函项的概念

14.1.1　函项的概念

数学中有一个重要概念叫做函数（function）。数学集合论中对它的描述是：在某一变化过程中，两个变量x和y，对于某个范围内的x的每一个值，y都有一个确定的值和它对应。这种关系一般用y＝f（x）表示，x叫做自变量，y叫做因变量，f表示y与x之间的对应关系，即函数关系。x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。可见，函数是指两个集合之间的一种特定的对应关系。

最先把函数概念导入逻辑学的是德国逻辑学家弗雷格（G.Frege）。弗雷格对函数概念做过十分透彻的解析，并把它视为命题分析的一个重要工具。他举例说，数字表达式2·1³＋1、2·4³＋4和2·5³＋5，它们各代表不同的数：第一个指的是3这个数，第二个是132，第三个是255。仔细看一下，可发现它们有一个共同的模式。数学家通常把这一模式写成“2·x³＋x”，他认为表达为“2·（ ）³＋（ ）”更加合适。这个共同的模式就叫做函数。他指出，在所有诸如“2·1³＋1”的数学表达式中，可以区别出两种成分：一种是自变元的记号（在上面的三个表达式中分别是“1”、“4”、“5”），另一种就是函数表达式（这里就是共同模式“2·（ ）³＋（ ）”）。共同模式中用圆括号表示的空位，表示在该处可填上不同的数字（即代入一个代表自变元的符号），这一函数就可以得到相应于一个特定的自变元的一个特定的数值。就上面的函数模式来说，填进1，函数就有数值3，填进4，就得到132，填进5，就得到255。由此可见，函数的概念包含带有一个共同的模式的重要思想。此外，弗雷格指出，这两种成分的主要的区别是，“自变元是一个数，一个自身完全的整体，而函数却不是。”这就是说，填入空位的自变元总是一特定的数，它们是完整而确定的整体。当为一个特定的函数提供一个特定的自变元后，就会得到一个与该自变元相应的数值，这一数值也是完整而确定的整体。但作为联结自变元和数值的“中介”的函数本身却不是一个确定的数，它是一个带有空位的模式。正因为如此，弗雷格认为函数具有不完全性（incompleteness）或未饱和性（unsaturatedness）的特征。⁽¹⁾

弗雷格进一步指出，在逻辑学领域对语言用法进行逻辑分析时，可以作出同“函数”、“自变元”和“值”的区别相类似的区别⁽²⁾。他认为，日常语言中指称各种对象的名称可以看成是某个函项的主目，如“——的首都”这样的表达式就可以看成是一个函项。在空位填上“美国”这一名称，这个表达式就以华盛顿为其值，填进“中国”，则以北京为值。“苏格拉底是一个哲学家”这样的句子，从逻辑上看，也可以认为是由一个空位（一个主目的位置）和“——是一个哲学家”这一函项构成的。这个句子的意义就是这个句子的真值。当空位上填上“苏格拉底”、“柏拉图”这些名称，就得到“真”的真值。若填进“恺撒”或“法国”这些名称，构成语句“恺撒是一个哲学家”或“法国是一个哲学家”，其真值就为“假”。由此可以认为，“——的首都”、“——是一个哲学家”都是起谓词的作用的不完全（或者说不饱和）的函项表达式。⁽³⁾

应该注意的是，弗雷格对命题组成成分的分析与传统逻辑并不相同，这与他对函项概念的独特理解密切相关。自亚里士多德以来的传统逻辑认为，每个命题（判断）基本上都是由主词和谓词组成的，谓词被视为将一特定性质归于主词的东西。弗雷格却断然抛弃了传统对命题的主词、谓词之分。他说：“我在这里采用的是这种数学的形式语言的例子，如果人们要在这里区分主词和谓词，就会歪曲真相。”⁽⁴⁾弗雷格认为，传统逻辑所说的主词，实际上只是在一个语句中处于“被谈论的位置”，因而讲话者期望听话者特别注意到它而已。由于主词和谓词的区分是基于主观态度与讲话者和听话者的期望的，因此并非客观的逻辑特征。由此，可以说传统的主谓区分与逻辑无关。弗雷格提出以“函项”与“主目”的区别替代传统的主词、谓词之分。他指出，如果把“主词”所意味的东西同数学中称为自变元的东西相类比，就能更好地理解（从逻辑上说的）“主目”了。弗雷格所说的谓词与传统逻辑和通常的语法中称为句子的谓词（谓语）也不是一回事。弗雷格关注的是如何分析命题逻辑的内在结构。例如，“布鲁修斯杀了恺撒”这一命题（句子），按弗雷格的看法，可以得出三种类型的谓词成分（即不饱和的函项成分）：“——杀了恺撒”，“布鲁修斯杀了——”和“——杀了——”。他认为，什么是“主目”，什么是“谓词”，不能按通常的语法标准来决定，而应根据逻辑关系来定，关键是要看哪种表达式是起谓词作用的不饱和的函项成分，哪些表达式是可填入函项所带有的空位的主目。⁽⁵⁾他指出，“一个函项表达式往往是给自变量留有空位（至少有一个这种空位），而在分析中它通常是用填补这个空位的字母‘x’表明的。但是，自变量本身绝不能被看做是函项，字母‘x’也并不是函项表达式……因此，我称这个函项为未饱和的，或需要完成的，因为它的名称一定是用自变量的记号补充的，以便得到一个完全的指称。”⁽⁶⁾

罗素也从命题与命题函项的区别的角度阐述过函项概念。他指出：“一个‘命题函项’其实就是一个表达式，这表达式包含了一个或者多个未定的成分，当我们将值赋予这些成分时，这个表达式就变成了一个命题。”他举例说，“‘x是人’是一个命题函项，只要x未加规定，它既不真也不假，但是当我们给x规定一个值时，它变成了真或假的命题。”⁽⁷⁾这就是说，函项表达式总带有可填补自变元的空位，在这些空位上通常填上x等未定成分，当空位上的x由某个名称填补之后，就构成了一个完全的命题，就不再是函项了。因此，可以说，“——是人”或“x是人”是函项，而不是命题；“苏格拉底是人”和“苏格拉底是狮子”是命题（一个为真，一个为假），但不是函项。由此可见，罗素是接受了弗雷格关于在专名与谓词表达式之间存在明显的区别的观点的。事实上，罗素在阐述他的摹状词理论时，也始终是依赖对专名与作为谓词的摹状词之间的这种区别的。跟弗雷格一样，罗素也确认，作为主目的专名是完全的符号，摹状词则应被视为没有独立意义的“不完全的符号”。⁽⁸⁾