4.2 赤平极射投影的原理和方法
4.2.1 基本原理
赤平极射投影是表示物体的几何要素（点、线、面）、空间方位和角度关系的平面投影，是将物体在三维空间的几何要素表示在平面上的一种投影方法。它的特点是：只反映物体的线和面的产状和角度关系，并不涉及其具体位置，也不涉及其面积的大小、线段的绝对长短和点与点之间的绝对距离。
赤平极射投影作图包括以下2个步骤：
1）作球面投影
利用一个球体作为投影工具（称为投影球），以球体中心（球心）作为比较物体几何要素的方位和角度的原点，并以通过球心的一个水平面作为投影平面（如图4.1（a）中的NESW平面），称为赤道平面，如图4.1（b）。
图4.1 赤平极射投影
（a）投影球；（b）赤平面
作球面投影时是将物体的几何要素——线、面置于球心，使这些几何要素延伸与球面相交，得到球面投影。如图4.1（a）所示，将一个倾斜平面SHNK通过球心O，延伸该平面与参考球面相交成一圆SHNK，则SHNK圆即为SHNK倾斜平面的球面投影。
2）化球面投影为赤平投影
按照人们描述地球的习惯，把过球心的垂直轴与投影球面的交点称为球极，位于赤道平面上部的球极称为北极，位于下部的球极称为南极。为了使用上的方便，一般只用半球面投影，或用上半球投影，射线由下半球球极（南极）发出；或用下半球投影，射线由上半球球极（北极）发出。这可根据作图的目的和习惯而定。
图4.1（a）系用上半球投影，以下半球球极为极点向SHNK斜面上的上半面的球面投影SHN各点作射线。因此，由南极F点向球面投影发出的射线是FH，FS，FN等，称为极射线。它们与投影球的赤道平面的交点N，M，S所形成的圆弧
就是SHN斜面的赤平极射投影。
4.2.2 投影方法
设有一结构面，走向南北，倾向东，倾角为α，求其赤平极射投影。
在投影球的赤道平面上，外圆为赤道大圆，其周围360°方位角分度，并标明北（N）、东（E）、南（S）、西（W）方位。作图时，首先通过S—N线倾向东的一个圆，即球体中SHNK圆。该圆就表示这一结构面，如图4.1（a）所示。它在球体中与赤平面NWSE的夹角α就是它的倾角。这个结构面与上半球面的交线是SHN，由极点F向SHN做射线与赤平面交成一圆弧
，则此圆弧即为结构面SHN的赤平极射投影。
把赤平面从图4.1（a）中取出，如图4.1（b）所示。从图中可以看出，弧凹所向的方向就是结构面的倾向，弧顶M越靠近赤道大圆的边缘，表明该面倾角越小，当M与W重合时，表明该面是水平面。反之，弧顶越靠近中心O，则结构面越陡，当M与O重合时说明结构面是垂直的平面。因此，读图时可根据以下关系来判断结构面的走向、倾向及倾角的大小，即：
·弧弦表示走向
·弧凹方向表示倾向
·弧背与赤道大圆周的距离表示倾角的大小
4.2.3 投影网
为了迅速而准确地对物体的几何要素进行赤平投影，以便在实际工作中作图和识图时度量的方便，需要使用赤平投影网。目前广泛使用的赤平投影网有2种：一是吴尔福于1920年创造的赤平极射等角度投影网，简称吴氏网；另一是施密特介绍的赤平等面积投影网，简称施氏网。这2种投影网各有特点，但用法基本相同。由于吴氏网具有等角性，制作方便，多用它来探讨结构体的组合特征及结构面与边坡坡面或岩体中开挖面的组合关系等。而施氏网具有等面积性，所以在地质力学分析中广泛用来统计结构面分布密度，从而找出优势结构面，为边坡稳定性分析提供地质依据。
1）吴氏网
吴氏网是由基圆（赤平大圆）和一系列经纬网所组成。经纬网格是由一系列走向南北的经向大圆弧和一系列走向东西的纬向小圆弧交织而成。标准吴氏网是以基圆直径为20cm，网格的角距为2°所绘成的规网，如图4.2所示。
图4.2 吴氏赤平投影网
（1）经线的绘制
经线为通过投影球心，走向南北，倾向东和倾向西，倾角由0°～90°的一组平面的赤平极射投影，它们都是直径各不相同的圆弧。
绘制时，首先将投影网外圆
弧分度，如图4.3所示（每格2°或5°），并将分度所得各点与S点直线相连，这些直线在WO线段上有一系列交点。然后作每个交点与S点连线的垂直平分线与OE线段（或其延长线）相交，又得一系列交点，分别以这些交点为圆心，以这些交点到S点的距离为半径，作一系列通过NS的圆弧，它们就是投影网西半部的经线。同理，将NE弧分度后，也可作出东半部的经线。图4.3表示为倾向东，倾角为50°的一条经线的作图法。
图4.3 经线的绘制
图4.4 纬线的绘制
（2）纬线的绘制
纬线为不通过投影球球心，走向东西，纬度（为地球球面的法线与赤道平面的夹角）为南纬0°～90°和北纬0°～90°的一组垂直平面的赤平极射投影。
绘制时首先将NE弧分度（每格2°或5°）将所得各点与圆心O相连，然后自各点作切线，它们与经线SN的延长线相交得到一系列交点。以这些交点为圆心，以交点至NE弧段上各相应分度点的切线段为半径作圆弧，此一系列圆弧为北半部的纬线。同理，将SW弧段分度后也可作出南半部的纬线，图4.4表示了北纬50°纬线的绘制法。
2）施氏网
施氏网是一种等面积投影网。等面积投影是指参考球上任一给定面积的球缺面，不论此等面积球缺面位于球的哪个部位上，其赤平投影图形的面积都应当相等。施氏等面积赤平极射投影网如图4.5所示。
图4.5 施氏等面积赤平投影图
等面积赤平极射投影作图法仍以投影球作投影工具，但投影面不是通过球心的赤平面，而是在投影球上部（或下部）与投影球极点相切的水平面为赤平投影面，如图4.6所示。将投影平面由通过球心的水平面位置挪到切于球顶点（极点）的位置上，因此赤平圆的半径将增大
倍。设结构面R按其产状通过球心，其法线与球面交于极点P处。以球顶N点为球心，以NP为半径，作一圆弧与等面积投影平面NN′交于P′点。此点就是线段OP的等面投影点，而Rn是OP的等角投影点。
图4.6 等面赤平投影法则
4.2.4 利用投影网（吴氏网）作投影图的步骤
已知某一结构面走向N40°E，倾向SE，倾角60°，绘制其赤平极射投影。绘制步骤如下：
①将绘图透明纸放在投影网上，按投影网大小画圆，在圆周上同样标出E，S，W，N4个方向。
②根据结构面的走向方位，依投影网上的刻度，在绘图透明纸圆周上取N40°E的a，b2点，ab连线的方向就是结构面的走向，如图4.7（a）。
③转动绘图透明纸，使a，b2点的投影网上的N，S极点重合，如图4.7（b）所示。根据赤平极射投影原理可知，结构面倾向东南时，代表结构面的投影圆弧应凹向南东，故圆弧投影线应落在投影网的左半部。根据结构面的倾角为60°，描下投影网上相同角度的经线
，此圆弧即为所求结构面的赤平极射投影。
④再将图4.7（b）转回原来的位置，如图4.7（c）所示。
图4.7 赤平投影步骤示意图
赤平极射投影虽然能准确、迅速、简便地表示物体上点、线、面的空间方位和角度的关系，但不能表示结构面在边坡上的相对位置和结构体的形状大小，故单纯用它进行边坡岩体稳定性分析还不能满足要求。为了克服这一缺点，需以赤平极射投影为基础，结合实体比例投影方法，就能全面的分析结构面、结构体与边坡坡面的关系。
4.2.5 实体比例投影法
实体比例投影是运用垂直投影原理和方法，将岩体的立体结构化为平面几何图形，以赤平极射投影为基础，并根据实测数据按比例作图，以求结构面和结构面间组合交线的相互关系及空间方位如图4.8所示。
图4.8 实体比例投影示意图
在立体图上，2组结构面AZK-MB和CZLMD相互交切，将边坡切割成不稳定体KMLZ。如果不稳定体发生破坏或变形，它一定沿着组合交线MZ向下滑动。组合交线的方位即是滑坡体的滑动方向。
在水平图上作不稳定体KMLZ及组合交线MZ的垂直投影，得到K′M′L′Z′及M′Z′。此投影即为实体比例投影。则K′M′L′Z′即为不稳定体在水平投影图上的边界。
另外，在立体图上，K和L2点是野外实测的2个结构面的控制点，用以表示两组结构面的相对位置关系。其实，运用实体比例投影法时，并不绘制立体图，而是用赤平极射投影表示结构面的空间形态，再借助于赤平极射投影绘制实体比例水平投影图以及边坡与滑动体的断面图。
平面投影图比例尺的大小，是根据实测或设计边坡断面的底宽和高度做适当的选择，以便于制图和准确表示距离、方位为原则，一般用1/100，1/200，1/500，1/1000等比例。
为了获得比较清楚的概念，下面结合一例题来说明实体比例投影的作图步骤和方法。
例4.1 已知边坡高度为H，底宽为m，有2组结构面切割边坡岩体，实测两结构面在边坡坡顶线上的距离为n，坡面和结构面的产状要素见表4.1，求不稳定体的边界及滑动方向。
表4.1 坡面与结构面产状要素
①用吴氏网和赤平极射投影法求出结构面、边坡面及各面的组合交线的赤平极射投影。在图4.9（a）上，根据吴氏网判读各交线的产状，D1RSD2为坡面的赤平极射投影，A1MSA2为A1—A2结构面的赤平极射投影，B1RMB2为B1—B2结构面的赤平极射投影，OR和OS分别为两结构面与坡面的交线，OM为两结构面间组合交线，它们的产状要素由赤平极射投影图上判读。如求交线OR产状时，将图4.9（a）覆于吴氏网上（由于它们是画在透明纸上，大小相等）使两图外圆重合，转动图4.9（a）令OR与投影网的EW线重合，延长OR至投影网外圆得P点，读P至R点的角度，即为OR的倾角，而OR在图上所指的方向即为它的倾向，如此可得到各组合交线的产状要素（见表4.2所列）。
表4.2 组合交线的产状
图4.9 不稳定结构
（a）赤平极射投影；（b）实体比例投影；（c）边坡断面图
②绘制边坡的水平投影图，并画出不稳定体的投影，如图4.9（b）。根据实测的边坡断面宽m为半径画圆，作为实体水平投影面。通过圆心画出对应边坡坡顶线的投影D3—D4，并将投影平面分为左、右两部分，以其左侧作为结构面与边坡面交线的投影区，右侧为结构面与坡顶面交线的投影区。把实测的2个结构面在坡顶线上的出露点距离为L，按比例绘在水平投影面上，如图4.9（b）上的R1和S1点。
然后在投影面的右侧过R1和S1点分别做赤平投影图上B1—B2和A1—A2的平行线R1M1和S1M1。它们就是这两个结构面的走向线，二者即交于M1点，在投影面的左侧过R1和S1点分别作OR和OS的平行线R1O1和S1O1，它们即交于O1点。O1R1M1S1即为不稳定体的实体比例水平投影，O1M1为两结构面组合交线的投影。
③为了真实反映不稳定体在断面上的形态，可选择通过O1M1的方向作剖面。首先取图4.9（b）中的R1S1的垂直投影D3D4作为坡顶线。再以已知边坡高度H和边坡角β为依据，绘制边坡断面图。然后在断面图上作O1和M1的垂直投影在坡面上得O2，在坡顶面上得M2。连接O2M2即为不稳定体的滑动线。
综上所述，通过赤平极射投影和实体比例投影图解分析，可以得出：
①判定岩体边坡的结构类型是稳定的、基本稳定的或不稳定的。
②分辨出对边坡破坏起控制作用的主要结构面及次要结构面。
③以确定边坡变形破坏结构体的滑动方向、形状及规模。
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