平面滑动与边坡的安全性分析

平面滑动_边坡稳定性分析与

5.2　平面滑动

5.2.1　单一滑面的滑坡稳定性分析

1）坡顶面存在张裂隙

边坡沿某一倾斜平面发生滑动如图5.1所示。滑动时应具备下列条件：

图5.1　平面滑动

图5.2　平面滑动的力学分析

①滑动面走向与边坡走向平行或近于平行。

②滑动面应在坡面上出露，滑面倾角α小于坡面角β，大于该面的内摩擦角φ，即有β＞α＞φ。

③滑体两侧有割隙面，其对滑体的侧阻力很小，可忽略不计。

在平面滑动分析中，一般按二维问题处理，即垂直边坡走向取断面，条件都是相同的。计算时沿边坡走向取单位宽度，这样滑动面的面积就可用剖面中滑动面的长度代表，滑体的体积可用剖面中滑体断面积表示。

平面滑动模型的建立，平面滑动分析模型如图5.2所示。在此分析中假定：

①滑动面、张裂隙的走向均与坡面走向平行。

②张裂隙是垂直的，深度为Z，充水深度为Z_w。

③张裂隙充水，而岩体本身不透水，水自垂直张裂隙渗入，流经滑面从坡脚溢出，水压沿裂隙呈线性分布。

④滑体自重W，沿滑动面渗流水的浮托力F_f和张裂隙中的水压力p_w均作用在滑体的重心。这就是说滑动时没有滑体转动的力矩，滑体仅仅是沿滑面滑动。

⑤滑体受爆破震动的附加力等效水平力F＝K_aW作用，作用点也在滑体重心。

⑥滑面的抗剪强度由内聚力C和内摩擦角φ确定，并遵循库仑定律τ＝C＋σtanφ（σ为滑面上的正应力）。

边坡岩体ABCD能否沿滑面ADC发生滑动，取决于岩体沿ADC面的下滑力和抗滑力的大小，如图5.3所示。

图5.3　平面滑动受力分析图

现将各力分别分解为垂直与平行滑面AD的分力。①裂隙中水的推力：

p_w⊥＝p_wsinα

p_w∥＝p_wcosα

②滑动面上的浮托力：

F_f⊥＝F_f

F_f∥＝0

因为水从裂隙进入滑动面，并在滑动面出露处流出，而且地下水在出露处压力为零，所以其压力呈三角形分布。

③滑动体重力：

W_⊥＝Wcosα

W_∥＝Wsinα

④爆破震动力F：

F_⊥＝Fsinα

F_∥＝Fcosα

F＝K_aW

⑤锚固力F_m：

F_m⊥＝F_msin（α＋λ）

F_m∥＝F_mcos（α＋λ）

式中　λ——锚杆锚固力方向与水平面的夹角。

⑥滑动面上总的内聚力为CL

式中　L——滑动面的长度。

阻止岩体ABCD向下滑动的抗滑力T′为：

T′＝［Wcosα－p_wsinα－F_f－K_aWsinα＋F_msin（α＋λ）］tanφ＋CL

促使岩体ABCD下滑力T为：

T＝Wsinα＋Vcosα＋K_aWcosα－F_mcos（α＋λ）

故边坡安全系数n为：

（5.1）

根据图5.3按几何形状可以求得滑动体重力：

关于（5.2）式的导出，在图5.3中面积：

如果用（5.1）式计算出的安全系数太大，说明过分安全，边坡开挖会造成经济上的不合理。为了提高经济效益，在这种情况下可采用：

①边坡角不变，适当增加边坡高度。

②边坡高度不变，适当提高边坡角。

具体做法是：令边坡处于极限平衡状态，即使n＝1，代入（5.1）式反求出W′值，再将W′值代入（5.2）式，反求出边坡角和边坡高度，即为极限平衡状态的边坡角和边坡高度。于是有：

①当边坡角β不变，可求出在该条件下的极限边坡高度H₀

因此，在边坡角不变的条件下，提高的边坡高度H′应在H＜H′＜H₀的范围内。

②当边坡高度不变，可求出在该条件下的极限边坡角β₀

因此，在边坡高度不变的条件下，提高的边坡角β′应在β＜β′＜β₀的范围内较为合理。

2）坡顶面为斜面

在坡顶面为斜面的岩体中，仅有单一软弱面AB存在，由它所切割的滑动体ABC如图5.4所示，从图中几何关系可计算滑动体的重力W为：

式中　γ——滑动体的容重；

L——滑动面长度；

h——滑动体高度（自坡顶沿铅垂线方向量至滑动面的距离）。

沿滑动面促使滑动体ABC向下滑动的下滑力（T）和阻止其下滑的抗滑力（T′）分别为：

T＝Wsinα

T′＝Wcosαtanφ＋CL

图5.4　单一滑动面的滑坡情况

式中　C——滑动面上的内聚力；

φ——滑动面上的内摩擦角。

由此可得安全系数n：

将W值代入（5.4）式得

从（5.5）式可以看出以下问题：

①对于滑坡体某一确定的滑动面而言，α，C，φ均为定值，安全系数n只是滑坡体高度的函数，由此可得以下结论：位于同一滑动面上具有相同滑坡体高度h的滑坡体，不论其坡面倾角如何，它们的安全系数都是相同的，如图5.5（a）所示。这一结论显然提供了这样的启示，为了增加岩坡的稳定性，若采取坡顶减载的措施是达不到目的的。也即在图5.5（b）中，不论将坡顶由位置CB削减至CB₁还是CB₂，都不能提高岩坡的稳定性。这是由于不论坡顶的位置是CB还是CB₁（或CB₂），这时滑坡体的高度均无任何变化，因此由（5.5）式所计算出的安全系数都是相同的。如果将坡面位置由AC削减至AC₁，此时相应的滑坡体高度显然小于原来的滑坡体高度，于是由（5.5）式计算出的安全系数必然增大。由此可见，为了提高岩坡的稳定性，采取削减坡面的措施是一种行之有效的方法。

图5.5　滑坡体高度h对于边坡稳定性的影响

③由安全系数的定义可知，当n＝1时，就意味着边坡处于极限平衡状态，而这一状态的滑坡体高度就是滑坡体的极限高度，以h_max表示。要确定h_max值，只要在（5.5）式中令n＝1，并以h_max代h，即可得到：

另由图5.4中的几何关系可以找出坡高H与滑坡体高度h之间的如下关系式：

显然，当滑坡体高度达到极限值h_max时，此时相应的坡高也必然达到极限值H_max，因此，只要将（5.6）式中的h_max值代入（5.7）式，就可得最大坡高H_max。

图5.6　h_max与α之间的关系

图5.7　滑面与坡面平行的情况

（4）（5.5）式是在坡面与滑动面互不平行的情况下推导出的，如果坡面与滑面互相平行或接近于平行，如图5.7（a）所示，这时（5.5）式已不适用。由此所导出的最大坡高（5.8）式也不适用。当坡面AD与滑动面BC平行时，其最大坡高H_max可近似推导如下：设当坡高达到最大值H_max时，由于滑坡体ABCD的自重使其底部处于塑性状态，该塑性区近似以直角三角形ABE表示，塑性区上部的岩体BCDE仍为弹性状态，其重力W为：

式中　a——滑坡体水平宽度；

　γ——滑坡体的容重。

若滑动面上的内聚力很小，可忽略不计时，则该面上的抗滑力T′为：

促使滑坡体下滑力T为：

由图5.7可以看出，作用于塑性区顶面上BE（BE＝asinα）上的力T－T′，将此力以均布应力的形式表示，其值为′，塑性区的受力形式如图5.7（b）所示。而作用在塑性区上的最大主应力（σ₁）和最小主应力（σ₃）分别为：

σ₃＝0

以上主应力应满足塑性屈服条件，即：

将（5.10）式、（5.11）式及（5.12）式代入（5.13）式，可得在边坡面与滑动面平行或近于平行时最大坡高H_max为：

5.2.2　两滑面及多滑面的滑坡稳定性分析

由2个滑动面形成的滑坡体，其稳定性分析远比单一滑动面的情况复杂，这种滑坡体的稳定性分析中所涉及的未知数往往多于所能建立的方程总数。因此，在稳定性分析的具体计算时常需增设若干补充条件。当然，提出这些条件时，既要考虑反映岩坡的实际情况，又能使计算过程简化，由于对提出补充条件的观点不同，因而也形成了各种不同的解题方法。下面着重介绍几种常用的解法。

图5.8　两滑面所形成的滑坡

1）滑坡体中无软弱面存在

当滑坡体比较完整，其内部无软弱面存在，这时可将滑坡体视为刚体进行分析，如图5.8所示。设刚体的重量为W，AB为上滑动面，BC为下滑动面，其倾角分别为α₁和α₂，各滑面的法向力和切向抗滑力分别以N₁、N₂与T′1、T′2表示，而各滑面的抗滑力显然是由该滑面上的摩擦力与内聚力组成，于是上滑面AB面上的抗滑力T′1为：

下滑面BC面上的抗滑力T′2为：

式中　f₁，f₂——分别为AB面与BC面上的摩擦系数；

c₁，c₂——分别为AB面与BC面上的内聚力；

S₁，S₂——分别为AB面与BC面的面积。

如果岩坡具有一定的安全储备，并假定岩坡的安全系数为n，于是维持滑坡体处于极限平衡状态时各滑面上所需的抗剪参数仅仅是原参数f_i与C_i的1/n倍。因此，当岩坡处于极限平衡状态时，在AB滑动面上的抗滑力和BC滑动面上的抗滑力分别为：

另从图5.8中可以看出，当滑坡体处于极限平衡状态时，由∑F_y＝0可得：

由∑F_x＝0可得：

将（5.16）式分别代入（5.17）式和（5.18）式得：

（5.19）

（5.20）

在（5.19）式和（5.20）式中有3个未知数N₁，N₂及n，无法求解，为了求解这3个数值，需要根据问题的特点，补充一附加条件，因此，必须进一步分析岩块ABC的滑动过程。

由图5.8可知，岩块ABC是沿滑面AB与BC下滑的，在滑动过程中，一方面岩块ABC在重力作用下，始终与滑面BC保持接触状态；另一方面，当岩块ABC向右滑移时，岩块ABC必然与左侧滑面AB有分开的趋势。图中虚线所示的岩块即为岩块ABC产生滑动的情况。由此可知，岩块没有滑动时，岩块与滑面AB紧密接触，两者间具有较大的接触压力；当岩块处于即将滑动时，岩块将与滑面AB分离，于是接触压力为零。由以上分析可知，当岩块处于即将下滑的临界状态时，必然出现接触压力为零的情况，这就是所需提供的补充条件。因此，N₁可由（5.19）式和（5.20）式得出：

式中

令N₁的表达式（5.21）式等于零，于是可得安全系数n的计算式：

A₁n²＋B₁n＋C₁＝0

从（5.23）式的推导过程来看，关键在于如何根据具体情况提出补充条件，使所建立的条件式的个数与要求解的未知数个数相等，从而求解出所需的安全系数。在推导（5.23）式时，是以N₁为零作为补充条件的，显然，这并不是十分合理的惟一补充条件。如果滑面AB很长而滑面BC很短的情况下，滑体重心偏于左侧，在此情况下，滑坡沿BC面下滑时，由于滑体重量偏左的原因，滑坡体仍然压于滑面AB上，那么N₁也就不为零了。通过以下分析表明：

①补充条件的具体形式，取决于解题的基本观点，采用不同的解题观点，将有不同形式的补充条件。

②对于解题原理，既要牢固掌握，又要灵活应用，只有这样，才能提出符合实际的补充条件，才能获得较为合理的计算结果。

图5.9　滑坡内无软弱面

例5.1如图5.9所示，滑动面AB与BC倾角分别为α₁＝60°，α₂＝15°，c₁S₁＝90MN，c₂S₂＝250MN，滑坡体重量W＝1400MN，f₁＝0.3，f₂＝0.25，求岩坡的安全系数。

解　根据（5.22）式计算各有关系数：

A₁＝Wsinα₂＝1400×sin15°＝362.35MN

B₁＝－（90MNcos45°＋250MN＋1400MNcos15°×0.25）＝－651.7MN

C₁＝90MN×0.25×sin45°＝90MN×0.25×0.707＝15.91MN

将以上各值代入（5.23）式可得安全系数n：

2）滑坡体中存在软弱面

滑坡体中有软弱面存在时，如图5.10（a）中的BD面，那么在稳定性分析中就不能将滑坡体视为完整的刚体。因为在滑动过程中，滑坡体除沿滑面滑动外，同时在软弱面所分割的两块体之间也要产生错动。显然沿弱面的这种错动现象，在稳定性分析中必须予以考虑。设作用于软弱面上的法向力为N、切向力为T′，而N与T′是未知数，因此，在稳定性分析中需对此二力之间的关系做某些假定。这些假定主要有：

图5.10　滑坡体内存在软弱面时的稳定分析

①假定N与T′两力满足极限平衡条件。

②假定此二力的合力P的方向与某一滑面平行。

③假定此二力合力P与软弱面的法线相交为其内摩擦角。

从形式上看，每一假定都有各自的特点，最终所得结果可能有较大差异，但只要掌握其中一二种解法的原理，其他解法都是大同小异的。以下介绍几种常用的稳定性分析方法：

（1）分块极限平衡法

当滑坡体ABC被软弱面BD分割成如图5.10（a）所示的块体Ⅰ与块体Ⅱ。在分块极限平衡法中，除假定各块体分别沿相应滑面AB，BC处于即将滑动的临界状态外，并假定块体之间的软弱面BD也处于临界的错动状态。如果块体Ⅰ对块体Ⅱ的作用力分别以法向力N和切向力T′表示，于是当块体沿BD面处于临界错动状态时，N与T′应满足以下条件：

式中　n——岩块的安全系数；

　C，f——软弱面BD上的内聚力与内摩擦系数；

　S——软弱面BD的面积。

（5.24）式就是分块极限平衡法中对于软弱面上作用力所提出的假定条件。由于块体Ⅰ、块体Ⅱ分别沿滑面AB与BC处于极限平衡状态，因此，作用于AB滑面与BC滑面上的抗滑力可按（5.16）式计算：

式中符号意义同前。

块体Ⅰ、块体Ⅱ的受力状态如图5.10（b），（c）所示。根据块体的极限平衡状态，可建立以下方程式。

由块体Ⅰ沿滑面AB及其法线方向建立平衡方程可得：

或

将（5.29）式代入（5.28）式得：

将（5.29）式与（5.30）式两边均乘以n²，化简后得：

（5.31）

由此可得软弱面BD上的法向力：

（5.32）

同理，对块体沿滑面BC及其法线方向建立平衡方程为：

T′₂＋T′cos（α₂＋α）＝W₂sinα₂＋Nsin（α₂＋α）

N₂＝W₂cosα₂＋T′sin（α₂＋α）＋Ncos（α₂＋α）

或

将（5.34）式代入（5.33）式也可求出软弱面BD上的法向力：

（5.35）

图5.11　N—n曲线

1—式（5.32）；2—式（5.35）

图5.12　有软弱面的滑坡

式中　W₁——ABD块体的重力；

　W₂——BCD块体的重力。

从（5.32）式与（5.35）式可以看出，软弱面上的法向力N是岩坡安全系数的函数，因此根据（5.32）式与（5.35）式分别绘出N—n的2条曲线，如图5.11所示。对于给定的软弱面，其上的法向力显然是一定值。因此两曲线的交点P所对应的N值即为作用于软弱面上的实际法向力，而交点P所对应的n值，即为所求的岩坡安全系数。

综上所述，分块极限平衡法的计算步骤可归纳如下：

①对块体Ⅰ作沿滑面及其法线方向的平衡方程，找出软弱面上的法向力N与安全系数n的关系式。

②对块体Ⅱ作沿滑面及其法线方向的平衡方程，也找出软弱面上的法向力N与安全系数n的关系式。

③分别绘出N—n两曲线，其交点所对应的n值，即为所求岩块的安全系数。

例5.2　已知滑坡体ABC内有软弱面BD，如图5.12所示。滑面AB，BC及弱面BD的内聚力和阻力分别为：C₁S₁＝98.07MN，C₂S₂＝294.21MN，CF＝147.105MN；各面的内摩擦系数分别为：f₁＝0.577，f₂＝0.268，f＝0.268；各面的倾角分别为：α₁＝60°，α₂＝10°，α＝45°；块体Ⅰ重W₁＝588.42MN，块体Ⅱ重W₂＝980.7MN。试用分块极限平衡法，求该岩坡的安全系数。

解　将题中所给的已知值分别代入（5.32）式和（5.35）式，用（5.32）式计算的N值为：

用（5.35）式计算的N值为：

为了绘出（a）式及（b）式的N—n曲线，按以下给定的值（0.6，1.0，1.5，2.0，2.5）分别由（a），（b）式算出相应的N值列于表5.1中。

表5.1

根据表5.1的数值分别绘出按（a）式及（b）式的N—n曲线如图5.13所示，而曲线上的交点所对应的纵坐标值N＝343.25MN，即为该软弱面上的法向力；而交点所对应的横坐标值n＝1.7，即为所求岩坡的安全系数。

（2）不平衡推力迭代法

图5.13　N-n曲线

不平衡推力迭代法与分块极限平衡法的主要区别是对软弱面上的作用力采用了不同的假定。该法认为：软弱面上的作用力N与T′的合力P（如图5.10（a））是与滑面AB平行，而不是利用在软弱面上的作用力N与T′满足极限平衡条件的假定。由图5.10所示可知，软弱面上的合力P具有十分明显的物理意义，块体Ⅰ沿滑面AB方向的下滑力T₁与抗滑力T′分别为T₁＝W₁sinα₁与T′1＝。当下滑力大于抗滑力时，块体Ⅰ将有下滑的趋势，此时块体Ⅰ作用于块体Ⅱ的推力P就是块体Ⅰ传递到块体Ⅱ上的不平衡推力。可见，不平衡推力是由前一块体（块体Ⅰ）的下滑力大于其抗滑力而引起的不平衡推力，该力传递到后一块体（块体Ⅱ）就形成了对后一块体的推力，所以称块体Ⅰ对块体Ⅱ所产生的不平衡推力，简称不平衡推力。如将图5.10中块体Ⅰ与块体Ⅱ的受力方式分别画出，如图5.14（a），（b）所示。在图5.14（b）软弱面BD上的推力P就是块体Ⅰ作用于块体Ⅱ的不平衡推力，而图5.14（a）软弱面BD上的作用力P则是块体Ⅱ对块体Ⅰ所产生的反作用力。

值得注意的是：同样的作用力P对于不同块体所起的作用并不相同。对块体Ⅱ来讲，P是促使其下滑的力；对块体Ⅰ来讲，P是块体Ⅱ的反作用力，其作用是为块体Ⅰ提供维持平衡时所需的支撑力。因此，不平衡推力迭代法有2种计算方法：

图5.14　滑块Ⅰ，Ⅱ的受力方式

①P力的大小按块体Ⅰ的下滑力与抗滑力之差直接计算。

②根据块体Ⅰ处于平衡状态的平衡条件计算。

这2种不同算法所得的结果是相同的。

现采用第2种方法计算不平衡推力P。由图5.14（a）可以看出块体Ⅰ沿滑面AB的平衡条件为：

W₁sinα₁＝P＋T′1

式中符号意义同前。

块体Ⅰ沿滑面AB法线方向的平衡条件为：

N₁＝W₁cosα₁

将上式代入（5.36）式可得：

同理，由块体Ⅱ沿滑面BC以及垂直与BC方向的平衡条件分别为：

又

将（c）式代入（a）式有：

由此可得岩坡的安全系数n：

不平衡推力P可由（5.37）式确定，如将（5.37）式的P值直接代入（5.38）式，于是可得安全系数的表达式为：

（5.39）

计算岩坡安全系数时，既可采用（5.37）式与（5.38）式计算，也可采用（5.39）式进行计算。由于安全系数是以隐含的形式包含于上述各式中，这给直接求解带来不便，因此，不论采用哪一公式计算安全系数都需进行迭代。现以应用（5.37）式与（5.38）式来说明具体计算步骤。计算时，首先假定某一n值，将此值代入（5.37）式计算出相应的不平衡推力P，再将P值代入（5.38）式计算出n值。若计算所得的n值与最初假定的n值相差甚远，那么再将此n值代入（5.37）式又得一新的P值，并将此P值代入（5.38）式又算出另一n值，将此n值与上次计算出的n值相比。如果相差仍然很大，不满足要求时，则应重复上述步骤迭代直至前后两次所得计算值十分接近为止，于是此n值即为所求岩坡的安全系数。

另外，若按（5.39）式计算安全系数，其步骤是：先将假定的某一n值代入（5.39）式的等号右边，由此可算出新的n值。如此n值与最初的假定值相差很大，这时可将计算出的n值再代入（5.39）式的右边，重新计算又可求得新的n值，再将此n值与上次计算出的n值相比。如果相差还大仍不满足要求，应重复上述步骤逐步迭代，直至前后两次计算出的n值十分接近为止，则此n值即为所求岩坡的安全系数。

例5.3　试用不平衡推力迭代法计算例5.2所示的岩坡安全系数。

解　采用（5.37）式与（5.38）式进行计算，先用（5.37）式求出不平衡推力P

P＝588.42MN×sin60°－

岩坡安全系数n值的公式为（5.38）式：

利用（a）式和（b）式计算安全系数，应首先假定某一适当的n值作为迭代时的初始值。在本例题中设n＝0.8代入（a）式得P＝174.81MN，然后将P＝174.81代入（b）式得n＝2.0835，而2.0835与初始假定值0.8相差甚远，因此再将新n值代入（a）式算出新的推力P＝381.04。将此P值再代入（b）式又可算出新的n值，n＝1.5203，此n值与上次迭代计算值n＝2.0835相比，仍然相差很大。于是重复上述迭代步骤继续计算，直至前后两次所算的n值十分接近为止。在此例中先后共迭代5次，各次迭代中的计算数值列于表5.2中，由表5.2可知，n的第3次迭代1.6159已接近与第4次迭代值1.5936，若取二者的平均值，则n＝1.6042，此值与第5次迭代值1.5985十分接近。可见在计算中，迭代到第4次其精度已可满足要求。

表5.2

由以上计算表明：例5.2按分块极限平衡法计算的安全系数n＝1.71，按不平衡推力迭代法计算的安全系数n＝1.6042。由此可见，这2种计算方法所得的结果比较接近。

（3）等安全系数法

等安全系数法的基本观点是：组成滑坡的各个块体在稳定性分析中都具有相同的安全系数，而各块体的安全系数由各块体沿滑动面上的抗滑力与下滑力之比来确定。具体计算时，常采用以下2种方法：一种是根据块体的极限平衡状态条件计算；另一种是不以块体极限平衡条件进行计算，现分述如下：

①根据块体极限平衡条件进行计算

这种方法的特点是根据块体的极限平衡状态来建立安全系数的计算公式。在计算时，假定各块体所有滑动面上的抗剪指标，即内聚力和内摩擦系数降低n倍后，各块体即处于极限状态。

按此极限状态，分别计算各块体的抗滑力与下滑力，于是即可求得安全系数n。现以图5.15所示的岩坡为例说明这种方法的具体步骤。计算时假定软弱面BD上的作用力P与AB滑面平行，如图5.15（b），（c）所示。由于各块体均处于极限状态，因此滑动面AB与BC上的抗滑力分别为：

式中符号意义同前。

图5.15　等n法——不按极限平衡状态分析

根据图5.15（b），（c）可分别计算出各块体的抗滑力与下滑力，对于块体Ⅰ：

抗滑力　

下滑力　T＝W₁sinα₁

由于块体Ⅰ处于极限平衡状态，因此其抗滑力应等于其下滑力，即：

　　　　　　

对于块体Ⅱ：

抗滑力　

下滑力　T＝W₂sinα₂＋Pcos（α₁－α₂）

由于块体Ⅱ也处于极限平衡状态，因此上述抗滑力与下滑力应相等，即

由此可得安全系数

将（5.40）式中的P值代入（5.41）式即可求得安全系数。值得说明的是：（5.40）式与（5.41）式，分别与不平衡推力迭代法中的（5.37）式与（5.38）式完全一样。由此可见，不平衡推力迭代法实际上是等安全系数法的一种特殊情况，也可由等安全系数法推导出分块极限平衡法的计算公式。为此只要假定软弱面BD在推力P的作用下处于极限平衡状态（即分块极限平衡法对该面所作的假定），即可推出分块极限平衡法的计算公式。

由以上分析可知，分块极限平衡法和不平衡推力迭代法实际上都是等安全系数法中的特例。这是由于在上述方法中采用了与等安全系数相同的假定，即假定各块体不仅具有相同的安全系数，同时各块体沿相应的滑动面都处于极限平衡状态。

②不以块体极限平衡条件进行计算

此法的特点是不按块体的极限平衡状态建立安全系数的计算公式。现仍以图5.15所示的岩坡为例说明计算方法的要点。首先对块体之间的作用力P［图5.15（b），（c）］选用适当的假定，现假设力P为平行于块体Ⅰ的滑动面AB（当然也可采用其他合理假定），根据图5.15（b），（c）可分别计算块体Ⅰ、块体Ⅱ的抗滑力与下滑力。

对于块体Ⅰ：

抗滑力　T′＝T′1＋P＝（C₁S₁＋f₁N₁）＋P＝（C₁S₁＋f₁W₁cosα₁）＋P

下滑力　T₁＝W₂sinα₁

根据抗滑力与下滑力之比可确定块体Ⅰ的安全系数：

对于块体Ⅱ：

抗滑力　T′＝C₂S₂＋f₂N₂＝C₂S₂＋f［W₂cosα₂＋Psin（α₁－α₂）］

下滑力　T₂＝W₂sinα₂＋Pcos（α₁－α₂）

由此可得块体Ⅱ的安全系数：

在等安全系数法的计算中，认为各块体的安全系数相同，因此，（5.42）式与（5.43）式中安全系数显然应相等。在（5.42）式与（5.43）式中只包含2个未知数n和P，故可联立求解，从而可求安全系数值的大小。

5.2.3　由多个滑动面形成的滑坡体

由2个以上滑动面所构成的滑坡体其安全系数的计算原则与前述的方法基本相同，因此，分块极限平衡法、不平衡推力迭代法和等安全系数法都可用来计算这种岩坡的安全系数。现以不平衡推力迭代法为例来说明这种稳定性计算的一般原理。

图5.16表示由n个块体组成的滑坡体，各块体相应的滑动面上的作用力分别如图所示。设第i块体滑面的倾角为α_i，滑动面上的作用力为T′_i，N_i，由于各个块体将沿其相应的滑动面处于极限平衡状态，因此作用力应满足以下条件：

式中，C_i，f_i，S_i分别为第i滑动面的内聚力、内摩擦系数和面积。

设第i块体对下一块体（第i＋1块体）的不平衡推力为P_i，其作用方向与第i滑动面平行。仿此，第i－1块体对第i块体的推力P_i－1与第i－1滑动面平行。

图5.16　多滑面的滑坡稳定性分析

为了便于分析，自图5.16（a）中将第i块体和第n块体的受力情况分别绘于图5.16（b），（c）中，设W_i和W_n分别表示第i和第n块体的重量，而第i块体的抗滑力和下滑力分别为：

考虑到块体沿其相应的滑动面处于极限平衡状态，因此上述的抗滑力与下滑力相等，即：

将（5.45）式代入上式则有：

（5.46）

同理，从图（c）中也可分别写出第n块体的抗滑力T′与下滑力T：

T′＝T′n

T＝P_n－1cos（α_n－1－α_n）＋W_nsinα_n

又

N_n＝W_ncosα_n＋P_n－1sin（α_n－1－α_n）

令抗滑力与下滑力相等，并将T′_n与N_n值代入后化简，于是可得安全系数的表达式为：

必须说明：（5.46）式是计算块体间不平衡推力的普遍公式，其中i＝1，2，…，n－1。由该式可知，当公式中其他有关参数均为已知的条件下，若前一推力为已知时，那么后一推力可通过前一推力的值直接求出。因此，利用该式可顺序第1块体到第n－1块体的相应推力P₁，P₂，…，P_n－1。在计算块体1的推力P₁时，由于块体1的前面没有块体存在，所以对块体1来说，其所受的推力显然为零。按上述步骤算出最后的推力P_n－1时，将P_n－1值代入（5.47）式即可求出相应的安全系数。

根据以上分析可得出用（5.46）式和（5.47）式计算多个滑动面岩坡安全系数的步骤如下：首先假定某一n值，将此值代入（5.46）式，利用（5.46）式顺序计算块体间的不平衡推力P₁，P₂，…，P_n－1，当求出P_n－1后将此值代入（5.47）式计算出新的安全系数值。如果此值与最初假定的值相差很大，这时可将计算出的值再代入（5.46）式，再依次计算出新的不平衡推力P₁，P₂，…，P_n－1，然后再将新的P_n－1值代入（5.47）式，又计算出新的安全系数值，将此新值与上次所算的相比。如果相差仍很大，仍不满足要求，应重复上述步骤逐次迭代，直至前后两次所算的值相差十分接近为止，则此值n即为所求的岩坡的安全系数。

当岩坡的块体较多时，上述迭代法用手算将需要很长时间，也可能无法进行，这时应用计算机有关的程序求解。