哲学就写在这本伟大的宇宙之书中，它永远敞开，充盈着我们的视线。然而，在你理解书中的语言和符号之前，你不可能理解它。这本书是用数学语言写就的，它的符号就是三角形和圆形等几何形状。如果没有这些符号，人类就完全无法理解书中的字句，并将会永远迷失于黑暗的迷宫中。
伽利略
《试金者》（The Assayer，1623）
自然科学中的数学具有难以解释的有效性，这一事实近乎神秘……简直无法解释。
尤金·维格纳，1960
哇！那是普林斯顿一个周五的早晨，我好不容易读完了邮箱里的所有邮件，主题包括一本书的写作计划、一台坏了的烤箱和一个关于“量子自杀”的争论。此时，我在收件箱里发现了一封珍宝般的邮件，发件人是我认识的一位资深教授。
看到这封邮件，我就像被泼了一盆冷水。这是一个重大的时刻，再一次刷新了我的个人纪录。我把这封邮件抄送给我父亲——他曾极大地鼓励我对科学的热爱，我父亲的回信引用了但丁的一句话：“Segui il tuo corso et lascia dir le genti！”这是一句意大利语，意思是：“走自己的路，让别人说去吧！”
我发现，尽管我们口头上经常说要跳出思想的藩篱，要敢于挑战权威，但事实上，物理学领域墨守成规的现象相当严重。早在研究生期间，我就敏锐地注意到了这种现象。比如，爱因斯坦革命性的相对论从未得过诺贝尔奖[44]，他本人也拒绝接受弗里德曼关于膨胀宇宙的发现，而埃弗雷特甚至在物理学领域找不到工作。也就是说，许多我迫切希望自己也能发现的重要理论，都曾被领域内的人们无情地忽视或拒绝。所以，我在研究生期间曾面临着一个两难的选择：我爱上物理学的原因正是因为我深深地着迷于那些宏大的问题，然而很明显，假如我一直追随自己的内心，那我的下一份工作恐怕就是去麦当劳了。
在爱好和职业之间，我不想只选其一。所以我暗中决定采用一种秘密策略，让我可以兼得熊掌与鱼。后来事实证明，这个策略竟然运转得很成功。我把它称为我的“杰克博士与海德先生策略”[45]，它的目标是一个社会学漏洞。1600年，布鲁诺因坚持自己的观点（所谓的“异端邪说”，比如空间是无限的）而被活活烧死；伽利略因声称地球围着太阳转而被判终身监禁，而今天的裁决则更加温和一些。如果你对一些听起来很哲学化的宏大问题感兴趣，大多数物理学家对待你的态度就好像你沉溺于电子游戏一样——下班后的事是你自己的事，别人管不着，但是请不要在白天的工作中分心去思考这些问题，也不要在上班时间讨论这些话题。所以，每当权威人士询问我在研究什么时，我就变身为受人尊敬的“杰克博士”，告诉他们我正在研究宇宙学领域的主流话题，比如第3章提到的那些，涉及大量的测量和数字，诸如此类。但是私底下，在没人注意的时候，我就变身为“邪恶的海德先生”，着手于我真正想做的事情——追寻实在的终极本质，正如第5章和第7章以及本书接下来要讨论的大部分内容。
为了消除顾虑，我还在个人网站上宣传自己的“业余爱好”，打趣说我每写10篇主流论文，就允许自己沉浸到一篇“古怪”的论文中。这很方便，因为我是唯一一个在心里默数着这些数字的人……当我从伯克利毕业时，我已经发表了8篇论文，但其中有4篇都是“海德先生”写的，所以我在我的博士论文中省略了这部分内容。我真的很喜欢我在伯克利的研究生导师乔·西尔克，但是为了安全起见，每次我打印“海德先生”的论文时，都要先确保他不在打印机附近，并且直到他在我的博士论文上签字后，我才给他看了那些论文[46]……我越来越无法摆脱这种策略：每当我申请工作和研究经费时，我就只提及“杰克博士”的论文；在业余时间，我一直对宏大的问题做着自己的研究。正是这些研究让我“引火上身”——与布鲁诺身上的火不同，这是一把蛮好的火。
这种双重人格式的策略取得了超乎想象的结果。我非常欣慰自己能在一所拥有杰出同事和优秀学生的大学里工作，也不用付出中断我最大兴趣的代价。但是现在，我觉得我亏欠科学界太多太多，到了我回馈的时候了！如果我们想象一下，在一个虚拟的空间里，所有研究课题在我们面前排列好，有一条边界线可以区分出哪些课题属于主流物理学、哪些不是（见图9-1）。这条边界线有一个神奇的性质——它在不停地变形！在某些地方它收缩了，比如，炼金术和占星术走下了主流的舞台；而在另外一些地方它发生了膨胀，对学科进行了重新分类，比如，相对论和疾病微生物学从高度推测性的少数观点变成了主流科学。一直以来我都相信，一定有一些额外的课题可供物理学家发挥长处，尽管这些课题一开始听起来很哲学化。我已经蛰伏太久了，不能再为自己找借口。我感到，我对年轻科学家肩负着一种道义上的责任，我要帮助他们从学术的狭龛中召唤出内心的“海德先生”，帮助他们将科学的边界往外推进一点点。这就是我和安东尼·阿吉雷成立基本问题研究所（我在第7章提到过这个研究所）的初衷，也正是我写这本书的原因。
图9-1 主流科学的边界在不断变化。
那么，究竟是哪一篇论文招来了那封暗示我“停下来，否则你将自毁前程”的邮件呢？到底是什么话题，超出了图9-1所描绘的当代主流科学的边界，以至于那位教授觉得需要把我拉回来呢？那篇论文的主题，也正是本书的中心思想，那就是，我们的宇宙是一个巨大的数学对象。在这一章中，我们将开始探索这片神秘的疆域。
生命、宇宙和万物的终极问题的答案究竟是什么？道格拉斯·亚当斯在科幻小说《银河系漫游指南》中曾这样追问，他给出的答案是42；最困难的部分原来是找到真正的问题。实际上，我们那些问个不休的祖先们无疑也问过同样宏大的问题，但随着他们知识的增长，他们对“万物理论”的追寻在逐渐演化。当古希腊人不再寄希望于神话传说，而是精心建立起太阳系的机械模型时，从那时起，他们追问的重点就从“为什么”转向了“如何做”。
从那时起，我们提出的问题在某些领域变少了，但在另一些领域却如雨后春笋般不断涌现，图9-1清楚地描绘了这一点。一些问题被放弃是因为太过天真或误入歧途，比如，文艺复兴时期流行从第一原理来解释行星轨道的尺度。同样的事情可能也会发生在目前十分流行的理论上。比如，宇宙中暗能量总量的预测值——如果我们最终发现，周边区域的暗能量数量只是历史偶然事件的话，那些预测值就必须推倒重来（我们在第5章探讨过这个话题）。我们回答这些问题的能力也早已超过了祖辈们最大胆的预期：牛顿如果知道我们能以1%的误差测算出宇宙的年龄，还能领悟微观世界的秘密从而制造出iPhone，那他一定大为惊讶。
我发现，道格拉斯·亚当斯对数字“42”的戏谑其实十分恰当。因为，在人类取得的种种成就中，数学扮演了不可或缺的角色[47]。宇宙从某种意义上说是数学的，这种观念可以追溯到古希腊的毕达哥拉斯，并在物理学家和哲学家的争论中延续了千百年。17世纪时，伽利略说过一句著名的话，将我们的宇宙比喻成一本用数学语言撰写而成的伟大之书。而在近代，20世纪60年代期间，诺贝尔物理学奖得主尤金·维格纳认为“自然科学中的数学具有难以解释的有效性”，是一个亟待解决的问题。
形状、模式与公式
接下来，我们即将探索一个真正的终极解释。不过首先，我们需要澄清一下我们要解释的对象究竟是什么。请放下这本书，看看四周。我们要谈论的数学公式到底在哪里呢？数学难道不就是数字吗？你也许会在某些地方看见一两个数字，比如这本书的页码，但是，数字其实只是人类发明出来可供印刷和书写的符号，所以它们很难深邃地反映宇宙的数学性。
由于教育系统的灌输，许多人把数学等同于算术。然而，数学早已演化得大不一样了，它可以用来探讨诸如物理学这样更加精深的问题。比如，伽利略曾说，几何图形（如圆形和三角形）是数学化的，那么当你环顾四周时，你有没有看到一些几何形状或者模式呢？不过需要强调的是，人类设计的东西不算，比如长方形的书籍。但是，请观察一颗小石子被扔出后的轨迹，大自然为它勾勒出了一条多么美丽的线条！伽利略发现了一件了不起的事（见图9-2）：不管你扔出什么东西，它们的轨迹都是一样的，这条轨迹被称为“下开口的抛物线”。此外，抛物线的形状可以用一个非常简单的数学公式来描述：y=x2，其中x代表水平位置，y代表垂直位置（也就是高度）。根据初始速度和方向不同，抛物线可以在水平或垂直方向上任意拉伸，但它永远是抛物线。
图9-2 当你向空中抛出某物时，在它撞到某物之前，其运动轨迹的形状总是完全一样，即“下开口的抛物线”（这里忽略了空气阻力）。
当我们观察太空中物体的运动轨迹时，我们发现了另一个重复出现的形状——椭圆形（见图9-3）。方程x2+y2=1描述了一个正圆形上的点，简单来说，椭圆形就是被拉伸的正圆形。根据初始速度、方向和它所围绕的物体质量的不同，轨道的形状也会发生变化，或被拉伸，或被倾斜，但它永远是椭圆形。此外，椭圆形和抛物线这两种形状还有联系：每个被拉伸的椭圆形的一端与某个抛物线都几乎完全相同，所以实际上，所有的运动轨迹都是椭圆形的一部分[48]。
图9-3 当一个物体因为万有引力而绕着另一个物体旋转时，它的轨迹永远拥有相同的形状——椭圆形。简单来说，椭圆形就是将圆形在某一个方向上进行拉伸（这里不考虑摩擦力，也忽略了爱因斯坦对牛顿引力理论的修正，因为该效应极其微小，除非靠近一个黑洞）。物体可能千差万别，但它们的轨迹都是椭圆形。比如，一颗彗星绕着太阳旋转（左图），一颗白矮星的残骸围绕着夜空中最亮的天狼星A旋转（中图），一颗恒星绕着银河系中心的超级黑洞旋转（右图），这颗黑洞的质量比我们的太阳大400万倍。（图片来源：右图由莱因哈德·甘泽尔[Reinhard Genzel]和莱纳·薛德尔[Rainer Sch del]提供）
在历史的长河中，人类又渐渐在自然界中发现了更多重复出现的形状和模式，不仅涉及运动和引力，还涉及许多不同的领域，比如电、磁、光、热、化学、放射性和亚原子等。我们对这些模式的总结被称为“物理定律”。就像椭圆形的轨迹一样，所有定律都可以用数学公式来描述（见图9-4）。这是为什么呢？
数字，物理实在的基本性质
公式并不是大自然由数学构成的唯一线索——还有数字。与人类造物中的数字（比如本书的总页数）不同，我所谈论的数字是指物理实在的某些基本性质。比如，拿出几支铅笔，把它们两两垂直（也就是相互成90°）地摆在一起，总共能摆出几支铅笔？答案是3支。比如，你可以把它们摆放在你房间的一个角上。那么，3这个数字从何而来呢？我们把这个数字叫作我们空间的维度。
图9-4 正如诗歌和艺术作品能从少数符号中表达出深刻的内涵一样，物理学公式也同样如此。从左到右，从上到下，这些杰作描述了电磁学、近光速运动、引力、量子力学和膨胀宇宙。我们尚未找到一个可以描绘万物的统一方程。
可是，为什么维度是3，而不是2或者42呢？为什么在我们的宇宙中总共有6种夸克（至少目前来看）？我们在第6章看到，还有一些额外的整数，构筑入了大自然的本质，描述了基本粒子的种类。
这还不够。在大自然的内核中，还有许多非整数，需要小数点才能写出来。我最近数了一下，大自然内部总共编码了32种基本数字。你站在体重秤上显示的数字算吗？不算。因为它测量的是一个每天都在变化的东西（你的质量），所以它不能代表宇宙的基本性质。那么，质子的质量（1.672 622×10-27kg）算吗？电子的质量（9.109 382×10-31kg）呢？这两个数字看起来完全不随时间变化。但是，它们也不算，因为它们是用千克数来测量的，而千克只是人类随意杜撰出来的一个质量单位。但是，如果你用这两个数中的其中一个去除另一个，你就会得到一个真正基本的数字——质子质量是电子质量的1 836.152 67倍[49]。1 836.152 67是一个纯数，就像π和一样，因为它们都不涉及人类创造的各种量纲（如千克、米、秒或伏特）。为什么它会如此接近1 836？为什么不是2 013或者42？我们并不知道个中缘由。但我们认为，我们从理论上可以计算出这个数字，也可以从表9-1中列出的32个数字中，计算出大自然的其他基本常数。
表9-1 大自然中32个基本参数
注：人类曾测量过的大自然的每个基本性质都能从表中的32个数中计算出来——至少理论上可以。其中一些数的测量值已经非常精确，还有一些尚未在实验中得到。这些数字的具体含义与我们的讨论无关。可是，到底是什么决定了这些数字呢？
表9-1中所列数字的具体含义可以从作者的一篇论文中找到答案。扫码获取作者的这篇论文。
表9-1中的数字都有着吓人的名字，不用担心，这与我们要讨论的事情没有关系。我想强调的一点是，从中可以看出，我们的宇宙有着某些非常数学化的性质。我们看得越仔细，就越能发现更多的数学。关于自然界的常数，综观物理学的每个领域，可以得到成百上千个纯数，从基本粒子质量的比值，到不同分子发出的光波长的比值等。运用强大的计算机来求解那些描述自然规律的方程，我们会发现，似乎每一个数都可以从表9-1的32个数字中计算出来。有一些计算和测量太过复杂，目前还没有人能完成。也许到它们完成之时，一些小数并不能在理论与实践之间完美地吻合。这样的矛盾在过去发生过无数次，解决的途径一般有三种：
●有人发现实验出错了。
●有人发现计算出错了。
●有人发现物理定律出错了。
在第三种情况下，人们通常会摒弃之前的定律，从而发现一个更加基本的物理定律，就像爱因斯坦的理论取代了牛顿的引力方程，并解释了水星绕太阳运动的轨迹并不是完美的椭圆形一样。不管是哪种情况，都进一步加深了“自然界一定有什么东西是数学化的”这一印象。
现在，表9-1中总共有32个参数。在未来，如果你发现了一个更加精确的物理定律，那么，表9-1中的参数数量可能会减少，也可能会增加。如果根据你的物理定律，其中某些数字可以由其他数字计算出来，那参数数量就可能减少。但如果日内瓦的大型强子对撞机发现了某些新粒子，那它的质量也可能为表9-1增添一些新成员。
更多线索：上帝是数学家吗
那么，通过物理世界的数学线索，我们了解了什么呢？大多数物理学家都认为，这意味着，出于某种原因，大自然可以由数学来描述（至少近似的），仅此而已。天体物理学家马里奥·利维奥（Mario Livio）在他的著作《上帝是数学家吗？》（Is God a Mathematician?）k中总结道：“科学家们选择了那些可用数学方法检验的问题来进行研究。”但是，我相信一切不止于此。
首先，为什么数学可以如此完美地描述大自然？我赞同维格纳，认为这需要一个解释。其次，纵观本书，我们已经遇到了许多线索，暗示着大自然不仅能用数学来描述，它本身的某些方面就是数学。
●在第1章，我们看到了物理世界的基本结构——空间自身。从内禀性质的意义上说，空间是一个纯粹的数学对象，因为它唯一的内禀性质就是数学性质——数字，比如维度、曲率和拓扑性。
●在第6章，我们看到了物理世界的所有“物体”都是由基本粒子构成的。从内禀性质的意义上说，基本粒子也是纯粹的数学对象，因为它们唯一的内禀性质都是数学性质，即表6-2所列出的那些数字，比如电荷、自旋和轻子数。
●在第7章中，我们看到了某种尚有争议的，比三维空间及其内部的基本粒子更加基本的东西——波函数及其栖身的无限维度的希尔伯特空间。粒子可以被创生，也可以被消亡，还可以同时处在几个不同的位置。但是，不管过去、现在还是将来，波函数都只有一个，它在希尔伯特空间中循着薛定谔方程决定的路径运动着，而波函数和希尔伯特空间都是纯粹的数学对象。
这一切都意味着什么？现在，请听听我的想法。我的理论是否比那位警告我前途将毁的教授更有说服力呢？留给你自己来判断。
在研究生期间，我深深着迷于这些数学线索。1990年的一个夜晚，在加州大学伯克利分校，我和好友比尔·波里尔（Bill Poirier）正坐着聊天，探讨着实在的终极性质。突然间，我脑中冒出一个想法：从某种意义上说，我们的实在并不只是被数学所描述，它本身就是数学。并且，它不仅某些方面是数学，它的全部都是数学，包括你在内[50]。这个想法听起来十分疯狂，有些勉强。在我把这个想法告诉比尔之后，就像小火炖肉一样酝酿了好多年，我才写下了与之有关的第一篇论文。
外部实在假说
存在着一个完全独立于人类的外部物理实在。
在探讨细节之前，我先向你介绍一下我的逻辑框架。首先，有两个假说，其中一个听起来无伤大雅，另一个则似乎很激进。然后，我的论证是：从“数学结构”充分广义的定义上来说，前者能推出后者。
数学宇宙假说
我们的外部物理实在是一个数学结构。
我的第一个“外部实在假说”争议并不大。大多数物理学家都赞成这个由来已久的观念，尽管它仍有争议。形而上的唯我论者会竭尽全力地否定它；哥本哈根诠释的支持者也拒绝这个假说，他们认为实在不能独立于观察存在，没有观察就没有实在。假设真的存在一个外部实在，物理学理论理应尽可能全面地描述它。而我们最成功的理论，比如广义相对论和量子力学都只能描述实在的一部分——引力或亚原子粒子的行为。然而，理论物理学界竞相追逐的圣杯就是一个“万物理论”——对物理实在的完整描述。
减轻人造包袱，回归纯粹
我个人对万物理论的追寻始于一个极端的观点：如果我们假设，实在的存在是独立于人类之外的，那么，为了进行完整的描述，它必须还能被那些完全不理解人类概念的非人实体很好地定义，比如外星人、超级计算机等。换句话说，这种描述可以用某种形式来表达，而这种形式不能是人类创造的“包袱”，比如不能有“粒子”“观察”等人类创造的词语。
然而，我在大学里教的所有物理理论都由两个部分组成：数学公式和“包袱”——“包袱”指的是那些用来解释的语句，描述公式如何与我们的观察和直观理解相联系。当我们对理论进行推导时，会为它们引入新的概念和词语，比如“质子”“原子”“分子”“细胞”“恒星”，因为这很便利。但是我们必须牢记，这些词语只是人类创造出来的概念。从本质上说，万物在去掉“包袱”后依然是可计算的。一台假想的理想超级计算机能在忽略人类的基础上，计算出我们的宇宙随时间如何变化，它只用简单计算出所有粒子的运动状态或者波函数的变化趋势。
比如，假设图9-2中的篮球轨迹是一记优美的绝杀，注定你将赢得这场比赛。赛后，你想向朋友描述它的样子。由于篮球是由基本粒子（夸克和电子）组成的，本质上说，你描述它的运动状态时可以丝毫不用提及“篮球”。比如，你可以像下面这样说：
●第1个粒子以抛物线运动。
●第2个粒子以抛物线运动。
●……
●第138 314 159 265 358 979 323 846 264个粒子以抛物线运动。
不过，这稍微有点不方便，因为说完所有的粒子需要花上比宇宙年龄还长的时间。而且，这么做也很多余，因为所有粒子都黏附在一起，以一个整体运动。所以人类发明了一个词叫“篮球”来指代这个整体，让我们可以一次性描述整体的运动状态，节省了大量的时间。
篮球是人类设计出来的，但它也与许多非人造的自然物体（比如分子、石头和恒星）有很多相似之处。人类发明词语是为了便利，这体现在两个方面，一是节省时间，二是提供概念或所谓的简化符号，以便能更直观地理解这个世界。尽管这些词语很有用，但它们都是可扔掉的“包袱”。比如，我在本书中多次使用“恒星”这个词，但从本质上说，每次这个词出现时，你都可以将其替换成它的组成定义，比如你可以把“恒星”替换为“由万有引力束缚的一堆物质，包含1057个原子，其中一些原子正在进行核聚变”。也就是说，自然界中有许多实体都需要命名。当然，地球上几乎每个人类文明在自己的语言中都有一个与“恒星”对应的词，这个词是独立发明出来的，反映出自身的文化和语言传统。我猜，大多数居住在遥远恒星系的外星文明一定也发明出了代表“恒星”的名字或符号，即便他们根本不使用声音作为交流手段。
还有一个惊人的事实是，你可以在数学上预言这些值得命名的实体的存在，只要你知道支配它们各个部件的公式。换句话说，第6章中讨论过的乐高积木般的金字塔结构——从基本粒子到原子和分子，都是可预测的，我们人类所做的事情只是给每层中的物体起一个吸人眼球的名字。
比如，如果你用5个或更少的夸克求解出了薛定谔方程，并发现只有两种稳定的排列方式——2个上夸克和1个下夸克组成一团，或者2个下夸克和1个上夸克组成一团，于是为了方便起见，人类就给这两种团簇物质添加了“包袱”，将它们分别命名为“质子”和“中子”。同样，如果你把薛定谔方程代入这些团簇中，你会发现总共257种稳定的聚集方式。人类也为其添加了“包袱”，把这些质子/中子的聚集团统称为“原子核”，并给每种团簇都起了名字：氢、氦……薛定谔方程还可以让你计算出如何把原子组装成更大的物体，不过这一次，稳定的状态非常之多，如果要全部命名会很不方便——于是，我们只命名了那些重要的级别（比如“分子”“晶体”）以及每个级别中最常见或最有趣的物体（比如“水”“石墨”“钻石”）。
我认为，这些复合物体是自然显现出来的，因为它们作为某些方程的解显现出来，而这些方程中只包含更加基本的物体。这种显现过程十分微妙，很容易被忽略，因为从历史的角度看，科学进展通常是沿相反的顺序发生的。比如，人类知道太阳的存在后，才意识到它们是由原子组成的；我们知道原子的存在后，才发现它们是由电子、质子和中子组成的；我们知道中子的存在后，才发现它们是由夸克组成的。每一个对人类而言十分重要的显现之物，我们都用新概念为其创造出了新的“包袱”。
图9-5中可以看到同样的“人造包袱”的浮现过程。这里，我绘制了一幅粗糙的图画，将科学理论组织成一张谱系图，其中的每一个理论从本质上说都能从更加基本的理论中推演而出。正如我们之前所提到的那样，每个理论都包含两部分——数学部分和文字部分，后者用以解释它们是如何与我们的观察相联系的。比如，我们在第7章中看到了量子力学在教科书中的两部分：数学部分（比如薛定谔方程）以及用平实的语言写就的基本假定（比如波函数坍缩的假设）。理论金字塔中的每一层都引入了新概念（比如“质子”“原子”“细胞”“生物”“文化”），因为它们使用起来很方便，抓住了本质，而不用再求助于上层更基本的理论。人类为它们引入了概念和文字——从本质上说，万物都可以从谱系图最顶端的基本原理推演出来，尽管从实践来说，这种极端的还原论方法通常并没有什么用。大致来说，沿着谱系图向下移动，文字部分会越来越冗长，而方程的数量则会不断减少，在某些高度应用化的领域（如医药学和社会学），方程的数量甚至会降为零。相比之下，靠近顶端的理论都是高度数学化的，物理学家们仍在苦苦追寻，试图以我们可以读懂的形式来理解那些概念——如果有的话。
物理学的圣杯就是找到那个被打趣地称为“万物理论”的东西。万物理论又被称为ToE（Theory of Everything），从它可以推知一切——它将取代谱系图顶端大大的问号。第6章中我们曾讨论过，我们知道某处缺失了一环——能将万有引力和量子力学统一起来的环节。而这个万物理论则可以完整地描述外部实在假说所假定的外部物理实在。在本节开头，我曾声称这样的完整描述必须剔除人类创造的“包袱”。这意味着它将不包含任何概念！也就是说它是一个纯粹的数学理论，不需要任何像量子力学教科书那样的解释或“假定”（数学家们完全可以研究那些缺乏任何内禀含义，或与物理概念毫无关联的抽象数学结构——他们也常引以为傲）。
图9-5 所有的理论组织起来，都可以放入上面这个谱系图中。从理论上说，本图中每个理论都可以由在它之上的更加基本的理论推演出来。比如，狭义相对论可以由广义相对论近似地推出（假设牛顿万有引力常数G等于0）；经典力学可以由广义相对论近似地推出（假设光速c为无限大）；流体力学及其各种概念如密度和压力，可以由经典力学中关于粒子如何相撞的理论推出。这些推演关系在图中用箭头符号来表示。然而，只有少部分箭头能被人们很好地理解。比如，要从化学推出生物学或从生物学推出心理学，在实践中很难实现。因为这些理论中，只有少部分和近似计算的某些方面是数学化的。目前物理学中发现的所有数学模型似乎都是对物理实在的有限方面的近似模拟。
当然了，一位极其聪明的数学家一定可以仅从这些公式就推知图9-5中的整个理论谱系图，只要通过推演出公式所描述的物理实在及其内部居民的性质、居民对世界的认知，甚至他们发明的语言，就可以实现。这个纯粹的万物数学理论可能非常简单，简单到足以印在T恤衫上。
这一切引出了一个问题：是否真能找到一个不涉及任何“包袱”的外部实在的完整描述？如果有，这个外部实在中的物体及其相互关系的描述必须是完全抽象的，迫使所有语言和符号都只是标签，不具备任何事先规定的意义。相比之下，这些实体仅有的性质都是由它们之间的关系所呈现出来的。
万物理论描述的外部实在，正是一个数学结构
要回答上述问题，我们需要再进一步研究一下数学。对一个现代逻辑学家来说，数学结构的精确定义是：一组相互联系的抽象实体，比如整数或几何图形，比如毕达哥拉斯最喜欢的十二面体。这与我们大多数人对数学的认知形成了鲜明的对比——在许多人看来，数学要么是一种虐待狂式的惩罚，要么是一个操控数字的魔法袋子。与物理学一样，数学的发展也追问着更广泛的问题。
现代数学研究的是纯抽象方式定义的结构，无须任何“人造包袱”。想想那些不具任何内禀意义、仅作为标签的数学符号吧！你写成任何形式都没有关系：“2加2等于4”“2+2=4”“Dos más dos es igual a cuatro”[51]。用什么符号来代表这些实体及其相互关系，是无关紧要的。整数仅有的性质是由它们之间的关系所呈现出来的。也就是说，数学结构并不是人类发明出来的——我们只是发现了它们，并发明了用来描述它们的符号。千万不要混淆（我们发明的）数学语言和（我们发现的）数学结构。如果一个外星文明对每面平坦且全等的三维形状感兴趣，他们可能会发现图6-2中的5个被地球人叫作“柏拉图多面体”的形状。他们可以为它们随意起一些具有异“星”风情的名字，但是他们却无法任意创造出第6个形状——因为它根本不存在。正因如此，现代物理学中流行的数学结构，从3+1维的伪黎曼流形（pseudo-Riemannian manifolds）到希尔伯特空间，都是被我们发现而非发明出来的。
总而言之，上面的讨论可以总结为以下两个关键点：
●外部实在假说意味着，“万物理论”（外部物理实在的完整描述）没有任何“包袱”。
●一个不带任何“包袱”的描述，正是一个数学结构。
这两条关键点恰恰证明了数学宇宙假说，即被万物理论所描述的外部物理实在，就是一个数学结构[52]。结果就是，如果你相信我们的外部实在是独立于人类存在的，那么你也必须相信我们的物理实在是一个数学结构。只有它才是不含“包袱”的。也就是说，我们都栖身在一个巨大的数学对象中，它比正十二面体还要精致优雅，可能比卡拉比-丘流形（Calabi-Yau manifolds）、张量丛（tensor bundles）和希尔伯特空间等拥有吓人专业名字的最前沿物理学概念更加错综复杂。我们宇宙中的万事万物，都是纯粹的数学——包括你在内。
“等一等！”每当一个物理学理论或主张提出一些亟待解决的问题时，我的好友贾斯汀·本迪斯就会这样喊道。而数学宇宙假说则提出了三个此类问题：
●到底什么是数学结构？
●为何我们的物理世界是一个数学结构？
●它是否能作出一些可供检验的预测？
我们将在第10章和第11章分别探讨第二个和第三个问题。现在，让我们开始探索第一个问题——第11章中，我们将回到这个问题，进行更详细的讨论。
“不朽对局”的棋局
前面我们看到了人类如何为我们的描述添加上各种“包袱”。现在，让我们来看看对立面——数学抽象如何能消除“包袱”，剥离至万物赤裸的本质。我们先来看看那个被称为“不朽对局”（Immortal Game）的棋局（见图9-6）。对局中，白棋引人注目地牺牲了两个车、一个象和一个后，用剩下的最后3个轻子完成了将死。这个对局最早于1851年出现在阿道夫·安德森（Adolf Anderssen）与莱昂内尔·吉塞芮茨基（Lionel Kieseritzky）的对弈中。每年，同样的棋局都会重复出现在意大利的马罗斯蒂卡（Marostica），世界各地的象棋爱好者会涌至此地，重复这个对局，有的棋手还会装扮成棋子的样子。一些棋手（包括我弟弟佩尔、他儿子西蒙和我儿子亚历山大，图9-6左一）会使用木头做的棋子；还有一些人会用大理石或塑料做成不同形状和大小的棋子，棋盘有的是棕色和米黄色相间，有的是黑白相间；还有一些则是虚拟的三维或二维计算机图像（图9-6右一）。但是你会觉得，这些细节都不重要——当棋迷们用“美丽”这个词来形容不朽对局时，他们并不是指棋手、棋盘和棋子具有吸引力，而是指一个更抽象的实体，一场抽象的比赛，或者说是棋子运动的序列。
图9-6 一场抽象的象棋比赛与棋子的颜色和形状无关，也与棋子是在物理存在的棋盘还是虚拟的计算机渲染图像上运动，或是所谓的代数记谱法上运动无关——它都是同一场棋局。类似地，数学结构也与描述它的符号无关。
现在，让我们来看看人类是如何描述这些抽象实体的。首先，一段描述必须明确而具体，所以我们发明了客体、语言或其他符号来表示抽象的思想，比如，在美国，我们把可斜着走的棋子叫作“主教”（bishop）。其次，这个名字显然是很随意的，换个名字也无妨——实际上，法国人管这个棋子叫作“小丑”（fou），斯洛伐克人称之为“射手”（strelec），瑞典人称之为“跑者”（l pare），而波斯语称之为“象”（fil）。然而，我们可以引入一个强大的武器，将这些不同的称谓统一起来，让不朽对局保持独一无二的特性。这个武器就叫作“等价”。
●我们将同一个事物的两个不同描述定义为“等价”。
●如果两个描述是等价的，则它们描述的是同一个事物。
比如，我们都一致认同，如果两个对棋子位置的描述的不同点仅在于棋子的大小，或棋手母语对它的不同称谓，那这两个描述就是等价的。
等价
如果两个描述之间存在一个保留了所有关系的对应性，那么这两个描述就是等价的。
所有的语言、概念或符号，如果它们只出现在某些而非全部等价描述中，那么很显然，它们就是可有可无的，因此都是“包袱”。那么，如果我们想要深入至不朽对局的真正本质，到底要剥离掉多少“包袱”呢？很显然，答案是许多。因为计算机在下棋时可以不涉及任何人类的语言和概念（如颜色、材质、大小和棋子的名字）。要完全理解我们到底可以走多远，需要先对“等价”下一个严格的定义。
象棋涉及抽象的实体（不同的棋子和棋盘上不同的方格）以及它们之间的关系。比如，棋子与方格的一种关系是前者在后者之上。还有一种关系是，棋子允许移动到某个方格。比如，在我们的定义中，图9-6中间的两幅图是等价的：三维的棋子棋盘和二维的棋子棋盘之间存在一个对应关系，不管三维的棋子位于哪个方格中，在二维棋盘中都能找到一个对应的棋子位于对应的方格中。同样，对棋子位置的纯英文描述与纯西班牙文描述是等价的——只要你有一本英文和西班牙文相对应的词典，你就可以将西班牙文的描述翻译成英文的描述。
当报纸和网站在介绍棋局时，通常会采用另一种等价描述即所谓的“代数记谱法”（algebraic cless notation，见图9-6右一）。这种形式中，棋子并不是以文字或物体的形式呈现的，而是用单个字母（比如，象用B）来表示，而方格用一个代表列的字母和一个代表行的数字来表示。由于图9-6右图中对棋局的抽象描述与一段在实体棋盘上下棋的视频是等价的，所以，在后者中，所有不包含在前者中的描述都只是“包袱”——从棋盘的物理实体到棋子的形状、颜色的名称。甚至代数记谱法的特性也是“包袱”——当计算机下棋时，它们采用的是另一种抽象描述来代表棋子的位置，只涉及内存中0和1组成的特定模式。那么，当你剥离所有的“包袱”，还剩下什么呢？这些等价描述究竟在描述些什么呢？不朽对局本身，100%纯净，不含任何“添加剂”。
包袱与数学结构
我们对抽象的棋子、棋盘及其相互关系的研究，是一个更广泛的概念的例子，即数学结构。这是现代数理逻辑中的一个标准概念。我将在第11章给出一个更技术性的描述，但是现在，我们只需要这个非技术性定义就够了：数学结构是指一组相互关联的抽象实体。
要理解它的含义，让我们来看几个例子。图9-7左图是一个拥有4个实体的数学结构，其中一些实体的关系是“喜欢”。在图中，名叫“菲利普”的实体用一张图片来代表，这张图片拥有许多内禀性质，比如棕色头发等。相比之下，数学结构中的实体是纯粹抽象的，这意味着它们并不具有任何内禀性质。也就是说，不管我们用什么符号来代表这些实体，都只是标签，而标签的性质无关紧要——为了避免将符号的性质赋予它们所代表的抽象实体，让我们把图片简化一下，得到中间的那张图。中图与左图是等价的，因为，如果你建立一个对应关系的“词典”，即菲利普=1，亚历山大=2，滑雪=3，滑冰=4，喜欢=R，那么所有的关系都保留下来了。比如，“亚历山大喜欢滑冰”被翻译为“2 R 4”，这个关系在中图中同样成立。
图9-7 同一个数学结构的三个等价描述，数学家会称其为“4个元素的有序图”。每个描述中都包含一些任意的“包袱”，但是它们所描述的数学结构却是100%无“包袱”的：它的4个实体没有任何性质，除了它们之间的关系，而这些关系也没有任何性质，除了它们所连接的元素的有关信息。
棋局可以单用符号来描述，而不用任何图形。数学结构也同样如此。比如，图9-7右图给出了前述数学结构的第三个等价描述，采用的形式是一个4×4的数表。在这个数表中，等于1的条目意味着，某个关系（“喜欢”）在该行对应的元素与该列对应的元素之间成立，所以，第1行第3列的“1”意思是“菲利普喜欢滑雪”。很显然，这个数学结构的等价描述可以有很多种，但是所有这些等价描述都只描绘了同一个，也是唯一一个独特的数学结构。总而言之，一个数学结构的任何特定描述都包含“包袱”，但这个结构自身却不包含。不要混淆数学结构和等价描述，这一点至关重要：对一个数学结构来说，即便是看起来最抽象的描述也不是结构本身；结构对应着所有等价描述组成的集合。表9-2总结了与数学宇宙理论有关的重要概念。
表9-2 与数学宇宙有关的重要概念的总结
对称性以及其他数学性质
一些数学家喜欢争论什么是真正的数学。当然，在这个问题上，他们没有达成共识。不过，数学的一个流行定义是“对数学结构的正式研究”。在这方面，数学家们确定了大量有趣的数学结构，从我们很熟悉的东西，如立方体、二十面体（见图6-2）和整数，到拥有奇异名字的东西，如巴拿赫空间（Banach spaces）、轨形（orbifolds）和伪黎曼流形。
数学家们在研究数学结构时，最重要的事就是证明与它们性质有关的定理。然而，既然数学结构的实体及其相互关系都不允许拥有任何内禀性质，那数学家们究竟在研究什么性质呢？
让我们来看看图9-8左图所描述的数学结构。它的各个元素之间没有任何联系，所以，没办法将各个实体区分开来。这意味着，这个数学结构除了“基数”（cardinality，基数是指它所包含的实体的数量）外，没有任何性质。数学家将这个数学结构称为“8个元素的集合”，它唯一的性质就是拥有8个元素。真是一个无趣的结构！
图9-8中间的图片描述了一个不同的、更有趣的数学结构，也拥有8个元素，但元素之间存在着关系。这个结构的其中一个描述说，它的元素是一个立方体的顶点，而关系则是相邻顶点之间的连线，也就是立方体的边。然而请牢记，不要将数学结构和描述混为一谈——数学结构自身不具备任何内禀性质，如大小、颜色、质地或组分，它只包含8个相互关联的元素，你可以选择将其理解为立方体的8个顶点。实际上，图9-8右图是该数学结构的另一个等价描述，却没有提到任何几何概念，如立方体、顶点和边。
那么，既然这个数学结构的实体不具备任何内禀性质，那这个结构自身是否拥有什么有趣的性质呢（除了8个元素之外）？实际上，它真的有，即对称性！在物理学中，如果你将某物以某种方式变换一下，它还是保持原样，这就叫对称。比如，如果把你的脸左右镜像一下还是与以前一样，那么它就是镜像对称（mirror symmetry）的。同样，图9-8中图中的数学结构也是镜像对称的：如果你将元素1和2、3和4、5和6、7和8对调，它们的关系图还是和从前完全一样。它还具有某种旋转对称性（rotational symmetry）：如果你将立方体绕某一面旋转90°，或者绕一个顶点旋转120°，或者绕某一边的中心点旋转180°，它还是与从前保持一样。尽管我们直观地认为对称性与几何有关，但是当你看看图9-8右图时，你会发现，数表同样具有对称性——如果你用某些特定的方式为这8个元素重新编号后，再通过扩展行列数，对数表重新排序，你会发现，你得到了一个与从前完全相同的数表。
在哲学上有一个著名的棘手问题，叫作“无穷后退问题”（infinite regress problem）。举个例子，如果我们说，一颗钻石的性质可以用碳原子的性质和排列来解释，碳原子的性质可以用它内部质子、中子和电子的性质和排列来解释，质子的性质可以用夸克的性质和排列来解释等，那么如果我们想要解释各个零件的性质，看起来注定要这样永远继续下去，无穷尽也。数学宇宙假说为这个问题提供了一个激进的解决办法——在最底层，实在是一个数学结构，所以它的各部件根本不具备任何内禀性质！也就是说，从这个意义上讲，数学宇宙假说暗示着我们居住在一个“关系实在”（relational reality）中，因为我们周遭世界的性质并不是来源于它的终极构件，而是来源于这些构件之间的相互关系[53]。这样看来，外部物理实在不仅仅是它各个构件的简单加总，因为它拥有许多有趣的性质，而它的基本构件却不具备任何内禀性质。
图9-8 中图描述了一个拥有8个元素（用黑点来表示）的数学结构，元素之间有相互关系（用线表示）。你可以把元素理解为立方体的顶点，把关系理解为立方体的边，连接着相关联的顶点。但这个理解完全是一个可有可无的“包袱”。右图给出了同一个数学结构的等价描述，不包含任何几何图形，比如，第5列第6行的条目为“1”，意味着元素5和元素6之间的关系成立。这个数学结构拥有许多有趣的性质，包括镜像对称性和某些旋转对称性。与之相比，在左图描述的数学结构中，元素间没有任何关系，也不具备任何有趣的性质，除了它的基数为8。
图9-7和图9-8中所画出的几个特定的数学结构都属于同一类数学结构，叫作“图”（graphs）——抽象的元素，其中一些两两相连。你可以用其他图来描述与图6-2中的十二面体等柏拉图多面体相对应的数学结构。还有一个图的例子是Facebook上的好友网络——其中，所有的元素对应着所有的Facebook用户，如果两个用户是好友关系，那他俩就相连。尽管数学家对图研究得很多，但它们只是数学结构众多类别中的其中一个。我们将在第11章对数学结构的各种细节进行更深入的探讨，但是现在，让我们先来看一些简单的例子，好让你了解数学结构是多么多样化。
许多数学结构对应着不同种类的数字。比如，所谓的自然数1、2、3……一起组成了一个数学结构。这里的元素是数字，它们之间有着各种各样的关系。一些关系（比如等于、大于和除以）可能在两个数字之间成立（比如，“15除以5”），一些关系可能在三个数字之间成立（比如“17是12与5的和”），还有一些关系可能在其他数量的数字之间成立。渐渐地，数学家发现了更多种类的数字，它们都能形成自己的数学结构，比如整数（包括负整数）、有理数（包括分数）、实数（包括2的平方根）、复数（包括-1的平方根）和超限数（包括无穷大）。当我闭上眼，脑中想着数字5时，它看起来是黄色的。但是，在所有的数学结构中，数字本身都不具备任何内禀性质，它们唯一的性质就是与其他数字之间的关系。比如，5具有的一个性质是4与1的加和，但它不是黄色，也不是由任何东西制成的。
还有一种数学结构对应着不同类别的空间。比如，我们学过的三维欧几里得空间就是一个数学结构。在这里，元素就是三维空间中的点，以及被理解为距离和角度的各种实数。还有各种各样的关系。比如，如果三个点位于一条直线上，那它们就能满足一个关系。还有许多数学结构，对应着四维甚至更高维度的欧几里得空间。数学家们还发现了许多其他更广义的空间，形成了它们自身的数学结构，比如所谓的闵氏空间（Minkowski spaces）、黎曼空间（Riemann spaces）、希尔伯特空间、巴拿赫空间和豪斯多夫空间（Hausdorff spaces）。许多人曾认为，我们的三维物理空间就是一个欧几里得空间。其实，正如我们在第1章中看到的那样，爱因斯坦终结了这种看法。他先是用狭义相对论提出，我们栖身在一个闵氏空间中（包含时间作为第四维度）。接着，他的广义相对论又提出，我们其实生活在一个黎曼空间中，因为它可以弯曲。然后，正如我们在第6章看到的那样，量子力学问世了。它告诉我们，我们其实居住在一个希尔伯特空间中。再次强调，这些空间中的点并不是由任何构件组成的，它们没有颜色、没有材质，也没有任何其他内禀性质。
尽管目前已知的数学结构又多又奇妙，但还是有更多的数学结构等待着人们去发现。每一个数学结构都可以通过分析来确定它的对称性质。人们发现许多结构都具备有趣的对称性。令人着迷的是，物理学上最重要的发现之一就是我们的物理实在也具有内在的对称性。比如，物理定律拥有旋转对称性，也就是说，我们的宇宙中没有一个特殊的方向可以被称为“上”。它们似乎还具有平移对称性，也就是说，没有一个特殊的地方可以被称为空间的中心。我们刚才提到的大多数空间都拥有美丽的对称性，其中一些符合我们物理世界的观测对称。比如，欧几里得空间同时具有旋转对称性（空间旋转之后与之前没什么两样）和平移对称性（空间平移后与之前没什么两样）。四维闵氏空间的对称性更多：如果你在空间和时间维度之间做一种广义旋转，它与从前没什么两样。爱因斯坦认为，这解释了为何近光速运动的时间会变慢，我们在上一章曾提到过这件事。20世纪，人们还发现了自然界中许多更加微妙的对称性，这些对称性构成了爱因斯坦相对论、量子力学和粒子物理学标准模型的基石。
需要注意的是，这些对物理学来说至关重要的对称性正是来源于实在的基本构件缺乏任何内禀性质，也就是说，来源于数学结构的最深含义与本质。如果你给一个无色球体的一边涂上黄色，那它的旋转对称性就被破坏掉了。同样，如果一个三维空间中的点拥有某种性质，可以让一些点与其他点拥有本质上的不同，那这个空间就失去了它的旋转对称性和平移对称性。对空间来说，“少即是多”，因为点拥有的性质越少，空间所具有的对称性就越多。
如果数学宇宙假说是正确的，我们的宇宙是一个数学结构，那么，一个极其聪明的数学家就能够从它的描述中推演出所有物理学理论。他将如何做到这一点呢？我们并不知道，但是我很肯定，他的第一步一定是计算出数学结构的对称性。
在本章开头的时候，一位教授曾作出可怕的预言，说我那些关于数学与物理之间关系的论文太过疯狂，将毁掉我的前程。现在，我已经将这些想法的第一部分和盘托出：我认为我们的外部物理实在是一个数学结构。这听起来确实很疯狂。然而，这只是一个热身。接下来，一切将变得更加疯狂，因为我们将去探索数学宇宙假说蕴含的启示和可检验的预言！除此之外，我们将被无情地领入一个新的多重宇宙，它是如此广袤无垠，即使是量子力学的第三层多重宇宙在它面前也黯然失色。不过在此之前，我们需要回答一个棘手的问题。我们的物理世界随时间而变化，但数学结构却一成不变，它们只是简单地存在着。既然如此，我们的世界怎能是一个数学结构呢？下一章，我们将一起解决这个问题。
◆从古至今，人们都很迷惑，为什么数学能如此精确地描述物理世界。
◆从那时起，物理学家在自然界发现了更多能用数学公式描述的形状、模式和规律。
◆物理实在的内在结构中包含几十个纯粹的数字。从本质上说，所有测量出来的常数都可以由这些数字计算出。
◆一些重要的物理实体，如空荡的空间、基本粒子和波函数似乎都是纯数学化的，因为它们仅有的内禀性质都是数学性质。
◆外部实在假说是说，存在一个完全独立于人类的外部物理实在，被大部分（但并非所有）物理学家接受。
◆有了一个足够广泛的数学定义，外部实在假说便暗含着数学宇宙假说，即我们的物理世界是一个数学结构。
◆我们的物理世界不仅能被数学所描述，它本身就是数学（一个数学结构），使得我们成为一个巨大数学对象中拥有自我意识的那个部分。
◆一个数学结构是一组实体及其相互关系的抽象集合。这些实体没有“包袱”；除了彼此之间的相互关系之外，它们不具备任何性质。
◆一个数学结构可以拥有许多有趣的性质（比如对称性），尽管它的实体和关系都不具备任何内禀性质。
◆数学宇宙假说解决了声名狼藉的“无穷后退问题”。在这个问题中，自然界物体的性质只能由它的组成构件的性质来解释，而组成构件的性质又需要进一步解释，从而衍生出无穷无尽的问题。而数学宇宙假说认为，自然界物体的性质不是源自终极构件的性质（它根本不具备任何性质），而是源于这些构件之间的相互关系。
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