指数函数的图像和性质_能力本位职业教育

指数函数的图像和性质_能力本位职业教育

指数函数的图像和性质

重庆万州第一职业高级中学　廖雪刚

教学对象：福州市财贸中专学校

授课日期：2009年11月21日

教学内容：指数函数图像和性质(www.guayunfan.com)

教学思想：突出学生的主体地位，让学生主动承担学习任务，以能力本位为中心，培养学生独立自主的学习能力，并实现知识向能力的转化。

教学目的：

知识与技能目标：

（1）理解指数函数的图像及性质；

（2）会运用指数函数的图像及性质解决简单的实际问题；

过程与方法目标：让学生体验从实际问题出发自主探究指数函数的图像及性质的过程，学会观察、归纳、类比的方法；

情感态度与价值观目标：使学生感悟到数学来源于生活并运用于生活，由此培养学生热爱数学的情感。

教学重点：指数函数的概念、图像和性质；

教学难点：（1）指数函数的图像、性质；

（2）指数型函数向指数函数的转化；

突破难点：采用分解法和类比法教学

教学资源：教学课件、小纸条、坐标纸。

计划学时：1个学时

一、教学过程

1.创设情景　兴趣导入

问题1　从古老的神话故事嫦娥奔月到美国阿波罗11号宇宙飞船第一次登上月球，人类奋斗了几千年才终于圆了登上月球的梦想，

问：同学们，你们觉得月球离我们遥远吗？

问：那有多远？

我们到月球有两种方式，一种是乘坐宇宙飞船，一种是睡觉做梦的时候。其实在数学家的眼里，到月球上去是很简单的事情，不信，大家和我一起来做个小实验。

拿起手中的纸条，与我一起来对折，请每一位同学都来体会对折后的层数的变化。

对折4次后就变成16层，对折5次后就变成32次。

问：如果纸条足够长，能折到30次，40次吗？

如果你手中的纸条厚度为0.04毫米能折到30次，高度会达到多高？40次的高度又会达到多高？你能想象一下纸条的高度会变成多高吗？放飞想象的翅膀，大胆的想象，每个小组请一名同学来回答。（略）

太保守……

同学们都是学习金融专业的，接下来老师与你们一起来玩一个关于金钱的游戏。

老师从今天开始每天给你10万元，而你第一天给老师1分，第二天给老师2分，第3天给老师4分，第4天给老师8分，……依此类推；

（1）老师要和你签订15天的合同，你同意签订这个合同吗？

（2）老师要和你签订30天的合同，你同意签订这个合同吗？

说到钱，每个人都很兴奋，不过现在大家必须做一个选择。哪些同学愿意签15天合同？（请举手）哪些同学愿意签30天合同？（请举手）

如果现在你还不能确定谁会输钱，谁会赢钱的话，就与我一起来学习——《指数函数的图像与性质》学完后就会明白。

2.动脑思考　明确新知

问题2　以纸条对折来观察纸条的层数与长度的变化情况。（分开研究）

解决　设纸条对折x次得到的纸条层数与长度为y，则列表如下：

由此得到，

归纳函数中，指数x为自变量，底数为2和是常数。

让学生阅读教材72页，让一个学生来口述指数函数的定义。

概念：

一般地，形如y=ax的函数叫做指数函数，其中底a（a＞0且a≠1）为常量.指数函数的定义域为R，值域为(0,+∞)。

黑板板书出来，并强调72页（1）“形如”二字；（2）底数a（a＞0且a≠1）是为了研究方便而规定的，如果a等于1，那么1的任何次方都等于1，就没有研究的意义。如果a小于0，有的函数就没有意义了。

动手：请同学自己写5个指数函数，同桌的同学互相检查。并请一位同学到黑板上来写出，并说明为什么你认为它们就是指数函数？

例如都是指数函数。

同学认真观察刚才写的指数函数，请同学自己来找到解析式的特点，老师最后总结。

问题3　指数函数解析式有什么特点？

指数函数的解析式y=ax；

ax的系数为1；

指数是自变量x；

底数a＞0且a≠1的常数。

解决　判断下列哪些是指数函数？

（1）y=x2

（2）y=2x

（3）y=?2x

（4）y=2g3x

（5）y=23x

（6）y=

分小组讨论，每组请一名同学回答，老师得最后答案，并指出哪些是严格意义上的指数函数，而不是严格意义上的函数可以称它们为“指数型函数”。有的指数型函数可以转化为指数函数，有的则不能转换为指数函数。

问题4　刚才有的同学认为（5）（6）也是指数函数，那就请大家与我来一起看一看，比一比，下面几组函数有什么不同的地方

（1）y=43x?y=4x

（2）

（3）

问题5　如何转化成指数函数？

（1）y=

（2）y=

（3）y=

让同学自己动手来转换成指数函数y=ax，并请同学来回答，每个小组回答一个问题，看哪个小组又快又正确。

通过问题3、4、5加深对指数函数解析式特征的理解。

3.动手探索　发现新知

懂了什么是指数函数，并能转化一些指数型函数，那我们一起来研究指数函数的图像，并用图像来研究指数函数的性质。

问题6

利用“描点法”作指数函数的图像.

解决

设值列表如下：（多媒体展示对应点的值，给每个学生发一张坐标纸，让学生自己动手描点，作图）

以表中的每一组x，y的值为坐标，描出对应的点（x，y）。分别用光滑的曲线依次联结各点，得到函数的图像，如下图所示。

提示：在此先请同学先画出y =2x的指数函数图像，然后通过比较，归纳得到的函数图像。

归纳

让学生自己观察函数图像发现：

1.函数y=2x和y =的图像都在x轴的上方，向上无限伸展，向下无限

接近于x轴；

2.函数图像都经过（0，1）点；

3.函数y=2x的图像自左至右呈上升趋势；函数的图像自左至右呈下降趋势。

推广

4.动脑思考　明确新知

一般地，指数函数y=ax(a＞0且a≠1)具有下列性质：

（1）函数的定义域是(?∞,+∞)，值域为(0,+∞)；

（2）函数图像经过点（0，1），即当x=0时，函数值y=1；

（3）当a＞1时，函数在(?∞,+∞)内是增函数；当0＜a＜1时，函数在(?∞,+∞)内是减函数。

通过上面两个图形，来归纳指数函数的性质，让同学们一起来回答。（板书在黑板上）

5.巩固知识　典型例题

训练1　判断下列函数在(?∞,+∞)内的单调性：（请一名同学与老师进行口头交流，讨论本题的解答。）

（1）y=4x；　　（2）y=3?x；　　　（3）。

提示确定一个指数函数的单调性关键是它的底数，只有把底数的情况弄清楚了，指数函数的一切问题都迎刃而解。

解（1）因为底，所以函数在(?∞，+∞)内是增函数。

（2）因为底，所以函数y=3?x在(?∞，+∞)内是减函数。

（3）因为，底a=32≈1.259＞1,所以，函数在(?∞，+∞)内是增函数。

6.运用知识 强化练习

推广训练2

比较下列各组数的大小（要求学生独立或分组完成）

7.反思与感悟

问题

1.我学习了哪些知识？

（1）指数函数的定义。

（2）指数函数的图像及性质。

2.体验和感悟到一种怎样来探究指数函数图像性质的过程和方法？

数与形相结合的方法记忆。

3.我还有什么困惑？

继续探索 活动探究

（1）必做题：课后练习：习题4.2.1 P75 1、2题

（2）选做题：课后练习：习题4.2.1 P75 3题（分层次教学）

（3）现在你愿意选择15天还是30天的合同来与老师签订？

结束语：数学来源于生活，运用于生活，只要我们认真观察，会发现生活中处处都有数学，希望同学们不要畏惧数学。同学们，今年很流行的一句话就是你感冒了吗？确实甲型H1N1病毒也是一种细胞，我们知道细胞的形成也是一种指数爆炸形式，从1个，到2个，到4个，到8个……很感谢每一位同学能与我一起分享短暂的45分钟，谢谢。

附1　板书设计：

附2　学生数学调查表：

福州财经中专数学学习调查表

姓名：　　　　　性别：　　　　班级：

1.你对学习数学的兴趣（　　）

A.非常喜欢　　　　B.比较喜欢

C.曾经喜欢，到高中不喜欢D.曾经喜欢，到初中开始不喜欢

E.一直不喜欢

2.你是否获得过数学老师的表扬(初中以来)（　　）

A.经常　　B.多次　　C.偶尔　　D.从来没有

3.你是否有过解决数学问题后的愉悦？（　　）

A.没有　　B.偶尔有　　C.经常有　　D.有过，感觉不明显

4.你对数学学科有何认识？（　　）

A.数学有用　　B.数学训练思维　　C.数学解决许多实际问题

D.数学好可以在高考中获得高分　　E.数学没有多大用处

5.你是否想了解数学的历史（　　）

A.很想　　B.比较想　　C.无所谓　　D.不想

6.你每天花在学习数学上的自主时间（不包括数学课）有多少时间（　　）

A.1.5小时以上　　　B.1～1.5小时

C.0.5～1小时　　　D.0.5小时以内

7.你在上数学课前是否有预习的习惯（　　）

A.课前常先看书　　B.老师要求时就预习

C.凭自己一时的兴趣　　D.没有时间预习　　E.不愿意预习

8.在数学课上你喜欢

A.先看书后听老师讲解　　B.听老师讲

C.主要由自己看书、做题目

9.你认为在课堂上老师讲数学题的最佳方法是（　　）

A.老师讲解　　B.老师分析思路、学生做

C.先学生做，再由老师评讲D.学生先做，再相互交流，最后老师评讲

E.只要掌握一种就行

10.对数学不感兴趣是因为（　　）

A.不想上课　　B.讨厌作业

C.害怕考试　　D.对数学成绩无所谓

11.希望数学老师的语调（　　）

A.激昂　　B.抑扬顿挫　　C.平淡　　D.低沉

12.你对数学考试的态度是（　　）

A.喜欢考试　　B.无所谓　　C.害怕考试

13.你认为影响数学学习成绩的主要因素是：（　　）

A.学习基础　　B.智力　　C.老师　　D.自身努力

14.你是否用数学知识解决过实际问题（　　）

A.经常　　B.偶尔

C.无法解决　　D.对实际应用没有作用

15.你认为电脑进入数学课堂（　　）

A.对数学学习很有用　　B.无所谓　　C.不必要

16.数学老师最重要的是（　　）

A.专业知识丰富　　B.耐心　　C.幽默　　D.语言清晰

17.对现在的数学老师上课满意吗？（　　）

A.十分满意　　B.较满意　　C.一般　　D.不满意

18.你认为数学课应如何上才有兴趣？

19.如果你的数学成绩还不理想，你认为主要原因是什么？

20.你认为好的数学老师应该是怎样的？