全局主成分法（黄薇等，）

二、全局主成分法（黄薇等，2003）

进行竞争力纵向比较是考察某一地区若干年内竞争力的走势，以量化形式反映竞争力变化的计量方法。运用这种分析法，要求年度间统计指标的口径必须可比，尤其是对包含物价变化因素在内的价值量指标值进行剔除价格因素的处理。我们采取了基于时序立体表（Data Tables Indexed by the Time）的因素分析（Factor Analysis）的方法——全局主成分分析法作为研究手段。

时序立体数据表K＝｛X_t∈R^n×p，t＝1，2，…，T｝j是一系列按照时间排列的平面数据表序列，它与平面数据表显著不同之处是数据中包含动态信息，从对时序立体表从时间和空间上的组合方位出发，可以用最佳简化的原则和算法从全局的角度观察和分析数据系统主要因素的动态变化规律。即通过对这种立体数据表进行主成分分析，寻求一个对所有数据表来说是统一的简化子空间l（u₁，u₂…，u_m），将每张数据表在其上的投影得到近似表达，并且从全局看，该子空间的综合效果是最佳的。

全局主成分分析的工作步骤如下：若统计n个区域，使用相同的p个指标变量来描述，记原数据表为X＝（x_ij）_n×p，其中n为样本点个数，p为变量个数。每年一张表，T年共有T张数据表，可以构成一个“全局数据表”X＝（x_ij）_nT×p。

（1）数据的标准化：将坐标原点移到数据中心，同时，进行压缩变换消除量纲影响。

其中

为方便起见，仍记标准化后的数据表为X。

（2）计算X矩阵的协方差矩阵R。

（3）求R的前m个特征值λ₁≥λ₂≥λ₃≥…≥λ_m，即对应的特征向量u₁，u₂，…，u_m，它们标准正交。u₁，u₂，…，u_m称为主轴。

（4）由于X是中心化的，则h主成分为：

由此得到因子模型

其中，A为因素负荷矩阵，若残差D_p×pU的影响很小可以忽略不记，则数学模型变为X′＝A_p×mF′_m×n，且公式3满足条件