《圆锥曲线定义》教学设计

《圆锥曲线定义》教学设计

赵　军

一、教学内容分析

圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性，恰当地利用定义解题，许多时候能以简驭繁。因此，在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后，我认为有必要再一次回到定义，熟悉“利用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题策略。

二、设计思想

由于这部分知识较为抽象，难以理解。如果离开感性认识，容易使学生陷入困境，降低学习热情。在教学时，我有意识地引导学生利用波利亚的一般解题方法处理习题，针对学生练习中产生的问题，进行点评，强调“双主作用”的发挥。引导学生主动发现问题、解决问题，主动参与教学，在轻松愉快的环境中发现、获取新知，提高教学效率。

三、教学目标

1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。

2.通过对练习，强化对圆锥曲线定义的理解，培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性，提高空间想象力及分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申，精心设问，引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法。

3.激发学习数学的兴趣。在民主、开放的课堂氛围中，培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神。

四、教学重点与难点

（一）教学重点

1.对圆锥曲线定义的理解。

2.利用圆锥曲线的定义求“最值”。

3.“定义法”求轨迹方程。

（二）教学难点

巧用圆锥曲线定义解题。

五、教学过程设计

【设计思路】

由教师提出问题，激发学生积极思考，引导他们运用已有的知识经验，利用合情推理来自行获取新知识。通过个别回答，集体修正的方法让我及时得到反馈信息。最后，我将根据学生回答问题的情况进行小结，概括出问题的正确答案，并指出学生解题方法的优缺点。

（一）开门见山，提出问题

一上课，我就直截了当地给出——

例题1：（1）已知A（－2，0），B（2，0）动点M满足|MA|+|MB|=2，则点M的轨迹是（　）。

　　　　　　A.椭圆B.双曲线C.线段D.不存在

　　　 （2）已知动点M（x，y）满足，则点M的轨迹是（　）。

　　　　　　A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.两条相交直线

【设计意图】

定义是揭示概念内涵的逻辑方法，熟悉不同概念的不同定义方式，是学习和研究数学的一个必备条件，而通过一个阶段的学习之后，学生们对圆锥曲线的定义已有了一定的认识，他们是否能真正掌握它们的本质，是我本节课首先要弄清楚的问题。

【学情预设】

估计多数学生能够很快回答出正确答案，但是部分学生对于圆锥曲线的定义可能并未真正理解，因此，在学生们回答后，我将要求学生接着说出：若想答案是其他选项的话，条件要怎么改？这对于已学完圆锥曲线这部分知识的学生来说，并不是什么难事。但问题（2）就可能让学生们费一番周折——

在对学生们的解答做出判断后，我将把问题引申为：该双曲线的中心坐标是____________，实轴长为____________，焦距为____________。以深化对概念的理解。

（二）理解定义、解决问题

例2（1）已知动圆A过定圆B：x²+y²+6x－7=0的圆心，且与定圆C：x²+y²－6x－91=0相内切，求△ABC面积的最大值。

　 （3）在（2）的条件下求|PA|+|AB|的最小值。

【设计意图】

运用圆锥曲线定义中的数量关系进行转化，使问题划归为几何中求最大（小）值的模式，是解析几何问题中的一种常见题型，也是学生们比较容易混淆的一类问题。例2的设置就是为了方便学生的辨析。

【学情预设】

根据以往的经验，多数学生看上去都能顺利解答本题，但真正能完整解答的可能并不多。事实上，解决本题的关键在于能准确写出点A的轨迹，有了练习题1的铺垫，这个问题对学生们来讲就显得颇为简单，因此面对例2（1）、（2），多数学生应该能准确给出解答，但是对于例2（3）这样相对比较陌生的问题，学生要么就卡壳了，要么可能得出错误的解答。我准备在学生们都解答完后，选择几份有“共性”错误的练习，借助数形结合，加以点评。也许会有学生说应当是P、A、B三点共线时，取最小值。那么，我应该鼓励学生进行大胆的构想，同时不急于给出标准答案，让学生们自己发现错误，让学生们寻找到点B所在的正确位置后，叫学生演练出正确的解题过程。在学生们得出正确解答后，由一位学生进行归纳小结：在椭圆中，当定点A不在椭圆内部时，则A，F的连线与椭圆的交点M就是使|BA|+|BF|最小的点；当定点A在椭圆内部时，则A与另一焦点的连线的延长线与椭圆的交点B即为所求。

（三）自主探究、深化认识

如果时间允许，练习题将为学生们提供一次数学猜想、试验的机会——

练习：设点Q是圆C：（x+1）²+y²=25上动点，点A（1，0）是圆内一点，AQ的垂直平分线与CQ交于点M，求点M的轨迹方程。

引申：若将点A移到圆C外，点M的轨迹会是什么？

【设计意图】

练习题设置的目的是为学生课外自主探究学习提供平台，当然，如果课堂上时间允许的话，引导学生对自己的结论进行验证。

【知识链接】

圆锥曲线的定义

1.圆锥曲线的第一定义

2.圆锥曲线的统一定义

圆锥曲线定义的应用举例

3.在抛物线y²=2px上有一点A（4，m），A点到抛物线的焦点F的距离为5，求抛物线的方程和点A的坐标。

六、教学反思

本课利用两个例题及其引申，通过一题多变，层层深入的探索，以及对猜测结果的检测研究，培养学生思维的深刻性、创造性、科学性、批判性，使学生从学会一个问题的求解到掌握一类问题的解决方法，领略数学的统一美。

1.“满堂灌”的教学方式已被越来越多的教师所摒弃，“满堂问”的教学方式形似启发式教学，实则为“教师牵着学生，按教师事先设计的讲授程序”所进行的接受性学习。基于以上考虑，本人期望在教学中能尝试使用“探究—合作”式教学模式进行教学。使学生们的“知识的获得过程”不再是简单的“师传生受”，而是让学生依据自己已有的知识和经验主动的加以建构。在这个建构过程中，学生应是教师主导下的主体，是知识的主动建构者。所设计的问题以及引导学生进行探究过程的发问，都力求做到“把问题定位在学生认知的最近发展区”。

2.在有限的时间内应突出重点，突破难点，给学生留有自主学习的空间和时间。

为了在课堂上留给学生足够的空间。我将几类题型作了处理——将“定义法求轨迹问题”分置于例2（1）与练习中，循序渐进地让学生把握这类问题的解法；将学生容易混淆的两类求“最值问题”并为一道题，方便学生进行比较、分析。虽然从表面上看，我这一堂课的教学容量不大，但事实上，学生们的思维运动量并不小。

总之，如何更好地选择符合学生具体情况，满足教学目标的例题与练习、灵活把握课堂教学节奏仍是我今后工作中的一个重要研究课题。而要能真正进行素质教育，培养学生的创新意识，自己首先必须更新观念，让学生有参与教学实践的机会，能够使学生在学习新知识的同时，激发起求知的欲望，在寻求解决问题的办法的过程中获得自信和成功的体验，于不知不觉中改善了他们的思维品质，提高了数学思维能力。