圆的标准方程_耕耘教育收获成

圆的标准方程_耕耘教育　收获成

圆的标准方程

凌海市第一高级中学　孙迪飞

一、教材内容分析

本节是必修2第二章2.3.1圆的标准方程，圆是学生比较熟悉的曲线。在初中几何课中已经学习过圆的性质，这里只是用解析法研究它的方程与其他图形的位置关系及一些应用。将在上章学习的直线与方程基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆、圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。本节的学习将为以后学习圆锥曲线奠定基础。

二、教学目标(www.guayunfan.com)

1.知识目标

(1)掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径;

(2)理解并掌握切线方程的探求过程和方法。

2.能力目标

(1)进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力;

(2)通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生的运算能力、逻辑思维能力;

(3)通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。

3.情感目标

通过运用圆的知识解决实际问题的学习，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚韧不拔的意志品质。

4.价值观

树立事物之间相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点。

三、学习者特征分析

(1)学生是15~ 17岁的高中生，思维活跃，课堂上喜欢表现自己，对数学学习有浓厚的兴趣;

(2)学生在学习中随意性非常明显，渴望得到教师或同学的赞许;

(3)学生已有一定的数学学习能力。

四、教学方法

根据学习者特征的分析，高一学生已经具备了一定的基础知识和技能，因此，本节课主要采用诱思探究的教学方法。借助学生已有的知识引入新知;以问题为主线，采用讨论式，引导学生主动探索，自己构建新知。

本节课将借助多媒体环境，资源准备：教学PPT、打印的拓展资源、自制教学图片等增强教学的主观性，同时提高课堂效率。

五、教学过程

1.导入新课

教师提问引出本节主要内容问题分析，学生探究。

问题1：确定圆的几何要素是什么?

在学生回顾确定直线的要素——两点(或者一点和斜率)确定一条直线的基础上，回顾确定圆的几何要素——圆心位置与半径大小，即圆是这样的一个点的集合——圆心与半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的形状。画图启发。

问题2：圆的定义。

(初中)平面上与定点距离等于定长的点的集合;

(高中){M|CM|= r}(r为定长，C为定点)。

问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么?其中哪几个步骤必不可少?

求曲线方程的一般步骤为：

(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点(见图1);

图1

(2)写出适合条件P的点M的集合P={M| P(M)}，简称写点集;

(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)= 0，简称列方程;

(4)化方程f(x，y)= 0为最简形式，简称化简方程;

(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明。

其中，步骤(1)(3)(4)必不可少。

下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程。

2.建立圆的标准方程

(1)建系设点。由学生在黑板上板演，并问有无不同建立坐标系的方法。教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心是特殊情况，现在仅就一般情况推导。因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M的坐标为(x，y)。

(2)写点集。根据定义，圆就是集合P={M|MC|= r}。

(3)列方程。由两点间的距离公式得

(4)化简方程。将上式两边平方得

(x-a)2+(y-b)2= r2 　　　　(1)

式(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程。我们把它叫做圆的标准方程。

这时，请大家思考下面一个问题。

问题4：圆的方程形式有什么特点?当圆心在原点时，圆的方程是什么?

这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变量x，y的系数都是1。点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径。当圆心在原点即C(0，0)时，方程为x2+y2= r2。

教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了。这就是说，要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件。注意，确定a，b，r可以根据条件，利用待定系数法来解决。

3.圆的标准方程的概念深化

(1)概念的理解。

(2)点和圆的位置关系。设点到圆心的距离为d，圆半径为r。

①点在圆上?d= r或代入法;

②点在圆外?d＞r;

③点在圆内?d＜r。

学生练习(课后练习A组题)。

教师纠错，分别给出正确答案。

4.圆的标准方程的应用

例1　求满足下列条件各圆的方程：

(1)圆心(-2，1)，过点(2，-2);

(2)求以C(1，3)为圆心，并且和直线3x-4y-7= 0相切的圆的方程;(见图2)

图2

(3)圆心在x轴上，半径为5且过点(2，3)的圆。

答案：(略)。

例2　求过点(6，0)，(1，5)且圆心在直线2x-7y+8=0上的圆的方程。

答案：(略)。

这时，教师小结本题，求圆的方程的方法：定义法;待定系数法，确定a，b，r。

5.总　结

(1)圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2= r2，圆心(a，b)，半径为r。

(2)圆与点的位置关系：由点与圆心的距离确定。

(3)求圆的方程常用方法：直接代入法;待定系数法;几何分析法。(关键是如何确定圆心与半径)

回顾前面5个问题，引导学生归纳总结本课作业：书本第1，2，3，4题。

六、教学反思

本着激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”教学模式进行教学设计。所谓“引导探究”，是指教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机地结合起来。教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情景，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题。