体验数学_小学数学案例教学
专题七：体验数学：经历知识的形成过程
相关理论 新教材不仅重视对数学知识结果的掌握，而且更关注学生对数学学习过程的经历与体验，重视学生学习活动的探索发现过程。把动手实践、自主探究与合作交流作为学生学习数学的重要方式，使学生有充分从事数学活动的时间和空间。
数学知识的学习过程，是一个学生以积极的心态调动原有的知识和经验，通过实践活动解决问题，同化新知识的过程。因此，教师应多让学生动眼、动手、动脑、动口，直接参与到知识的形成过程中，在实践活动中体验生活与数学的关系；体验知识的产生、发展的全过程；体验解决问题后成功的喜悦，增强运用数学知识解决实际问题的能力。
选题一 九年制义务教育六年制小学数学（人教版）第八册第27─29页“平均数”
案例一(www.guayunfan.com)
教师在教学设计中利用男、女队三次踢毽子比赛，紧密组成一条主线进行展开。
第一次比赛时，男、女队人数相等，哪个队的总数多，哪个队就赢。
（运用已有的旧知识解决问题，同时也为第二次比赛的判定做一个铺垫。）
第二次比赛时，男生队有4个人的成绩，女生队只有3个人的成绩。教师先让学生观察两个统计表有什么不同，学生很明显地发现两个队比赛的人数不相等。怎么判定哪个队赢？教师故意把两个队踢毽子总数分别加出来，判定男生队赢了。有几个女生马上反对，这样不公平，人数不相等当然不公平了，教师提出怎样使每个人都平均一样多？先通过课件演示移多补少，让学生亲眼看到女生队是怎样达到每个人都一样多的，每个人都是6个，6就是7，7，4的平均数。
接着教师设计了猜一猜的小游戏，让学生猜男生队的平均数可能是多少，是8或者是2，行不行，为什么？
（这个环节是整节课的重点，学生了解平均数的意义以及体会移多补少、用计算的方法求平均数等知识点都要在此环节中得以实现。
通过游戏猜一猜既调动了学生的积极性，又为发现平均数的特点埋下伏笔：平均数比最大的数小，比最小的数大，只能在这个范围之内，然后再用算出的男生队平均数进行验证，学生这时如梦初醒。
猜测和验证的两个环节前后呼应，一气呵成，淋漓尽致地体现出平均数的特点。结合两次移多补少的过程，使学生感觉每次用移多补少的办法太麻烦了，另辟蹊径：把每个人的个数加起来，再除以他们的人数也能得到平均数。用计算的方法算出的得数和移多补少的平均数比较，两个数相等。用计算的方法求平均数可行。）
第三次比赛时，教师让学生分两组比赛，然后板演订正。这个过程中，刚好有一个学生是用移多补少的方法算平均数，于是教师马上抓住契机：还有谁和他一样用移多补少的方法？50人除他外无一人举手。大家为什么都不用移多补少算平均数呢？49人异口同声：用移多补少太麻烦，直接计算很方便！让学生教学生，解决了用哪种方法算平均数更方便的难题。
（主要是让学生巩固运用计算的方法求平均数，同时也可以对比两种方法的优缺点。让学生教学生，解决了用哪种方法算平均数更方便的难题。）
案例评析
本设计一是从学生方面思考会出现哪些可能，怎样处理；二是从老师方面考虑怎样把课上得深入浅出，让学生在不知不觉中融会贯通。重点突出紧凑，层次清晰，思维逐渐深化，使学生达到融会贯通的境界。
案例二
教学平均数意义时，每小组桌上摆着装有不同高度的4杯水（杯壁上有刻度），水的高度分别是6厘米、3厘米、5厘米和2厘米。
师：怎样使4个杯子里水的高度一样？各组先协商一致，再动手。
小组讨论后，师指名演示，该生边倒那4杯水，边把思路说出来。
师：说得很好，像这位同学介绍的这种方法叫做移多补少。
师：倒的前后，有一个数没变，同学们发现了吗？
生：总数不变。（师小结平均数的意义）
师：用平均数4与6，3，5，2比较，你有什么发现？
生：4在这四个数的中间。
师概括：最小数＜平均数＜最大数。
【评析】平均数对于学生来说还是较为抽象的，老师为学生创设了这样的学习情境：4个杯子里盛有不同高度的水，怎样使4个杯子中的水同样多。通过让每位学生动手操作，从直观上感知同样多的数，就是“平均数”，亲身经历了平均数的形成过程，主动构建平均数意义及它的基本特征，较好掌握新知识，而且印象深刻。
师出示例3，把全班学生分成5人、6人和7人各两组，每组发一张空白的身高统计表，每人先填入身高数据。（课前已叫学生测量）
师：同学们想知道我们班哪一个小组同学的身高高一些吗？
生：想。（齐声回答，情绪高涨）
师：小组讨论用什么方法比较？并计算出来。（几分钟后汇报）
生1：应该先求出各组平均身高，再比较。
师：能不能把每个小组同学的身高加起来，再比较大小。
生2：不能，这样比较不公平，因为每组人数不同。
【评析】教师把单调的例题改变成让学生自己收集、整理身高数据，然后引导各小组围绕“人数不同如何比较各组身高”这个核心问题进行思考。这样创新性使用教材，让学生有参与其中的乐趣，提高学习的积极性，并从中了解到平均数的作用。
师：同学们先独立完成第29页的“做一做”3道题。做对一题得10分，比一比哪一组平均分高？（师出示统计表）
学生积极性都很高。几分钟后老师叫学生板演那3道题，然后核对各组学生做题情况，把相应分值填入表中。（各组人数不同）
师：算一算自己小组平均分，比一比哪组平均分最高。（师表扬）
师出示一道拓展题：一个鱼池深浅不一，平均水深是130厘米，刘刚身高140厘米，他如果到池中玩水有危险吗？
生1：没有危险，因为刘刚身高高出水面10厘米。
生2：不对，平均水深130厘米，不是每处都一样深，有的甚至比140厘米还要深，可能会有危险。（师小结，适时进行安全教育）
【评析】设计统计表这道题，有一石三鸟的效果。一是通过比赛，激发学生的学习积极性，更认真去完成作业。二是从统计中反馈出学生对本课新知识的掌握情况。三是能从中巧妙设计出一道平均数应用题。设置拓展题，既能考查学生对平均数基本特征的把握情况，而且在其中渗透安全教育，同时凸显数学生活化的崭新理念。
案例三
一、创设情景，初步感知
1.多媒体出示图，师讲述：这是一个长方体容器，用三个闸门把这个容器平均分成4格，在里面盛上高度不等的水，请想象一下，如把这几个闸门打开，里面的水会出现怎样的现象？
2.小组讨论后学生汇报。
3.小结：（多媒体演示）看，打开闸门，高处的水往低处流，最终水面高度相等，这个相等的高度就是水面的平均高度。
师：谁再来说一说，这个“平均高度”是怎么形成的？（水从多的地方移到少的地方。）
（多媒体演示“移多补少”过程。）
师归纳：像这样，几个不相等的量，在总数不变的前提下，通过移多补少，会得到一个相等的数，我们把这个相等的数叫做这几个数的平均数。（板书：平均数）
【评析】“水往低处流”这是一种自然现象，学生对这种自然现象也特别熟悉。此处，借助学生熟悉的这种自然现象来引入新课，一方面使枯燥的数学问题变得非常有趣、富有亲近感，另一方面通过多媒体的演示让学生从中感悟移多补少的思想，为建立平均数的概念提供了实物模型，帮助学生初步理解求平均数的意义，为下面的学习奠定了基础。
二、合作探究，深化理解
1.师：拿出圆形学具按要求摆放，第一排放8个，第二排放4个，第三排放3个，注意摆的时候，要一一对应地摆齐。要指一生在黑板上用圆形磁铁摆，其他同学在桌面上摆。
问：这三行圆片的平均数是多少？
a.学生合作探究：
怎样求出这三行圆片的平均数，看哪个组的方法多。（四人一组摆圆片，师巡视指导。）
b.交流汇报：
ⅰ.移多补少：只要从8个中拿1个放到第二行的4个中，拿2个放到第三行的3个中，它们就一样多了，所以这三行圆片的平均数是5。
ⅱ.先算总数再平均分：把三行圆片合在一起，先求出一共几个，然后再除以3就可得到这三行的圆片的平均数。
ⅲ.师：谁能说一说可以用哪些方法来求平均数呢？
（生答。）
ⅳ.师小结：可以用移多补少的方法求平均数，也可用数据的总数除以数据的个数求出平均数。
【评析】“活动”是儿童感知世界、认识世界的主要方式，也是儿童社会交往的最初方式。在这个环节中，为学生提供了大量的活动材料——圆片，让学生通过摆圆片来体验和感悟新知识。学生的手、脑、眼、口等多种器官直接参与了学习活动，不仅解决了数学知识高度抽象性与儿童思维发展具体形象性的矛盾，而且使全体学生都积极主动参与，培养了合作能力和探究精神，使学生在生活化的情景中感受数学，体验数学，经历了知识的形成过程，开发了学生的思维。
选题二 九年制义务教育小学数学（人教版）二年级下册教科书18页“除法的初步认识”
教学目标分析
新课标指出：“动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的主要方式”。数学学习的方式不能再是单一的、枯燥的、以被动听讲和练习为主的方式，它应该是一个充满学生生命力的过程。而合作学习作为一种有效学习策略的实施正是符号新课程的精神，即让学生在教师的指导下，通过自主、探究、实践、合作、交流、倾听、质疑、分享等方式，认识数学，解决问题，理解和掌握基本的数学知识、技能和方法，实现数学教学目标，感受成功的喜悦。合作交流是学生学习数学的重要方式之一，其意义和价值已经被很多老师所接受。但怎样摈弃形式主义，充分发挥合作交流的效应，仍是小学数学教学改革所关注的热点和难点问题。不能为了合作而合作，一味地强调小组合作，而丧失独立思考、自主探索的学习能力，缺少对求知事物的猜想、试探与验证等心理发展过程。
因此，本课教学目标，一是使学生知道除法的含义，知道把一个数平均分成几份，求一份是多少用除法计算。二是使学生初步学会除法算式的读法和写法。教学重点是使学生知道除法的含义，初步学会除法算式的读写法。教学难点是帮助学生建立除法的概念，理解除法的含义。
教学案例
学生被分为6人一小组，每人手上有6根小棒。
A教学：
师：大家手上都有6根小棒。平均分成3份，每份是多少呢？
生动手操作。
师：好！把刚才操作的过程在小组中交流一下。
B教学：
师：大家手上都有一些小棒，试着按要求进行平均分操作。要求是：平均分成1份，2份，3份，4份，5份，6份，并且不能损坏小棒。看哪组最迅速。
学生开始分。有的很快地分好，有的开始小声议论。
师：有困难吗？
生1：平均分成4份不好分。
生2：平均分成5份也不好分。
师：是啊！有的多，有的少，不是平均分。最好怎么办呢？
（生……）
师：好！同组内的小棒可以相互借调。再试试看。
（生活动。）
师：哪个小组愿意来交流一下，你们的4份是怎么平均分的？
案例评析
学生是由于需要而主动地合作交流，还是被老师安排去合作交流，两种心态会产生不同的效果。怎样激发学生合作交流的积极主动性？有两点值得我们去关注：
（1）让问题更具有思考性和探索性。数学教学中的合作交流不能等同于日常随意性的谈话，它应具有一定的学习目标的指向性，是为解决某个具体的问题而进行的合作与交流。因此，教学中要不断地让学生产生思维的困惑，让他们在思维的压力下，主动地想到与别人的合作与交流。案例的A教学中，把6根小棒平均分成3份，只有1种分法，让他们交流什么呢？只会不断地重复。而要把6根小棒平均分成4份、5份，却是个伤脑筋的事。老师建议重新调剂，怎样调剂呢？小组成员之间必然要交流和合作。特别是平均分成4份，需要另一个人全部拿出，或者有4人拿出一根，剩下一位同学拿出2根，其间的讨论一定会热烈。“方便别人，也就方便了自己”，在这里不是很好地得到了体现吗！
（2）以组间竞争促组内合作。竞争和合作并不是一对相互排斥的概念，而是可以相互促进的。培养学生的合作意识、集体观念，可以通过竞争的机制去增强学生对集体的责任感和荣誉感，即用外部的压力去促进内部的团结。案例的B教学，引进了小组之间的竞争机制，这样就会促使小组成员之间主动地采取分工合作的方式，而无需再由老师去安排合作，组织交流。试想，在案例的B教学中，如果老师说的是“看哪位同学最快？”，他们之间的合作交流状况将会如何呢？所以在小组学习后全班交流的时候，老师关注的一定要是小组的整体意见而非个人，评判也应以小组为单位。
选题三 九年制义务教育（人教版）第五册“角的初步认识”
教材分析
“角的初步认识”是人教版义务教育课程标准实验教科书二年级上册第三单元第一节内容。在学习本单元内容之前学生已经初步认识了长方形、正方形、三角形，正是有了这些已有知识和感性经验作基础，所以在整个教学环节中设计了诸多放手让学生在操作中做数学的环节，真正做到了让学生在眼看、耳听、手动、脑想、口说中学习知识，发展思维。
新课程理念强调：“人人在数学学习中有成功的体验，人人都得到发展。”数学知识、数学思想和方法必须由学生在现实的数学实践活动中理解和发展。让学生从生活经验和客观事实出发，为学生提供充分的从事数学活动和交流的机会，促使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验，使学生的主体意识、能动性和创造性不断发展。课堂教学是学生获取数学知识的主要途径，课内的有些内容也可以放手让学生到课外去完成。适时地组织课外合作交流活动，实现对课堂教学的补充和延伸，学生同样可以获得丰富的数学知识，从而巩固数学知识，发展能力，培养创新思维。
1.让学生结合实际生活情景和亲历操作活动来认识角，知道角的各部分的名称，知道一个角由一个顶点和两条边组成，初步学会用尺画角的方法。
2.通过观察实物并从中抽象出角，使学生经历数学知识抽象的过程，感受到数学知识的现实性，学会从数学的角度去观察、分析现实问题，从而激发学生探索数学的兴趣。
3.通过折一折、做一做等活动，使学生对角有些感性认识，知道什么样的图形是角。
4.让学生知道画一个角的方法：从一个点起，用尺子向不同的方向画两条直直的线，就画成一个角。
5.知道角的大小与角的两边的长短没有关系，与两边叉开的大小有关。
教学片段
课始。
A教学：
师：同学们，大家知道，这是什么图形吗？
生：是角。
师：真好！在生活中哪些地方有角呢？
生：……
B教学：
师：同学们，咱们今天一起研究角的有关知识。我知道，几天前，每个小组都进行了有关角的资料的收集，并进行了一定的整理。现在用你们喜爱的方式来交流一下，好吗？
各个小组代表开始交流。
案例评析
一节课中究竟安排几次小组学习为宜呢？我们经常这样讨论着。细细分析这种讨论，它其实是把合作交流局限在教学环节之上。试想，一节课都让学生在小组内合作交流，又有何妨呢？下节课再整理归纳就是了！打破知识的分割，建立一种大的课程观和教学观，我们完全可以在课堂内探索更大时空的合作与交流。同时，合作交流不能仅仅限于课内，学习小组不能是课内像集体，课外如“散兵”。课外的合作交流，更能发挥学生的积极性，更能调动他们的集体荣誉感。让我们从整体着眼，从形成氛围和培养习惯入手，积极地将学生学习数学的过程变成一种师生不断“对话”与“协作”的过程，让合作交流的学习方式发挥出它更大的效应。
选题四 九年制义务教育（人教版）一年级下册“两位数加一位数进位加法”
教材分析
“两位数加一位数（进位加法）”是人教版小学数学教材一年级下期第六单元，100以内的加法和减法（二）里面的内容。本单元是全册教材的重点内容之一，这部分内容是今后学习“万以内的进位加法”和“四则混合运算”的重要基础。
本节课的内容是在孩子们掌握了“20以内进位加法”和“100以内不进位加法”的基础上学习的。而两位数加一位数（进位加法）既注重了口算，又继续介绍竖式计算，体现了计算方式和方法的多样化。教学目标可归纳为：
（1）以“数位”、“计数单位”、“进率”等概念为核心，通过小组合作学习，使学生理解算理，学会口算两位数加一位数的进位加法的口算方法。掌握两位数加一位数进位加法的口算方法，并能正确地进行口算。
（2）通过操作理解两位数加一位数进位加法的算理，培养学生自主探索、自己学习的能力。
（3）能用进位加法计算解决实际问题。
教学重点是掌握算法、理解算理。教学难点是理解为什么要向十位进一。
教学思考
新课改全面铺开以来，数学课程标准提出的“教学中应尊重每一个学生的个性特征，允许不同的学生从不同的角度认识问题，采用不同的方式表达自己的想法，用不同的知识与方法解决问题”这一理念在越来越多的课堂上得以体现。课堂提问是教师促进学生进行思维，推动学生实现预期目标的基本控制手段。可以肯定地说，教师都把课堂提问当做他们教学环节中的主要部分。因此，课堂提问的有效性直接决定着课堂教学的质量和水平。那么，如何提高课堂提问的有效性呢？
教学片断一：开放式提问
A教学：
师：你们能根据以上信息提一些数学问题吗？
生：×比×多几本？
师：好的，还有吗？
生：×比×多几本？
师：还有不同的提法吗？
生：×、×、×、×一共多少本？
师：两个相加的问题还能提吗？
生：×和×一共多少本？（得出要解决的问题）
B教学：
（创设情境后）
师：你们能根据以上信息提一些数学问题吗？
生：×比×多几本？
师：还是这两本书，你能提一个加法问题吗？
生：×和×一共多少本？（得出要解决的问题）
师：像这样的问题，你还能再提吗？
生：……
师：这个问题同学们能解答吗？
案例评析
1.在案例A中，以一句“还有吗？”来要求学生进一步思考，学生的回答基本限于第一位同学的思路而作简单的复制。造成以上现象的原因是：教师引导没有到位，语言单一；没有及时引导；没有及时利用课堂上生成的资源。
2.在案例B中，教师根据学生的回答，及时引导，要求能否用同样的条件，提出不同的问题，这样就促使学生从另一个角度进行思考，避免思维的简单复制。从课堂教学的进程来看，案例B比较快地切入到两位数的算法研究，从而避免了案例A中学生看似反应热烈，实质却迟迟进不了课堂主题，学生的思维也往往在同一个层次作简单重复的现象。
3.课堂是让学生自己提问题，但不能完全放任学生，在这个过程中老师要适时介入，把握时机，当问则问，并注意实效性。
选题五 九年制义务教育（人教版）三年级上册“二位数除一位数的笔算除法”
教学思考
教学过程是学生自主建构与教师价值引领相统一的过程，解决课堂教学有效性问题的关键就在于既要真正体现学生的主动性，又要努力发挥好教师的引领作用。教师的正确引领是保证学生学习方向性和有效性的重要前提。
教学案例A：
1.呈现例题：计算48÷4
2.教师提问：这个问题如果要你用笔算，你会怎样算？
3.学生自主活动。（几分钟后，还没有学生找到基本方法）
4.教师并没有介入，而是组织学生小组讨论。（几分钟后，还没有学生找到基本方法）
5.教师不得不自己讲授基本的计算方法。
教学案例B：
1.呈现例题：计算48÷4
2.学生自主活动：用小棒代替桃子，分一分，并交流结果。
3.结合直观操作的过程及学生已有知识让学生口算。
4.结合口算过程，教师讲授用竖式计算的方法。
案例评价
1.案例A中学生的自主活动和小组讨论都是缺乏引导的。对于除法的笔算，从形式上分析，与加、减、乘三种运算的笔算过程有很大不同，学生如果没有自学过课本，一般不会想到，原有的加、减、乘三种运算的笔算经验只会带来负迁移。对于一种全新的知识，由于教师没有给予适当的引导或讲授，所以学生碰到困难是很自然的。
2.案例B：教师引导学生认识二位数除一位数过程中，先组织操作，形成的认识成为后续学生的“生长点”。当让学生能用口算表示方法时，教师介绍竖式计算，水到渠成。
3.数学活动是学生经历数学化过程的活动，是学生自己建构数学知识的活动，这个过程是学生从已有的数学现实出发，经过自己的思考，得出有关结论的过程。在解决数学问题时，教师应遵循认知规律，引领学生展开“具体→半具体半抽象→抽象”的概括式学习过程。
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