视距测量的观测和计算

视距测量的观测和计算_测量学

4　距离测量与直线定向

距离测量是确定地面点位的基本测量工作之一，按照测量原理和手段的不同，可分为卷尺量距、视距测量、电磁波测距等方法。卷尺量距是用钢尺或皮尺沿地面丈量距离，属于直接量距，适用于平坦地区的距离测量。视距测量是利用经纬仪或水准仪中的视距丝和视距标尺按几何光学原理进行距离测量，适合于低精度的近距离测量。电磁波测距是用仪器发射与接收电磁波测量距离，适用于高精度的距离测量。全球导航卫星系统（GNSS）测量利用GNSS接收机接收卫星发射的电磁波测距信号，同时测定测站至若干卫星的距离，也属于电磁波测距。视距测量和电磁波测距属于间接量距。

4．1　卷尺量距

4．1．1　量距工具

卷尺量距的工具主要包括钢卷尺、皮尺以及丈量时的辅助工具。

1）钢卷尺（钢尺）

普通钢尺是钢制带状尺，宽10～15　mm，厚0．4　mm，有30　m和50　m两种，可卷放在圆形尺壳内或金属尺架上。钢尺的基本分划为厘米，每分米和米处刻有数字注记，全长都刻有毫米分划。钢尺的零分划位置有两种，一种是在钢尺前端有一条零分划线，称为刻线尺；另一种零点位于钢尺拉环外沿，称为端点尺，如图4－1所示。

图4－1　刻线尺和端点尺

2）皮尺（布卷尺）

皮尺是用麻线或加入金属丝织成的带状尺，有20　m、30　m、50　m数种，基本分划为厘米，尺面每10　cm和整米注有数字。皮尺量距精度较钢尺低，适用于碎部测量、施工放样、土方工程等测量中精度要求较低的距离丈量。

3）辅助工具

钢尺量距中辅助的工具还有标杆、测钎、垂球、弹簧秤和温度计等。标杆长3　m，杆上涂以20　cm间隔的红、白漆，用于直线定线；测钎是用直径5　mm左右的粗铁丝磨尖制成，长约30　cm，用来标志所量尺段的起、止点；垂球用于不平坦地面量距时将尺的端点垂直投影到地面；弹簧秤和温度计用于钢尺精密量距时的拉力控制和地表温度测定。

4．1．2　直线定线

当地面上两点相距较远时，用卷尺一次（一尺段）不能量完，需在两点连线方向上标定若干点，使其位于直线上，称为直线定线。直线定线分目测定线法和经纬仪定线法。

1）两点间目测定线

如图4－2所示，设A、B两点互相通视，需在AB方向线上标出“1”点。步骤如下：在A、B两点上竖立标杆，甲站在A点标杆后约1　m处，指挥乙左右移动标杆，直到甲从A点沿标杆的同一侧看到A、1、B三支标杆共线为止。

若两点间需标定若干个点，一般应由远及近进行定线，以免待定点受到已定点的影响。

图4－2　两点间目测定线

2）经纬仪定线

（1）在两点间定线

A、B两点互相通视，在A点安置仪器，对中整平后，望远镜纵丝切准B点，制动照准部，望远镜上下转动，指挥待定点处的持标杆者左右移动标杆，直到标杆的像被纵丝平分。

（2）延长直线

如图4－3，需将直线AB延长至C点，方法如下：在B点安置仪器，对中整平后，盘左位置以纵丝切准A点，制动照准部，旋松望远镜制动螺旋，倒转望远镜，以纵丝定出C′点；盘右位置瞄准A点，同法定出C″点。取C′C″的中点，即为精确位于AB延长线上的C点。以上方法称为经纬仪正倒镜分中法。

图4－3　正倒镜分中法延长直线

4．1．3　钢尺量距的一般方法

1）平坦地面的量距方法

如图4－4所示，按AB间目测定线标定的直线方向逐段量距，依次量出各整尺段，最后量出不足整尺段的余长。此时AB的水平距离为

图4－4　平坦地面量距

式中：n——整尺段数。

2）倾斜地面的量距方法

如图4－5所示，当地面坡度较小时，可将钢尺抬平直接量取两点间的平距。从点A开始，将尺的零端对准A点，将尺的另一端抬平，使尺位于AB方向线上，然后用垂球将尺的末端投影到地面，再插上测钎，依次量出整尺段数和最后的余长，按式（4－1）计算AB的距离。当地面坡度较大，钢尺抬平有困难时，也可沿地面丈量倾斜距离S，用水准仪测定两点间的高差h，按以下两式计算水平距离D：

式中：ΔDh＝，称为量距的倾斜改正（高差改正）。

图4－5　倾斜地面量距

为防止错误和提高丈量精度，需要进行往返丈量，即由A量至B为往测，由B量至A为返测。往返测量的精度用相对误差K来衡量，其计算公式如下：

式中：K——相对误差，用分子为1的分数表示；

　　　M——比例尺分母，M越大，说明量距的精度越高。

钢尺量距相对误差在平坦地区不应大于1／3　000，困难地区不应大于1／1　000。若丈量的相对误差不超限，取往、返测量的平均值D平均作为两点间的水平距离D。

4．1．4　钢尺的检定

由于钢尺的实际长度（即钢尺两端点刻划间的标准长度）与其名义长度（即尺面刻注的长度）不相等，量距时易产生误差累积。因此，为了得到准确的距离，除了要掌握好量距的方法外，还必须进行钢尺检定，以求出其尺长改正值。

1）尺长方程式

由于钢尺受到不同拉力时尺长会有微小变化，在不同温度下钢尺的热胀冷缩性也会影响尺长变化。因此，在一定拉力下，用以温度为自变量的函数来表示尺长l（即为尺长方程式），如下式所示：

式中：l——钢尺的实际长度（m）；

　　　l0——钢尺的名义长度（m）；

　　　Δk——尺长改正值（mm）需经过钢尺检定，与标准长度相比较而得；

　　　α——钢的线膨胀系数，取值为0．011　5～0．012　5　mm／（m·℃）；

　　　t0——标准温度（℃），一般取20℃；

　　　t——量距时的实际温度（℃）。

每把钢尺都有相应的尺长方程式，只有确定了其尺长方程式，才能得到其实际长度。尺长方程式中的尺长改正值Δk必须经过钢尺检定，与标准长度相比较而求得。

2）尺长检定方法

在经过人工平整后的地面上，相距120　m（或150　m）的直线两端点埋设固定标志，用高精度的尺子量得两标志间的精确长度作为标准长度，在两端点标志之间的每一尺段处，地面均埋设有金属板，标明直线方向，钢尺检定时，可用铅笔按尺上端点分划划线。

检定时，用弹簧秤对钢尺施加一定拉力，用划线法在钢尺检定场上逐尺段丈量划线，最后一尺段读取余长，并用温度计量取地面温度。一次往返丈量称为一测回，共需丈量三测回。检定的相对精度不应低于1／100　000。

4．1．5　钢尺精密量距

钢尺量距一般方法的相对精度只能达到1／1　000～1／5　000，而钢尺精密量距的相对精度却可达到1／10　000～1／40　000。但使用的钢尺必须通过尺长检定确定了尺长方程式，以进行相应改正。

1）经纬仪定线

量距前应清除直线方向上的障碍物，然后将经纬仪安置于A点，在B点竖立标杆，用正倒镜分中法在视线方向上桩定略短于整尺段的分段点1，2，…，桩顶高出地面3～5　cm，同时在桩顶沿视线方向和垂直于视线方向各划一条直线，形成“十”字形，作为丈量的标志。

2）量距

用检定过的钢尺在相邻木桩之间进行丈量。丈量组由五人组成，两人拉尺，两人读数，一人记录。丈量时后尺手用弹簧秤给钢尺施加标准拉力（对30　m钢尺一般为100　N）。前后两尺手应同时在钢尺上读数，估读到0．5　mm。每尺段要移动前后钢尺位置三次，丈量结果之差不应超过2～3　mm。同时记录现场温度，估读到0．5℃。往测完毕后应立即进行返测。

3）桩顶高差测量

上述丈量结果是相邻桩顶间的倾斜距离，为了换算成水平距离，要用水准测量方法测出相邻桩顶间的高差。水准测量应往、返观测，往、返观测高差之差值不应超过±10　mm，若不超限，取其平均值作为最后结果。

4）量距成果整理

若距离丈量的相对精度要求不低于1／3　000，则尺长改正值大于尺长的1／10　000时应进行尺长改正；量距时温度与标准温度相差±10℃时，应进行温度改正；沿地面丈量的地面坡度大于1%时，应进行高差改正。因此，钢尺量距的成果整理一般包括丈量长度的计算、尺长改正、温度改正和高差改正。

（1）计算丈量长度

待测直线丈量若干尺段后所得的总长度称为丈量长度。第i尺段丈量长度di应等于后尺读数ai减前尺读数bi，即

则丈量长度D′为

（2）尺长改正

尺长方程式中的尺长改正值Δk除以钢尺的名义长度l0，可得每米尺长改正值，再乘以量得长度D′，即得该段距离的尺长改正值ΔDk，即

（3）温度改正

将丈量时的平均温度t与标准温度t0之差乘以钢的膨胀系数α（取自尺长方程式）再乘以量得长度D′，即得该段距离的温度改正值

（4）高差改正

在倾斜地面沿地面丈量时，用水准仪测得两端点的高差h，按下式可得该段距离的高差改正值

经过各项改正后的水平距离为

【例4－1】　使用30　m长的钢尺，用标准的100　N拉力沿地面往返丈量AB边的长度。钢尺的尺长方程式为

用水准仪测得AB之间的高差为h＝1．89　m，往测丈量时的地面平均温度t＝26．8℃，返测时t＝27．2℃，丈量长度和各项改正按公式（4－7）～式（4－10）计算，最后按式（4－11）计算往返丈量水平距离，计算结果见表4－1。

表4－1　钢尺量距成果整理

根据改正后的水平距离计算往返丈量的相对误差为

4．1．6　钢尺量距误差及注意事项

1）量距误差分析

测量误差一般都是从测量仪器、观测者和外界环境三方面因素加以分析。

（1）钢尺本身

对于新买来的钢尺必须经过严格检定后才能使用，使用过程中也应定期检定。尺长检定一般只能达到±0．5　mm的精度，检定后仍有残余误差，在精密量距成果整理时应根据尺长方程式进行相应的尺长改正。

（2）操作误差

①拉力误差

钢尺在丈量时所用拉力应与检定时拉力相同。若拉力变化70　N，尺长将改变1／10　000，故在一般丈量中，只要保持拉力均匀即可。而对于较精密的丈量工作，则需使用弹簧秤以控制拉力。

②温度误差

除钢尺本身长度随温度变化外，温度测量也存在误差，因为量距时测定的是空气温度，而非钢尺本身的温度。在阳光下，两者温差可达5℃。因此，应选择半导体温度计直接测量钢尺本身的温度。

③定线误差

由于标顶的尺段点不完全落在所要测量的直线上，导致丈量的距离是折线的长度而非直线距离。

④垂曲误差

当沿倾斜地面悬空丈量时，由于钢尺自重作用而使其中间下垂，垂曲误差的存在将使得丈量距离比实际距离大。因此，丈量时，必须使尺子水平，并尽量拉直。

⑤对点读数误差

由于观测者感官分辨率有限，丈量组成员之间配合不协调等原因导致对点、投点和读数都会产生误差，在丈量距离时尽量做到认真观测，配合协调。

⑥高差改正误差

由于水准测量的误差，以及公式（4－10）的近似处理，在高差改正计算中产生误差。

（3）外界环境影响

包括测区地形、风力、阴雨等因素的影响。因外界环境的影响将会在量距过程中产生误差。因此应选在天气晴好、无风等时段进行距离丈量。

2）钢尺的维护

（1）量距工作结束后，应用软布擦去尺上的泥和水，涂上机油，以防生锈。

（2）钢尺易折断，如果卷曲，不可硬拉。

（3）量距应避免人流和车辆高峰，严防被车辆碾过而折断。

（4）严禁沿地面拖拉钢尺，以免磨损尺面刻划线。

（5）钢尺使用过程中不应拉到头，如对于30　m钢尺，每尺段丈量25　m左右即可，以免钢尺从其圆形盒或金属架上脱落。

4．2　视距测量

在经纬仪或水准仪的十字丝平面内，与横丝平行且上下等间距的两根短丝称为视距丝。视距测量正是利用十字丝平面上的视距丝及刻有厘米分划的视距标尺，根据几何光学原理，可以同时测定两点间的水平距离和高差。视距测量的相对精度较低，约为1／200～1／300，低于直接量距，但观测速度快，操作简单，受地形限制小，曾广泛应用于地形测量的碎部测量中。

4．2．1　视距测量的基本原理

1）视准轴水平时

如图4－6所示，欲测定A、B两点间的水平距离D及高差h，可在A点安置经纬仪，B点立视距尺。设望远镜视线水平，瞄准B点视距尺，此时视线与视距尺相垂直。由于上、下视距丝间距固定，且对称于中丝，从上、下丝引出的视线在竖直面内所构成的夹角φ是固定的。设下丝和上丝在标尺上的读数分别为a和b，上、下丝读数之差称为视距间隔n，即

由于φ角是固定的，因此视距间隔n和立尺点离开测站的水平距离D成正比，即

上式中的比例系数C称为视距常数，可以由上、下两根视距丝的间距来确定。仪器在设计时，使C＝100。因此，视准轴水平时，测站至立尺点的水平距离计算公式为

此时，若十字丝中横丝在标尺上的读数为l（l称为中丝读数），测站桩顶至仪器横轴的高度用卷尺量得i（i称为仪器高），则可得视准轴水平时测站至立尺点的高差计算公式如下：

如果已知测站点的高程HA，则立尺点B的高程为

图4－6　视准轴水平时的视距测量

2）视准轴倾斜时

如图4－7所示，地面起伏较大时，视准轴需倾斜一个竖直角α，才能在标尺上进行视距读数。由于视准轴不垂直于视距尺，而相交成90°±α的角度，故上述公式不适用。如果能将标尺以中丝读数l这一点O为中心，转动一个α角，则标尺仍与视准轴垂直，如图所示。此时，上、下视距丝在标尺上的读数为a′、b′，视距间隔n′＝a′－b′，则倾斜距离为

图4－7　视准轴倾斜时的视距测量

倾斜距离化为水平距离的表达式如下：

在实际测量过程中，标尺总是直立的，不可能转到与视准轴垂直的位置，视距丝在标尺上的读数为a、b，视距间隔n＝a－b。为了能利用公式（4－17），必须找出n与n′之间的关系。图中φ角很小，约为34．38′，故可把∠aOa′和∠bOb′视为直角，则

将上式代入公式（4－17），得到视准轴倾斜时水平距离的计算公式：

计算出两点间的水平距离后，可根据竖直角α、仪器高i及中丝读数l，按下式计算两点间的高差：

在实际观测中，应尽可能使中丝读数l＝i，以简化计算。

4．2．2　视距测量的观测和计算

视距测量主要用于地形测量的碎部测量过程中，测定测站至地形特征点的水平距离及其高程，其观测按下列步骤进行：

（1）在测站点A安置经纬仪，量取仪器高i（取至“cm”），并抄录A点高程HA（取至“cm”）；（2）立标尺于待测点，使尺子竖直，尺面对准仪器；

（3）以盘左位置瞄准标尺，读取下丝、上丝和中丝读数a、b（估读至“mm”）和l（读到“cm”即可）；

（4）使竖盘水准管气泡居中，读竖盘读数。

以上完成一个点的观测，重复（2）、（3）、（4）步测定别的待测点。表4－2为记录和计算结果。

表4－2　视距测量记录

注：竖直角计算公式为α＝L－90°。

4．3　电磁波测距

电磁波测距是用电磁波（光波或微波）作为载波传输测距信号，以测量两点间距离的一种方法。电磁波测距具有操作简单、速度快、精度高、受地形限制少等传统测距方法无法比拟的优点。按照载波形式的不同，可将电磁波测距仪分为微波测距仪、激光测距仪和红外测距仪，后两者又称为光电测距仪。微波测距仪和激光测距仪多用于大地测量的长程测距，测程可达数十千米；红外测距仪多用于小地区控制测量、地形测量、建筑施工测量等的中、短程测距。下面主要介绍电磁波测距的基本工作原理、红外测距仪的测距方法以及测距成果整理。

4．3．1　电磁波测距原理

电磁波测距的基本原理是利用电磁波信号的已知传播速度c，测定它在两点间的传播时间t，以计算距离。如图4－8所示，欲测定A、B两点间的距离，将一台发射和接收电磁波的测距仪主机放在一端A点，另一端B放反射棱镜，则AB之间的距离S为

图4－8　电磁波测距基本原理

A、B两点一般并不同高，光电测距测定的是斜距S，应再通过竖直角观测，将斜距换算为平距D和高差h。

电磁波信号在大气中的传播速度约为3×108　m／s，由式（4－21）可知，测量距离的精度主要取决于测量时间t的精度。在电磁波测距中，一般采用直接法和间接法测量时间。对于直接测时法，若要求测距误差不超过±10　mm，测时误差应小于，要达到这样的测时精度是极其困难的。因此，对于精密测距，多采用间接测距法。目前大多数测距仪器是通过测量电磁波信号往返传播产生的相位移来间接测时，据此测定距离，这种测距方式称为相位式测距。

在测距仪的电磁信号发射源上输入一定的恒定电流，其发射信号强度不变，为等幅信号。若改变输入电流的大小，发射信号强度也随之改变。若输入交变电流，信号发射的强度会随着输入电流的大小发生强弱变化，这种信号称为调制信号。设调制信号的频率为f（每秒振荡次数），则该信号每振荡一次所需时间（即周期）为T＝1／f，该调制信号的波长λ为

因此

如图4－9所示，在往返传播时间内，调制信号的相位变化了N个整周及不足一个整周的尾数Δφ，则往返传播时间t可表示为

将公式（4－23）、（4－24）代入公式（4－21）便可得到相位式测距的基本公式：

与卷尺量距相似，相位式测距相当于用一把长度为λ／2的“测尺”来丈量距离，“整尺段数”为N，“余长”为（λ／2）×（Δφ／2π）。根据公式（4－22）可知，“测尺”的长度由调制信号的频率来确定，当f1＝15　MHz时，“测尺”长度λ1／2＝10　m；当f2＝150　kHz时，“测尺”长度λ2／2＝1　000　m。在测距仪的构造中，用相位计按相位比较的方法只能测定往、返调制信号相位差的尾数Δφ，而无法测定整周数N。因此，只有当待测距离小于“测尺”长度时，式（4－25）才能有确定的数值。另外，用相位计一般只能测定四位有效数值。因而在相位式测距仪中有两种调制信号，构成两种“测尺”长度。以短测尺（或精测尺）保证精度，以长测尺（或粗测尺）保证测程，配合测距。

图4－9　相位式测距原理

4．3．2　红外测距仪及其使用

测程在5　km以下的测距仪称为短程测距仪。这类测距仪体积较小，一般都采用红外光源，使用时安装于经纬仪之上，可同时观测角度和距离。一方面可利用经纬仪的望远镜寻找并瞄准目标，另一方面可根据经纬仪的竖盘读数计算视线的竖直角，使测得的倾斜距离换算为水平距离和高差。国内外这种测距仪有多种型号，表4－3列出了其中几种。

表4－3　短程红外测距仪

注：1　ppm＝1　mm／1　km＝1×10－6，即测量1　km的距离有1　mm的比例误差。

由于各种型号的测距仪结构不同，其操作部件也有差异，使用时应按照操作手册要求逐一进行操作。测距仪进行距离测量的步骤如下：

（1）安置仪器和反射棱镜

将经纬仪安置在测线上的一个端点，装好电池，将测距仪连接到经纬仪上。在另一端点安置棱镜，棱镜面应对准测距仪。

（2）观测竖直角，记录气压和温度

用经纬仪望远镜瞄准觇板中心，使竖盘指标水准管气泡居中，读取竖盘读数，并测定气压和温度。

（3）距离测量

打开测距仪，照准棱镜中心，检查电池电压、气象数据和棱镜常数，若显示气象数据和棱镜常数与实际数据不符，应输入正确数据。按测距键，几秒钟后即可获得相应的斜距。

测距仪属于贵重精密测量仪器，使用时的注意事项如下：

（1）在运输和携带中，要防震防潮；在装卸和操作过程中，要连接牢固，电源插接正确，严格按照操作程序使用仪器；迁站时必须将仪器装箱。

（2）在阳光直射下，必须撑伞保护仪器；通电作业时，严防强光直射物镜，以免接收系统中的光敏元件损坏。

（3）不宜在变压器、高压线附近设站，应使仪器免受电磁场干扰。

（4）恰当地选择观测时机，避免在强烈阳光和高温下连续作业。

4．3．3　测距成果整理

测距仪观测到的是测线两端点的斜距，必须经过改正才能得到测线两端正确的水平距离。

1）测距仪常数改正

仪器在使用的过程中，由于电子元件老化等原因，实际的调制频率与设计的标准频率有微小变化时，“测尺”长度误差将会影响所测距离，其影响与距离的长度成正比，称为测距仪的乘常数R，其单位为mm／km。距离的乘常数改正值ΔSR为

式中：S′——距离的观测值。

由于电子元件的老化和反射棱镜的更换等原因，往往使仪器的显示距离与实际距离不一致，而存在一个与观测距离长短无关的常数差，称为测距仪的加常数C。距离的加常数改正值ΔSC为

测距仪的加常数C和乘常数R可以通过测距仪在标准长度上的检定获得。

2）气象改正

影响光速的大气折射率n为光的波长λg、气温t和气压p的函数。固定型号的测距仪，其发射光源的波长λg也是固定的。因此，根据距离测量时测定的气温和气压，可以计算距离的气象改正参数A。距离的气象改正参数与距离的长度成正比，单位取mm／km，在仪器说明书中一般都有A的计算公式。距离的气象改正值ΔSA为

3）改正后的斜距、平距和高差的计算

斜距观测值S′经过乘常数改正、加常数改正和气象改正后，得到改正后的斜距S

两点间的平距D和两点间仪器和棱镜的高差h′是斜距在水平和竖直方向的分量，即

式中：α———斜距方向的竖直角，测距时由经纬仪观测获得。

4．4　直线定向

确定地面两点在平面上的位置，不仅需要测量两点间的距离，还要确定经过这两点的直线的方向。为此选择一个基准方向，根据该直线与基准方向之间的关系确定该直线的方向，这项工作称为直线定向。

4．4．1　基准方向

测量中常用的基准方向有真子午线方向、磁子午线方向和坐标纵轴方向。

1）真子午线方向

通过地球表面上一点的真子午线的切线方向称为该点的真子午线方向，真子午线方向通常用天文测量方法或陀螺经纬仪方法测定。

2）磁子午线方向

在地球磁场的作用下，磁针自由静止时其轴线所指的方向称为磁子午线方向。磁子午线方向可用罗盘仪测定。

3）坐标纵轴方向

第1章已讲过，我国采用高斯平面直角坐标系，每一投影带中央子午线的投影为该带的坐标纵轴方向，因此，该带内直线定向采用该带的坐标纵轴方向作为标准方向。如果采用假定坐标系，则用假定坐标纵轴作为直线定向的标准方向。

4．4．2　方位角

测量工作中，常采用方位角和象限角来表示直线的方向。由标准方向的北端起，顺时针方向量到某直线的夹角，称为该直线的方位角，角值范围为0°～360°。

1）真方位角、磁方位角和坐标方位角

根据基准方向的不同，方位角又分为真方位角、磁方位角和坐标方位角三种。如图4－10所示，若标准方向ON为真子午线方向，并用A表示真方位角，则A1、A2、A3、A4分别表示直线O1、O2、O3、O4的真方位角；若ON表示磁子午线方向，则各角为相应直线的磁方位角，以Am表示；若ON为坐标纵轴方向，则各角分别为相应直线的坐标方位角，以α表示。

2）三种方位角间的关系

由于三种基准方向并不重合，所以一直线的三种方位角并不相等，如图4－11所示。其真方位角、磁方位角和坐标方位角之间的换算关系见公式（4－31）：

图4－10　方位角

图4－11　三种方位角之间的关系

式中：δ——磁偏角，磁针北端偏于真子午线以东称东偏，δ取正值；否则，取负值。我国磁偏角的变化大约在－10°～6°之间。

　　　γ——子午线收敛角，即地面上各点的真子午线方向与中央子午线方向（坐标纵轴方向）的夹角。中央子午线以东，各点的坐标纵轴偏在真子午线的东边，γ取正值；中央子午线以西，γ取负值。

4．4．3　正、反坐标方位角

任一直线都具有正、反两个方向，直线前进方向的坐标方位角叫做正方位角，其相反方向的方位角就叫反方位角。如图4－12所示，α12和α21分别为直线12→的正、反坐标方位角，两者之间存在下列关系：

图4－12　正、反坐标方位角

4．4．4　坐标方位角的推算

测量工作中直线的坐标方位角不是直接测定的，而是通过测定待求方向线与已知边的连接角以及各相邻边之间的水平夹角，来推算待求边的坐标方位角。如图4－13所示，B、A为已知点，AB边的坐标方位角为已知，通过连测求得AB边与A1边的连接角为β′，测出了各点的右（或左）角βA、β1、β2、β3和β4，现在要推算A1、12、23、34、4A各边的坐标方位角。所谓右（或左）角是指以编号顺序为前进方向的右（或左）侧的角度。从图中可以看出：

图4－13　坐标方位角的推算

每一边的正反坐标方位角相差180°，因此，α1　A＝αA1＋180°，由此得到

归纳上述公式，可以推算出按后面一边的坐标方位角α后和导线右角β右表示导线前进方向相邻边坐标方位角α前的公式：

由于导线左角和右角的关系为β左＋β右＝360°，因此，按导线左角推算导线前进方向各边坐标方位角的一般公式为

4．4．5　象限角

从X轴的一端顺时针或逆时针转至某直线的水平角度（0°～90°）称为象限角，以R表示，如图4－14所示。由于三角函数运算时，从三角函数表或计算器中只能得到绝对值小于或等于90°的象限角，因此，需要进行象限角和坐标方位角的换算。象限角与坐标方位角的换算关系列于表4－4。

图4－14　象限角与坐标方位角

表4－4　象限角与坐标方位角的换算关系

4．4．6　直角坐标与极坐标的换算

1）地面点的坐标和两点间的坐标增量

第1章已介绍过，在测量工作中，为了确定地面点的点位，用高斯分带投影的方法建立平面直角坐标系，中央子午线方向为X轴方向，与之相垂直的方向为Y轴方向，处于该投影带中任一点的位置可用坐标对（x，y）表示。如图4－15所示，点1、2的平面直角坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）。两点坐标值之差为坐标增量

由上式可得

图4－15　直角坐标和极坐标的关系

即根据点1的坐标及点1至点2的坐标增量，可计算点2的坐标。

需要注意的是，由点1到点2的坐标增量和由点2到点1的坐标增量绝对值相等而符号相反，即Δx12＝－Δx21，Δy12＝－Δy21。

2）直角坐标和极坐标的换算

在高斯平面直角坐标系中，两点之间的位置关系有两种表达方式：直角坐标表示法和极坐标表示法。前者以两点间的坐标增量Δx、Δy表示，后者以两点间连线（边）的坐标方位角α和边长（水平距离）D表示。

图4－15为两点间直角坐标和极坐标的关系。在平面控制网的内业计算中，经常需要进行这两种坐标的换算。若已知两点间的边长和坐标方位角，计算两点间的坐标增量，称为坐标正算；若已知两点间的坐标增量，计算两点间的边长和坐标方位角，则称为坐标反算。

（1）坐标正算

由图4－15，若已知1、2两点间的边长D12及其坐标方位角α12，则两点间坐标增量的计算公式为

（2）坐标反算

根据直角坐标计算两点间边长和坐标方位角的公式如下：

用公式（4－38）计算坐标方位角时，不论用三角函数表或一般的计算器，只能得到象限角，此时可根据坐标增量的正负决定坐标方位角所在的象限，然后按表4－4将象限角换算为坐标方位角。各象限坐标增量的正负号见图4－16。

图4－16　坐标增量的正负号

本章小结

本章主要包括距离测量和直线定向两部分内容。

距离测量是确定地面点位的基本测量工作之一，按照测量原理和手段的不同，可分为卷尺量距、视距测量、电磁波测距等方法。

当地面上两点相距较远时，用卷尺一次（一尺段）不能量完，需在两点连线方向上标定若干点，使其位于直线上，称为直线定线。直线定线分目测定线法和经纬仪定线法。

卷尺量距作为传统的量距方法。距离测量分普通量距和精密量距。

精密量距的钢尺需要检定，建立钢尺的尺长方程式。精密量距需要对所量距离进行尺长改正、温度改正和高差改正。

视距测量是经纬仪大比例尺地形图测绘中碎部测量的主要观测手段。视距测量是利用光学经纬仪或水准仪上望远镜的十字丝分划板上的视距丝及刻有厘米分划的视距标尺，根据几何光学原理，同时测定两点间的水平距离和高差的一种方法。视距测量分视线水平时的视距测量和视距倾斜时的视距测量。

电磁波测距是距离测量的主流和方向，正在多方位多领域上取代传统量距方法，其测距原理有脉冲式测距原理和相位式测距原理，测距仪观测到的是测线两端点的斜距，必须经过改正才能得到测线两端的水平距离。其成果整理除将斜距改正为平距外，还要进行测距仪常数改正、气象改正（即温度、气压改正）。

根据直线与基准方向之间的关系确定直线方向，这项工作称为直线定向。

测量中常用的基准方向有真子午线方向、磁子午线方向和坐标纵轴方向。

测量工作中，常采用方位角和象限角来表示直线的方向。由基准方向的北端起，顺时针方向量到某直线的夹角，称为该直线的方位角，角值范围为0°～360°。根据基准方向的不同，方位角又分为真方位角、磁方位角和坐标方位角三种。

任一直线都具有正、反两个方向，直线前进方向的坐标方位角叫做正方位角，其相反方向的方位角就叫反方位角。测量工作中直线的坐标方位角不是直接测定的，而是通过测定待求方向线与已知边的连接角以及各相邻边之间的水平夹角，来推算待求边的坐标方位角。

从X轴的一端顺时针或逆时针转至某直线的水平角度（0°～90°）称为象限角，以R表示。象限角与坐标方位角之间可以进行换算。

地面点的坐标确定和两点间的坐标增量计算。由两点间的边长及坐标方位角，计算两点间的坐标增量，称为坐标正算；由两点的坐标计算两点间的边长和坐标方位角，称为坐标反算。

习题与思考题

1．某钢尺的名义长度为30　m，经检定实际长度为29．998　m，检定温度t＝20℃，拉力P ＝100　N。用该尺对某距离进行丈量，丈量长度为182．260　m，丈量时温度t＝33．6℃，P＝100　N，两点间高差为1．36　m，求水平距离。

2．表4－5为用经纬仪进行视距测量的记录。试计算测站至各照准点的水平距离及各照准点的高程。

表4－5

注：竖直角计算公式为α＝L－90°。

3．简述相位式测距原理。电磁波测距需要进行哪些成果改正？

4．何谓直线定向？基准方向有哪几种？如何进行直线定向？

5．已知顶点为顺时针编号的四边形内角为β1＝94°，β2＝89°，β3＝86°，β4＝91°。又已知α12＝29°46′，试求其他各边的坐标方位角。

6．已知点1的坐标x1＝150　m，y1＝273　m，点2的坐标x2＝50　m，y2＝100　m，试确定直线12的坐标方位角α12。