完全归纳推理

（一）什么是归纳推理

我们先看看已故著名作家徐迟在《哥德巴赫猜想》一文中的一段话：

1742年，哥德巴赫写信给欧拉，提出了每个不小于6的偶数都是二个素数之和。例如，6=3+3，24=11+13，等等。有人对一个一个偶数都进行了这样的验算，一直验算到了三亿三千万之数，都表明这是对的。但是更大的数目，更大更大的数目呢？猜想起来也该是对的。

这是徐迟对“哥德巴赫猜想”最初提出时的情况的介绍。由此可见，哥德巴赫猜想的提出是基于对一部分偶数（例如6，24，等等）的考察，发现它们都是二个素数之和，于是提出猜想：每个不小于6的偶数都是二个素数之和。

很显然，这一猜想是运用一定的推理形式和方法得出来的。那么，是运用了什么推理的形式和方法呢？简单地说，就是运用了归纳推理的形式和方法，而且是运用了归纳推理的一种基本形式，即不完全归纳推理的形式和方法，那么，什么是归纳推理？什么又是不完全归纳推理呢？

归纳推理就是由个别知识的前提推出一般知识的结论的推理。

比如，鲁迅先生在讲述人的经验的作用时，曾写过这样一段话：

大约古人一有病，最初只好这样尝一点，那样尝一点，吃了毒的就死，吃了不相干的就无效，有的竟吃到了对症的就好起来，于是知道这是对于某一种病痛的药。这样地累积下去，乃有草创的记录，后来渐成为庞大的书，如《本草纲目》就是。

这段话的意思是说，任何一种草药，人们所以会发现它能治好某种疾病，都是由于前人无数次经验（成功的与失败的）的积累。一种草无意中治好某一种病，第二次、第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，作出结论说：“这种草能治好某一种病。”这样，一次次个别的经验的认识，就上升到对这种草药能治好某一种病的一般性认识。而这个认识过程就是一个运用归纳推理的过程。

上述的推理过程，用公式可表示为：

S1是P

S2是P

S3是P

（S1S、2、S3是S类的分子）

所以，S是P

从这一公式可见，在归纳推理的过程中，作为其推理根据而考察过的某类对象的分子可以是该类对象的全部个别对象，也可以是其部分个别对象，亦即上述公式中S1、S2、S3可以是S类的全部分子，也可以是S类的部分分子。按此，就可以把归纳推理区分为完全归纳推理与不完全归纳推理。

完会归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类对象的全部个别对象的考察，已知它们都具有某种性质，由此得出结论说：该类对象都具有某种性质。

完全归纳推理可用公式表示如下：

S1具有（或不具有）性质P

S2具有（或不具有）性质P

S3具有（或不具有）性质P

……

Sn具有（或不具有）性质P

（S1，S2，S3，…，Sn是S类的全部个别对象）

所以，所有S具有（或不具有）性质P

可见，完全归纳推理的基本特点在于：前提中所考察的个别对象，必须是该类对象的全部个别对象。否则，只要其中有一个个别对象没有考察，这样的归纳推理就不能称做完全归纳推理。完全归纳推理的结论所断定的范围，其实并未超出前提所断定的范围。所以，结论是由前提必然得出的。也正因为这个原因，有些逻辑学家认为完全归纳推理实质上应属于演绎推理。应用完全归纳推理只要遵循以下两点，那么结论就必然是真实的：①对于个别对象的断定都是真实的；②被断定的个别对象是该类的全部个别对象。

比如，某班级的英语老师阅完试卷后，根据每张试卷的成绩都在60分以上，他高兴地得出结论：这个班级的每个学生的英语成绩都在及格线以上。这里运用的归纳推理就是完全归纳推理。

这也就说明，完全归纳推理的前提是关于个别对象的判断，而结论则是关于一般性知识的判断，它是对某类对象、现象的一切个别情况认识的概括，使认识从个别上升到一般。这也就是完全归纳推理在认识中的作用。

那么，什么又是不完全归纳推理呢？前面所讲哥德巴赫猜想的提出，运用的就是不完全归纳推理。下面我们再看一个例子。《内经》是我国最古的一部医学宝典，在《内经》的《针刺篇》中记载了这样一个故事：

有一个患头痛病的樵夫上山去打柴，一次，不慎碰破了足趾，出了一点血，但他却感到头部不痛了。 当时，他没有在意。后来，他头痛病复发，又偶然碰破了上次碰破过的足趾，头部的疼痛又好了，这次引起了他的注意。于是，以后凡是头痛复发时，他就有意地刺破该处，结果，都有减轻或制止头痛的效应。这个樵夫所碰的部位，就是现在所称的人体穴位中的“大敦穴”。

为什么这个樵夫后来每逢头疼病复发时，就去刺大敦穴呢？这是因为他从自已多次经历中经过归纳而得出了一个一般性的结论：凡是刺破足趾的这个部位，就会减轻或制止头痛。这就是不自觉地运用了不完全归纳推理的一种具体类型——简单枚举归纳推理。

可见，不完全归纳推理是这样一种归纳推理：在前提中对某类对象的部分个别对象作了考察，发现它们具有（或不具有）某种性质，于是在结论中断定该类对象的一切个别对象都具有（或不具有）某种性质。而所谓简单枚举归纳推理，则是根据某种事例的多次重复而来发现相反情况，从而作出一般性结论的一种不完全归纳推理。

比如，我们发现每次下大雨之前，都有蚂蚁搬家的现象，而没有发现蚂蚁搬家，天不下雨的情况，于是就据此作出一个一般性的结论：“凡蚂蚁搬家，天必下雨。”再如，我们发现每年冬季下了大雪，第二年庄稼就会获得丰收，而没有发现相反情况，于是我们又据此作出一个一般性的结论：“瑞雪兆丰年。”这些都是简单枚举归纳推理的具体运用。

这种推理可用公式表示如下：

S1具有（或不具有）性质P

S2具有（或不具有）性质P

S3具有（或不具有）性质P

……

Sn具有（或不具有）性质P

（S1，S2，S3，…，Sn是S类的部分个别对象，在观察中没有发现相反情况）

所以，所有S具有（或不具有）性质P

根据上述说明，我们就不难理解，那位樵夫所以得出“凡是刺破足趾的这个部位，就会减轻或制止头痛”这个一般性结论，正是运用了简单枚举归纳推理而得出的。他的具体推理过程是这样的：

第一次碰破足趾这个部位，头痛好了

第二次碰破足趾这个部位，头痛好了

……

（没有出现相反的情况，即碰破足趾这个部位而头痛不好的情况）

所以，凡是碰破足趾这个部位，头痛都会好

从上述分析中，我们可以看出，简单枚举归纳推理所以能从对某类对象的部分个别对象的考察，而推出有关该类对象的全部个别对象的一般性结论，仅仅是根据没有发现相反的情况。而这一点对于作出一个一般性的结论来说，虽然是必要的，却并不是充分的。因为没有碰到相反的情况，并不等于排除了相反情况存在的可能性，而只要有相反情况的存在，即使只碰到一次，它所得出的一般性结论就是错的。因此，简单枚举归纳推理的结论具有或然性（即可真可假），我们只能将它作为进一步研究的线索，而不能作为论证的根据。就前述那位樵夫的发现来说，那也只是为后来人们的研究提供了线索。刺大敦穴能治头痛，只有经过了后来人们的反复实践、反复研究才确定下来的。

（二）在归纳推理中过分夸大归纳推理的合理性而常犯的逻辑错误

在运用简单枚举的不完全归纳推理的时候，如果我们能够不停留在仅仅是根据在考察中、在经验中没有碰到相反情况就作出推论，而是进一步去选择一类对象中较为典型的个别对象去加以考察，并在作出推论时，去进一步分析所考察的这部分个别对象何以具有（或不具有）某种性质，而不存在相反性质的原因和内在必然性，那么建立在这样分析、研究基础上所进行的不完全归纳推理自然就具有了更多的合理性，其结论也就相应有更多的可靠性。一般的逻辑论著中就将这种不完全归纳推理称为科学归纳推理。

但是，如果在进行不完全归纳推理时，主要运用的简单枚举归纳推理，而所枚举的某类对象中的部分个别对象，又只是该类对象中的非典型的、随机碰到的个别对象，而且仅仅是根据在这少数个别对象中没有发现相反情况，就仓促作出推论：该类对象全部都具有（或不具有）某种性质，那么我们就会犯轻率概括的逻辑错误。

且看冯梦龙编《警世通言》中《王安石三难苏学士》一篇所讲述的王安石教训苏东坡的一个故事：

有一天，苏东坡去看望宰相王安石，恰好王安石出去了，苏东坡在王安石的书桌上看到了一首咏菊诗的草稿，才写了开头两句：

西风昨夜过园林，吹落黄花满地金。

苏东坡心想：“西风”就是秋风，“黄花”就是菊花，菊花最耐寒，耐久，敢与秋霜斗，怎么会被秋风吹落呢？说西风“吹落黄花满地金”是大错特错了。这个平素颇为恃才傲物、目中无人的翰林学士，也不管王安石是他的前辈和上级，提起笔来，续诗两句：

秋花不比春花落，说与诗人仔细吟。

王安石回来以后，看了这两句诗，心里很不满意。他为了用事实教训一下苏东坡，就把苏东坡贬为黄州团练副使。苏东坡在黄州住了将近一年，到了九月重阳，这一天大风刚停，苏东坡邀请好友陈季常到后园赏菊，只见菊花纷纷落瓣，满地铺金，这时他想起给王安石续诗的往事，才知道原来是自己错了。

从归纳推理的角度来说，苏东坡续诗中所犯的错误就是一种轻率概括的错误。轻率概括（也称“以偏概全”），是归纳推理过程中自觉或不自觉地夸大归纳推理的合理性而容易出现的一种逻辑错误。它是只根据少数的个别事实，就推出一般性的结论，并且把这个结论看作是必然的、无可怀疑的论断。

苏东坡平时看到的菊花，都是只会枯萎，不会落瓣的，因此他就得出了“天下的菊花都是不会被秋风吹落的”这个一般性结论。他用这个全称肯定判断来衡量王安石的咏菊诗，就认为王安石的诗写得不对。等他在黄州住了将近一年之后，才知道自己的结论是错误的。因为黄州这个地方的菊花，是会被秋风吹落的。出现了相反的情况，苏东坡通过简单枚举归纳法得出的一般性结论，自然也就不能成立了。