2

即（a+b）（b+c）（c+a）≥8abc

A.R＞P＞Q　　　　B.P＜Q＜R　　　　C.Q＜P＜R　　　　D.P＜R＜Q

活动：根据P，Q，R三个式子的结构特点，应考虑利用基本不等式，再运用函数y=lg x的单调性.

解析：∵a＞b＞1∴lg a＞0

∴R＞Q，故P＜Q＜R

答案：B

点评：应准确理解基本不等式成立的条件，创造性的应用基本不等式。

［变式训练］

A.P=Q　　　　B.P≥Q　　　　C.P≤Q　　　　D.P≥Q

解析：∵a，b，c，d，x，y是正实数

答案：C

：

活动：直接应用基本不等式证明

当且仅当a=b时，等号成立。

下面给出这个不等式的一种几何解释

图3

如图3，设AC=a，CB=b，CD⊥AB⊙上半圆于D，过C作CE⊥OD交OD于E，

在RT△OCD中，由射影定理，可知DC²+DE×OD，

（四）课堂小结

1.由学生自己顺理整合本节都学到了哪些探究问题的方法？有哪些收获？

（五）作业

本节习题3－3 B组1。

三、设计体会

1.本教案设计时注重学生的自主交流，在学生交流中引导学生发现各种错误并分析错因，使学生自己从错误中走出来，是比较好的学习方法，错例更能澄清问题的本质。

2.本教案设计突出思维能力的训练，加强了探究问题的力度，学生的活动量较大。

3.本节课我们探究了基本不等式，扩展了我们的视野，在设计中加强了证明不等式的训练，但难度并不大，重在让学生体会方法，将解题思路转化为解题过程，往往不是一帆风顺的，谈思路可能头头是道，具体求解却可能会处处碰壁，消除思路与求解的差异，要靠探究，在探究中不断更新，在探究中逐步完善。