代数学与几何学

代数学与几何学

一般来说，数学包括三大分支：代数学、几何学与分析学。代数学是数学的第一个分支，也是它最基本的内容。数学的另一个分支与代数学相似，也有人说它是代数学的一部分，那就是数论。几何学简言之就是研究空间及物体在空间中的性质的数学分支。

代数学

代数学最基本的内容就是算术。算术研究数最基本的性质、种类及最基本的运算，但这些数中不包括复数，即形如a+bi的数。数最基本的运算就是用具体、有限的数字，例如正数、负数、小数等具体的数进行加减乘除等四则运算，它的运算次数是有限的，并且有确定的结果。例如3.2+（8×9÷12－222）=-212.8，算术是数学其他复杂多样的内容的原始基础。

在算术之上是初等代数，它是用数字和字母进行代数运算的理论与方法。代数运算除了加减乘除四则运算外，还包括乘方、立方、开方等。参加运算的也包括了所有的数，即实数和复数。与算术比起来，初等代数最基本的特征是在其代数式中引入了变数，也就是用某个字母来代替某个未知的数，如x，所代替的数可以是一个，也可以是若干个。

这种引入了字母的代数式用另一个我们熟悉的词来表达，就是方程。例如3x+6=9就是一个方程。方程与解方程可以很简单，也可以很复杂。简单者如上面的一元一次方程，复杂者则可以是非常高深的数学，如群和域都是与方程紧密联系在一起的，群就是为了求解高次方程而创立的，不过这些内容就不属于初等代数了，而属于近世代数。

近世代数主要是由一个叫伽罗瓦的法国数学家创立的，他也是数学史上最伟大的天才人物之一，只活了20岁，但却引入了群这个堪称近世代数的最基本的概念。近世代数看上去同初等代数完全不同，它非常抽象，也相当难以理解。主要是因为它引入了一些在初等代数中完全不存在的新的概念与十分抽象的结构，像群、域、环等。虽然很难，但用上这些方法之后，我们前面在解方程等中遇到的许多难题在这里都只是小菜一碟。也就是说，这些理论较之初等代数更基本，能够涵盖更为广阔的领域，而且听说也更具有美感，一种数学的独特美感。

在近世代数之上，还有更难的高等代数或抽象代数，不过它们已经不是我们这些非数学专业出身的门外汉所能够或者有必要理解的内容了。

算盘
算盘使用的是十进制。

数论

数论就是有关数的理论。不过它的研究方法与一般代数学的研究方法略有不同，而且考察的往往只是整数。它通常的表现形式是想求得整数的某些性质，这些性质很可能看上去简单，但实际上非常复杂。典型者如有关质数的理论。

质数就是除了1和自身外不可能被其他整数整除的数。它在汉语中的另一个名字是素数。如1、3、7、11、13、17、19等。质数的分布有没有规律？有没有一个公式能求出任意大的质数？很早以来数学家们就在苦苦思索这个问题，直到现在也没有找出来。在没有这个公式的前提之下，有没有最大的质数呢，如果没有的话，那么我们能够找到的最大质数是什么？于是许多数学家为了寻找这样最大的质数而殚精竭虑。

许多我们所熟悉的数学史上的趣题都属于数论，像众所周知的哥德巴赫猜想。1742年，一个德国的中学教师哥德巴赫在写给大数学家欧拉的信中提出了后来很著名的哥德巴赫猜想。它可以用两个命题表达：

命题1：每一个大于或等于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和，即所谓的偶数=1+1，如6=3+3，20＝3+17……

命题2：每一个大于或等于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和，如9=3+3+3，31＝5+7+19……

接到这封信后，欧拉回信说，他相信这个猜想是对的，但他不能证明。正由于许多杰出的数学家想证明之而不能，它便凭空增添了许多魅力，甚至夸张地被尊为“数学皇冠上的明珠”。中国著名的数学家陈景润就是因将这个猜想的证明推进了一大步而成名的。他在1966年证明“每个大偶数都是一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，这就是“陈氏定理”。

《几何原本》的阿拉伯文手抄本

另一个著名的数论难题是费马大定理。费马也是个业余数学家，但他的成就可是哥德巴赫比都不能比的。除数论外，他对解析几何、微积分都有重大贡献。他提出的“费马大定理”就是：不存在大于2的正整数，使得xn+yn=zn成立。费马曾在自己读过的一本书的空白处写道：“我确信我已经发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”但后来怎么也找不到他的证明。

这种情形一直持续到1995年。这一年，1953年出生于英国并执教于普林斯顿大学的数学教授安德鲁·怀斯发表了《模椭圆曲线和费马大定理》。这篇堪称历史性的长篇学术论文厚达100余页，占了著名的数学刊物《数学年刊》第141卷的整卷，最终证明了费马大定理。

几何形体
我们生活中常见的几何形体有棱柱、棱锥、圆锥、球体等，它们不仅形态各异，而且体积各不相同。

几何学

几何学的一个基本特点是它总与图形相关。几何学的图形包括直线图形、平面图形、立体图形等，还有解析几何中的坐标、非欧几何中的曲面、拓扑学中复杂的不规则图形等。

几何学的另一个基本特点是在考察其研究对象时所采取的纯粹理想的模式。例如它在探讨直线时，虽然我们看到画在纸上的直线是有一定宽度的，但是对于几何学来说，这种宽度并不存在，直线乃是一种没有宽度、只有长度的特殊的“线”。几何学中的面也是没有厚度的纯粹的面，立体图形虽然看上去有线也有面，但构成面的那些线一样是没有宽度的、构成立体的那些面也是没有厚度的。总之，几何学考察的是一种在自然界中并不存在的、纯粹的、抽象的图形。

几何学的种类很多，我们熟悉的是平面几何、立体几何、解析几何、三角几何等。平面几何是最基础的几何学，研究平面上的几何问题，像平面上的直线、三角形、平行四边形、梯形等几何图形，如此等等。立体几何研究的则是立体几何图形，像正方体、长方体、球体、圆锥体、棱锥等。解析几何则是一种形式与平面及立体几何很不相同的几何学，它引入了一个新概念：坐标。

通过解析几何与坐标，代数与几何得以优美地结合起来。除平面、立体与解析几何之外，还有许多别的几何学，例如代数几何、投影几何、微分几何等等。此外还有一个更重要的、我们应当有所了解的几何学，那就是非欧几何，我们到后面再说。

在代数学与几何学之后，我们本来应该讲分析学的。其核心就是由以集合、映射与函数为基础，由微分与积分组成的微积分。不过由于它比较复杂繁难，并不适合在这里讲，我们只好略过了。