数学的基本原则

数学是什么

大致可以说：数学就是有关数的学科。数有许多种，例如1234567890，还有1.5、6.5等，、等，这些数的一个共同特点是含有阿拉伯数字，这也是几乎所有数的共同特点。不过有些数比较特殊，它们并不含有阿拉伯数字，例如∞，即“无穷大”，它也可以被看做是一个特殊的数。

数的分类

这些数的形态差别很大，可以分成许多种类。最简单的数当然是1234567890这10个最基本的阿拉伯数字——它们其实是印度人发明的，不过由阿拉伯人传入欧洲而已。由这10个阿拉伯数字直接组成的数都叫做“自然数”，例如125、9864258896521485等，无论多大，哪怕有一万位，只要中间没插进别的符号，就都是自然数。

自然数又叫正整数，除了正整数外，另外还有负整数，就是在自然数前面加个“-”号，例如-125，-9864258896521485等等。正整数与负整数还有零合在一起就叫整数 了。

甲骨
从出土的甲骨上来看，中国古代早就发明了计数符号。

与整数对应的是分数。分数就是带分号的数了，像5/8、7/9、9895444411/962424124042142 等，上面的部分叫分子，下面的部分叫分母。作为分数的一个基本条件是分子与分母都必须是整数，而且分母不能为0。

早期的阿拉伯数字

整数与分数合起来还有另一个称呼，就是有理数。与有 理数相对的当然是无理数了。无理数就是不 能用分数表示的数。前面有理数的共同特点是它们能够用分数表示出来，整数也能够用分数表示，例如5可以用分数表示为5/1 或者25/5 。但有的数并不能这样，这就是无理数。不能用分数来表示的数有很多，例如 、、圆周率π等都是。对这样的数我们是不能用分数来表示的。

古埃及数字

玛雅数字

古罗马数字

这时候我们要引进另一个概念：小数。小数就是带小数点的数了，例如1.889、7.97223等。我们前面讲过的各种数，包括有理数和无理数，实际上都可以用小数来表示。例如可以在任何整数后面加个小数点，再在后面加个0，这个整数就变成小数了。所有的分数都可以表示成小数，只要用分子除以分母就是了。小数又可以分成两种，即有限小数和无限小数。前者指位数有限的小数，像1.889、7.97223就是，不管后面有多少位，哪怕一万位，只要有个尽头，就是有限小数。但有的小数却不是如此，例如我们将10/3 变成小数就是3.3333333……，后面可以有无限个3。这样的小数就是无限小数了。

无限小数又可以分成两种：一种是小数点后面虽然有无限个数字，但这些数字是有规律地循环往复的，例如上面的3.3333333333……就是这样，这就叫做无限循环小数，但还有的后面也有无限位，但却没有任何规律可言，永远不会循环，这就叫做无限不循环小数了，例如、、π就是这样，π我们知道，它就是3.1415926……无限下去，数字永远没有有规律的重复。

这些无限不循环小数有另一个名字——无理数。容易看出来，无论是有理数或者是无理数，都可以用小数来表示。有理数与无理数合起来还有一个名字，就是实数。

根据咱们汉语，与实相对应的是虚，现在既然有了实数，那当然就应该有虚数了。是的，而且有意思的是，虚数单位只有一个，就是 。为什么称 为虚数单位呢？这是因为它乃是一个在传统世界中不存在的数。我们知道，就是说这个数的平方等于-1，根据数的基本原则，包括负数在内的任何实数的平方都是正数，这就是所谓的负负得正。但现在却凭空里钻出个平方为负的数来，这样的数在一般的观念里显然是不存在的，它是虚无缥缈的，因此就称之为虚数了。这个 通常用一个字母i来表示，任何实数如果与这个虚数i相结合在一起，例如5+6i，它就不成其为实数了。它被称为复数。复者，复合之意也，意即这个数是由5与6i复合而成。

那么，在实数与复数之外还有没有别的数呢？至少现在还没有，或者说数学家们还没有规定。这样，数就是实数与复数的合称了，即：实数+复数=数。数学就是有关此数的学问。

以上我们大概地讨论了有哪些种类的数，数学的研究对象就是这些数。不过，仅仅这些数并不能涵括数学研究的所有对象，最明显的例子就是几何了，那里有许多抽象的图形，例如没有体积的点、没有宽度的直线、没有厚度的面等等。数与图形结合起来就构成数学的另一个大分支——几何学。

那么，是不是有了几何图形和数就构成了数学研究的所有对象呢？还不是，因为几乎所有实际存在的事物都可能成为数学研究的对象，而且，数学的研究对象还要超越于实际的事物，例如抽象的几何图形或者数字等这些在自然界并不存在的事物，也是数学研究的对象。

后面这种性质乃是数学最根本的特性之一，也是它与其他门类的自然科学最大的区别。其他门类的自然科学，无论是物理学、化学、生物学、天文学、地理学、地质学等，所研究的都是实际存在的万事万物，而数学所研究的恰恰不是这些，而是抽象的数字与图形。即使它们研究实际存在的物体，例如一个皮球，它所研究的也是这皮球的一些抽象性质，例如体积、重量等，而且，在做着这样的研究时，它也并不是将皮球看做是一个皮球，而是看做一个抽象的几何体——球体，至于它的体积与重量等具体的性质，则是物理学研究的对象了。这个意思也可以用一句哲学味儿的话来说：数学研究的是事物纯粹的形式。

这里就凸现了数学与自然万物及其他自然科学门类之间的区别了——它源自自然，又超越自然；它与其他各门自然科学密切相关，又超越它们！

古代数学

古希腊无疑是西方数学的发祥地，但它还有自己更古老的祖先，那就是古埃及和美索不达米亚。

从纸草书上我们可以知道，古埃及人就采用了我们现在通用的十进位制，也有了相当系统完整的数字系统，这些数字有的我们一看就明白，例如1用一条小竖线表示，2用两条、3用三条同样的左右并列的小竖线表示，从4起到8就把小竖线分成了两层，4是上下各两条、7是上面四条下面三条等等。9则用了三层每层三条来表示。如此等等。当要表示中间的数字时，就将上面这些符号叠加起来。例如11200就是从左至右排列着一根伸出的手指、一朵莲花、一上一下两条小蛇。如果要指明是11200只鸟呢，就在旁边再画上一只鸟。

古巴比伦人的数学最有特色的一点就是不采用十进位制，而采用六十进位制。他们的数字体系比古埃及人的要简单一些，只有两个基本符号，一个像倒写的三角形，另一个则像飞翔的小燕子。据说他们还发展了平方、立方等的运算，还能够求出平方根与立方根，甚至能够解一元二次、一元三次方程、二元一次方程组。

这些古埃及、古巴比伦人等消失在历史的长河之后，在科学史上崛起并占据统治地位的就是古希腊人了。

伟大的数学家毕达哥拉斯认为，万物都是数，是由数经由各种各样的形式构成的。他找了各种各样的数，如长方形的数目、三角形的数目、金字塔形数目等，它们都是由一些数目小块构成的，具有美的形状。他还认为十是最完美的数，所以他认为天体的数目也应当是十。但那时人们能看到的天体只是九个，所以他又硬加了第十个，取名叫“对地”。他的一些数学成就直到今天还在用着，如数的平方、立方这些词就是毕达哥拉斯造出来的。

原始人采用结绳计数。