符号代数或“抽象的抽象”

韦达（公元1540年—1603年） 对现代代数的建立做出了重要贡献，他提出了参数的概念并与未知数相区分。

之前虽然早已有使用某些缩写符号来指代未知数的方法，但并没有一种通用的方式来描述一整类代数式，比如 ax2+bx+c=0。这就需要与未知数相区别的参数概念。韦达的方式是一律用元音字母代表未知数，用辅音字母代表已知的参数。

这种符号代数完成了某种“抽象的抽象”，在传统的数学中，数字是对事物的抽象，单词或缩写记号也是对事物的抽象。而这里的符号a、b、c是对数字的抽象。这种抽象进一步发展的结果是，所谓的“抽象”不再是针对事物的活动，不再是为了指代并把握事物，而成了某种符号与符号之间的活动了。

只有在这种符号抽象的视野下，无理数、虚数等概念才能够被轻松接纳。因为如果说数始终都是对事物的抽象，那么负数、无理数和虚数它们所对应的事物究竟是什么呢？这些问题直到20世纪也没有完全争论清楚。由于无穷小量、极限、无穷大、非欧几何等概念的依次加入，数学的“对象”究竟是何物这个问题变得越来越令人困惑，数学符号与现实世界的关系问题一直延续到20世纪初关于数学基础的争论之中，最后也很难说得到了解决。

但如果说这些符号并不是直接针对事物的抽象，而是隔开了一层，是抽象的抽象、符号的符号，那么人们才可以心安理得地把它们的“意义”暂时悬置不问，而只关注符号与符号之间的关系。

于是，在符号代数的体系下，我们至少能够像用力学取代自然哲学那样（用“怎样”取代“为何”），用“合法性”（合规则性） 取代对“合理性”的诉求，从而接纳各种数学对象——不管它们究竟指的是什么，只要能够合乎规则地运用，它们就是合法的。

韦达本人仍然坚持同类性原则，也就是只有线和线、面和面才能相加。比如在 x3+ax=b 这样的方程中，a被称作面，而b被称作体。这一顽固的原则稍后在笛卡尔那里被打破了。

笛卡尔（公元1596年—1650年） 在数学史上的地位至关重要，当然，我们都知道他发明了解析几何，但关键在于，解析几何意味着什么？所谓的用代数方法解决几何问题蕴含着怎样的思想变革？

解析几何起源于笛卡尔对“普遍方法”的寻求，对“方法”的高扬是现代早期的潮流，而方法一词在希腊人那里指的一般只是教学手段。根据不同的问题、不同的语境，甚至根据不同的听众，恰当的教学方法是不一样的。而笛卡尔之后的现代人则致力于寻求一种超越具体语境的能够获得一切知识的“普遍方法”，这种诉求是前所未有的。数学不再是诱导人回忆起知识的教学方式，而成了知识本身的构造方式。

笛卡尔重新阐释了“单位”的概念，把它确定为一种可以任意选取的量，从而打破了量的同类性原则，因为任何一条线段的长度的量可以随时乘以一个单位1从而变成一个面积的大小的量。而这个基本的“度量单位”脱离于具体的图形，是先验地设定好的，是在任何具体的图形之前就被理智理解的。笛卡尔的坐标轴不是在图形上作出的辅助线，而是先于任何具体图形就已经得到把握的。

相应地，一个脱离于具体事物的，无限的、均匀的、各向同性的纯粹“空间”概念也得以形成，只有在这种理想的先验空间中，一个物体才能够保持永恒的匀速直线运动。而在亚里士多德式的有限的、不均匀的、依附于实际物体的“空间”之中，这种运动是难以想象的。我们把这种新的空间称作欧氏空间，但实质上欧几里得的几何学并不必然设定这样一个空间。