基于MATLAB整体式转向梯形优化设计

严慈磊

（长安大学汽车学院，陕西西安 710064）

作者简介：严慈磊（1991－），男，长安大学汽车学院硕士研究生，车辆工程专业。

摘 要：汽车在运动的过程中，由于侧向力的作用和轮胎弹性侧偏的影响，转向系的内外车轮很难满足阿克曼转角关系，本文基于MATLAB的优化工具箱，通过对转向车轮几何运动的分析，推导出理论和实际内、外轮转向角之间的关系式，建立某一时刻下的实际转角与理论转角之差的数学表达式，并以此为优化目标，在相应的约束条件下，计算出车辆最佳的转向梯形参数。

关键词：转向系；MATLAB；优化；转向梯形

Abstract：Cars in the course of movement，because of the influence of the lateral force and the elastic lateral．it’s quite diffi－cult for inner and outer wheel steering system to meet the Ackermann angle relationships strictly．This text have inferred the relation between theory and practice of inner and outer wheel steering system by the analysis the steering wheel geometry of motion，and have built a mathematical expression of difference theory angle and actual angle of a moment．In addition，the text made it as the optimization target and figured out the most suitable for construction vehicles steering trapezoid parame－ters in the corresponding constraints．

Key words：Steering system；MATLAB；optimization；steering trapezoid

1 引 言

转向系是用来保持或改变汽车行驶方向的机构，转向性能对汽车的操纵稳定性有显著的影响。在转向系的设计中，无论采用整体式转向梯形还是断开式转向梯形，都应该满足汽车在转弯时，保证全部车轮绕一个瞬时转向中心行驶，使在不同圆周上运动的车轮，做无滑动的纯滚动运动。同时，为达到总体布置要求的最小转弯直径，转向轮应有足够大的转角。［1］

在传统设计中，通常采用图解法和解析法进行设计，然而图解法设计误差较大，而解析法计算量大，这种方法不仅增加了研发成本，而且设计的精度也很难达到用户要求。优化设计是20世纪60年代开始形成并迅速发展的一门新兴学科，它是以数学规划法为理论基础，以电子计算机为计算工具，寻求在满足规定工作条件、载荷和工艺要求，并在强度、刚度、工艺、寿命、尺寸、范围以及其他一些技术要求的限制条件下，目标函数最优值的一种现代化设计方法。［2］

本文运用MATLAB优化工具箱相应的优化函数，以影响转向梯形对应的参数为设计变量，建立某一时刻下的实际转角与理论转角之差的数学表达式，并以此为优化目标，在相应的约束条件下，通过迭代运算，计算出车辆最佳的转向梯形参数，从而使外侧车轮实际转角和理论转角误差最小。

2 整体式转向梯形的数学建模

2．1 阿克曼理论以及阿克曼转向特性

汽车在直线行驶和转弯时，每一个车轮的轴线都应与后轴延长线相交（转向中心），这样才能保证轮胎与地面间处于纯滚动而无滑动。

对阿克曼理论转向特性的模型做两个基本假设：①忽略前轮定位角的影响，且行驶系的各个构件均为刚性连接；②汽车行驶过程中无侧向力。其示意图如图1所示。

阿克曼理论转向特性的特点为：①汽车在直线行驶时，四个车轮的轴线都相互平行，而且垂直于汽车的纵向中心面；②汽车在转向行驶过程中，车轮都必须绕一个瞬时中心点做圆周滚动，而且前内轮与前外轮的转角应满足下面关系式：［3］

cotθo－cotθi＝M／L　 1－1

若以θo为自变角，则因变角的期望值为θi：

θi＝f（θo）＝arccot（cotθo－M／L）　1－2

其中：

图1 理想的内外轮转角关系简图

θi为内侧车轮转角

θo为外侧车轮转角

L为汽车的轴距

M为转向车轮与转向节之间的距离

2．2 实际的转向系内外车轮转角关系

汽车在实际运动过程中，由于受到弹性轮胎侧偏角的影响，而现有的转向梯形机构仅能近似满足式1－1所示的阿克曼转角关系式，所以以图2所示的转向梯形机构为例，利用余弦定理推导出转向梯形在内转向轮转过某一角度时实际外侧车轮转角θi＇的数学表达式：

图2 汽车转向梯形计算简图

汽车转向梯形的实际运动简图如图2所示，其中α为内侧车轮偏转的角度，β为外侧车轮相应的转向角，γ0为梯形底角的布置角，那么900－γ0为转向梯形底角，m为转向臂在水平面的投影长度，b为转向横拉杆的长度。

为了计算方便，做辅助线E1C，连接E1B，设E1B的长度为N，在△E1CB中，由正弦定理可得：

转向横拉杆长度b和M之间满足关系为：b＝M－2msinγ0　1－4

在△E1F1B中，由余弦定理得：b2＝N2＋m2－2 Nmcos［900＋β－（γ0＋δ1）］

在△AE1B中，由余弦定理可知：N2＝m2＋M2－2m Mcos（900－γ0－α）

由式1－3、式1－4、式1－5公式可得，理论和实际的转向系内外车轮转角关系式为：

由式1－6式可知，当汽车的前轮距M已知时，影响外转向轮的转角的因素为转向梯形的底角900－γ梯形臂长度m。因此，在设计过程中，常选择m和γ0为设计变量进行优化设计。

3 整体式转向梯形机构的优化分析

3．1 设计变量

由式1－6可以看出，影响β大小的因素为m和γ0。因此，在优化过程中，优化变量设为X：

X＝（x1，x2）T＝（γ0，m）T　 1－8

3．2 目标函数

汽车在转向运动时，为了避免汽车行驶的附加阻力对轮胎的快速磨损，要求转向系统能保证汽车在转弯时所有的车轮均作纯滚动［3］。显然这只有在所有车轮的轴线都交于一点时才能实现，因此要求内侧车轮转动一个角度时，外侧转向轮的理论和实际转角误差最小。所以目标函数可以表示为：

F（X）＝min｛max（θi－β）｝　1－9

3．3 约束条件

3．3．1 满足机构传力性能要求

由图可知，转向梯形在工作过程中，可以简化为平面四连杆机构，由机械原理可知，评价四连杆机构传力性能的好坏，我们常用传动角作为其评价指标。

在机构的运动过程中，传动角γ的大小是变化的，为了保证机构有良好的传力性能，传动角γ不宜过小，通常γ≥40°，对于那些受力很小或不常使用的操纵机构，则可以允许传动角小些，只要不发生自锁即可。［4］

图3 转向梯形传动角

由分析可得，当内侧车轮的偏角最大时，转向梯形的传动角最小。如图3所示，根据几何关系，可得传动角的表达式为：

在△E1F1B中，由余弦定理可得：AF12＝b2＋m2－2mbcos（180°－γ）　1－10

在△AF1B中，由余弦定理可得：AF12＝M2＋m2－2m Mcos（90°－δ1＋βmax）　1－11

3．3．2 转向梯形的布置角和臂长的确定

在转向梯形的设计中，设计变量m和γ过小时，会使横拉杆的转向力过大；当m过大时，将时梯形布置困难，故通常取m≥0．15 M，然而m也不能太小，通常取m≧0．11 M。为了避免干涉，通常梯形底角的布置角γ0小于20°，大于10°。综上所述，各种设计变量的取值范围构成的约束条件为［1］：

g（1）＝γmin－40≥0　 1－13

g（2）＝0．11 M－m≤0　 1－14

g（3）＝m－0．15 M≤0　 1－15

g（4）＝γ0－20≤0　 1－16

g（5）＝10－γ0≤0　 1－16

4 整体式转向梯形机构的优化计算

4．1 MATLAB优化工具箱的简介

MATLAB优化工具箱有强大的优化功能，具体可以解决以下问题［5］：

（1）求解非线性无约束条件极值；

（2）求解非线性约束条件极值，包括最佳目标逼近问题、极大－极小值问题和半无限极小值问题；

（3）求解二次规划和线性规划问题；

（4）非线性最小二乘逼近和曲线拟合；

（5）非线性系统的方程求解；

（6）约束条件下的线性最小二乘优化；

（7）求解复杂结构的大规模优化问题。

在MATLAB中可以针对不同的问题，调用不同的函数来求解最优化问题，具体函数以及用法如表1所示。

表1 MATLAB优化工具箱函数简介

根据约束条件可知，整体式转向梯形机构的优化计算是有约束的非线性最优化问题，将用到MATLAB中的fmincon函数进行优化计算［5］。

4．2 MATLAB优化工具箱中关于fmincon函数的用法

利用fmincon函数求多变量非线性约束函数的最小值，其一般数学模型如下所示：

minf（x）

c（c）≤0

ceq（x）＝0

A．X≤b

Aeq．x≤beq

Lb≤x≤ub

在MATLAB中，fmincon的调用格式如下所示：［x，fval］＝fmincon（＠fun，x0，A，b，Aeq， beq，lb，ub，nonlcon），式中x0为初值，A，b为非线性约束方程系数，Aeq、beq为线性等式约束系数，lb、up分别为上、下边界，nonlcon非线性约束条件［5］。

4．3 在MATLAB中调用fmincon函数进行优化设计

4．3．1 计算实例

以某型客车转向前桥为例，已知数据：L＝4430mm，M＝2150mm，M1＝2360mm。根据以上理论可在MATLAB中编写以下程序进行优化设计。

4．3．2 建立目标函数：

在MATLAB中建立M文件，命名为objfu－nycl．m．

function f＝objfunycl（x）；

L＝4430；

M＝2150；

m1＝2360；

bzj＝x（1）×pi／180；

m＝x（2）；

for k＝1：35；

afa（k）＝k×pi／180；％内侧转角

N＝sqrt（M2＋m2－2×M×m×sin（bzj＋afa（k）））；

afb＝asin（m×cos（bzj＋afa（k））／N）；

b＝M－2×m×sin（bzj）；

real＝bzj＋afb－asin（（N2＋m2－b2）／（2×N ×m））；％实际外侧转角

ideal＝atan（1／（M1／L＋1／tan（afa（k））））；％理论外侧转角

c（k）＝abs（real－ideal）×180／pi；％外侧转角的理论和实际的误差

end

f＝max（c）；％目标函数误差的最大值

4．3．3 建立约束条件

在MATLAB中建立M文件，命名为confu－nycl．m．

function［c，ceq］＝confunycl（x）；

L＝4430；

M＝2150；

m1＝2360；

bzj＝x（1）×pi／180；

m＝x（2）；

afa35＝35×pi／180；％内侧车轮的最大转角

N＝sqrt（M2＋m2－2×M×m×sin（bzj＋afa35））；

afb＝asin（m×cos（bzj＋afa35）／N）；

b＝M－2×m×sin（bzj）；

real35＝bzj＋afb－asin（（N2＋m2－b2）／（2 ×N×m））；％外侧车轮的最大转角

tdj＝acos（（b2－M2＋2×M×x（2）×sin（bzj－real35））／（2×b×x（2）））×180／pi；％最小传动角

c＝［x（1）－20；x（2）－0．15×M；0．11× M－x（2）；40－tdj］；％约束条件

ceq＝［］；

4．3．4 调用工具箱函数并绘图

在MATLAB中建立M文件，调用fmincon函数，命名为jieguo．m

clear all；

x0＝［15，350］％初值

［x，fval］＝fmincon（＇objfunycl＇，x0，［］，［］， ［］，［］，［］，［］，＇confunycl＇）％调用MATLAB工具箱中fmincon函数．

L＝4430；

M＝2150；

m1＝2360；

bzj＝x（1）×pi／180；

m＝x（2）；

for k＝1：35；

afa（k）＝k＊pi／180；

N＝sqrt（M2＋m2－2×M×m×sin（bzj＋afa（k）））；

afb＝asin（m×cos（bzj＋afa（k））／N）；

b＝M－2×m×sin（bzj）；

real＝bzj＋afb－asin（（N2＋m2－b2）／（2×N ×m））；％优化后的实际外轮转角

ideal＝atan（1／（m1／L＋1／tan（afa（k））））；％优化后的理论转角

c（k）＝abs（real－ideal0）×180／pi；％优化后的误差

id0（k，：）＝ideal．×180／pi；％将输出结果将角度

re（k，：）＝real．×180／pi；％将输出结果将角度

ak（k）＝afa（k）．×180／pi；％将弧度转化为角度

end

grid on；

hold on；

plot（ak，id0，＇r－－＇，ak，re，＇o＇）；％绘制理论和实际转角曲线

legend（＇实际转角＇，＇理论转角＇）

title（＇外转向轮偏转角＇）

xlabel（＇内转向轮转角＇）

ylabel（＇外向轮转角＇）

figure（2）；

plot（ak，c）％绘制目标函数的误差曲线

xlabel（＇内转向轮转角＇）

ylabel（＇外转向轮误差＇）

title（＇实际转角和理论转角差值＇）

4．4 优化结果

运行主函数，可以得到以下优化结果和图解，如图4、图5、图6所示。

图4 设计变量的最优解和相对误差

图5 优化后转向轮理论和实际曲线

从图4、图5、图6中可以看出，转角0°～35°范围内时，转向梯形决定的实际转向曲线与理论阿克曼曲线总体是重合的，说明优化的数学模型是可行的。从优化结果可以看出，外侧车轮的实际和理论误差最大为0．44°，这在工作过程中是可以接受的，最终设计的优化变量最优解为γ0＝20°，M1＝322．5mm，但在实际的设计过程中，还需要对优化的结果进行圆整，同时还要考虑到总体布置的要求和工艺的限值。

图6 优化后转向轮理论和实际误差曲线

5 总 结

整体式转向梯形的优化设计属于非线性优化求解的问题，本文通过对整体式转向梯形的数学建模，找出转向轮内外车轮的转角关系。当内侧车轮偏转一个角度时，以理论外侧车轮与实际外侧车轮转角误差为目标函数，利用MATLAB工具箱的fmincon函数求目标函数的最小值，找出设计变量的最优解。通过优化设计发现，当梯形的布置角γ0＝20°，转向梯形臂长M1＝322mm时，汽车内外车轮滑移量最小，在滚动的过程中尽可能的做纯滚动运动，减小了轮胎的磨损，从而使汽车具有良好的转向特性。

参考文献

［1］ 王望予．汽车设计（第四版）［M］．北京：机械工业出版社，2009．

［2］ 潘公宇．车辆优化设计理论与实践［M］．北京：北京大学出版社，2013．

［3］ 陈家瑞．汽车构造（第四版）［M］．北京：人民交通出版社，2009．

［4］ 孙恒．机械原理（第七版）［M］．北京：人民交通出版社，2006．

［5］ 苏金明．MATLAB工程数学［M］．北京：电子工业出版社，2005．