定权的常用方法

定权的常用方法_测量学

6　测量误差的基本知识

6．1　测量误差的概念

6．1．1　测量误差产生的原因

在测量工作中，人们发现当某一未知量，如某一段距离、某一角度或某两点间的高差进行多次重复观测时，无论测量仪器多么精密，观测进行得多么仔细，所得的结果往往是不一致的。又若已知由几个观测值构成的某一函数值应等于某一理论值，而实际观测值代入上述函数计算时通常与理论值不相等。例如观测一个平面三角形的三个内角，其和不等于理论值180°。这种差异实质上表现为观测值（或其函数值）与未知量的真值（或其函数的理论值）之间存在差值，这种各观测值相互之间，或观测值与其理论值之间存在的某些差异现象，在测量工作中是普遍存在的。这种差值称为测量误差。即

测量误差＝观测值－真值

测量误差的产生，概括起来有以下三个方面的原因：

首先，是观测者感觉器官的鉴别能力和技术水平的限制，在进行仪器的安置、瞄准、读数等工作时都会产生一定的误差。与此同时，工作态度造成的某种疏忽也会对观测结果产生影响。

其次，观测使用的仪器工具都有一定的精密度，仪器本身也含有一定的误差，如钢尺的最小分划以下的尾数就难以保证其准确性，又如水准测量时水准仪的视准轴不水平必然会对水准测量观测结果带来误差。

再有，在观测过程中所处的外界自然条件，如地形、温度、湿度、风力、大气折光等因素都会给观测值带来误差。

在实际测量工作中，上述人、仪器和客观环境三个方面是引起测量误差的主要因素，统称“观测条件”。观测成果的精确度称为“精度”。在相同的观测条件下进行的观测，称为同精度观测。如一个具有同等技术水平和工作态度的人使用相同精度的仪器，以同样的方法，在同一客观环境下所进行的观测称为“同精度观测”。反之，各个观测使用不同精度的仪器，或观测方法、技术水平不同，或客观环境差别较大，则是不同精度的观测。

在测量工作中，除了不可避免的误差外，有时还会出现错误，或称为粗差，如测量人员不正确地操作仪器，以及观测过程中测错、读错、记错等，是由于观测者疏忽而造成的。粗差在测量结果中是不允许存在的。为了杜绝粗差，除了认真作业外，常采用一些检核措施，如重复观测和多余观测等。

6．1．2　测量误差的分类与处理方法

测量误差根据其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶然误差。

1）系统误差

在相同的观测条件下，对某一量进行多次观测，如果测量误差在正负号及量的大小上表现出一致性的倾向，即保持为常数或按一定的规律变化的误差，称为系统误差。这种误差随着观测量的增多而逐渐累积。例如，钢尺量距时，钢尺的名义长度为30　m，而检定后的实际长度为30．005　m，每量一个整尺，就比实际长度小0．005　m，这种误差的大小与所量直线的长度成正比，而且正负号始终一致；又如，水准测量时，水准仪的视准轴不平行于水准管轴而引起的高差误差等。系统误差对测量结果的危害性极大，但是，由于系统误差是有规律性的，所以可以设法将它消除或消减。例如，钢尺量距时，可以用尺长方程式对测量结果进行尺长改正；又如水准测量中用前后视距相等的办法来减少仪器视准轴不平行于水准管轴给测量结果带来的影响；经纬仪测角时用盘左、盘右分别观测取平均值的方法可以减弱视准轴不垂直于横轴的影响等。

消除或消减系统误差的方法有：

（1）应用计算改正数的方法，对原始观测值进行处理。例如，在量距前将所用钢尺与标准长度比较，得出差数，进行尺长改正。

（2）将系统误差限制在允许范围内。仔细检定和校正仪器，在与检定时相同的条件下进行测量。

（3）采用适当的观测方法。例如进行水准测量时，仪器安置在离两水准尺等距离的地方，可以消除水准仪水准管轴不平行于视准轴的误差；又如用盘左、盘右两个位置测水平角，可以消除经纬仪视准轴不垂直于横轴的误差。

2）偶然误差

在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，如果测量误差在正负号及数值上都没有一定的规律性，这类误差称为偶然误差。

偶然误差是由于人的感觉器官和仪器的性能受到一定的限制，以及观测时受到外界条件的影响等原因所造成的。例如，用望远镜瞄准目标时，由于观测者眼睛的分辨能力和望远镜的放大倍数有一定限度、观测时光线强弱的影响，致使照准目标不能绝对正确，可能偏左一些，也可能偏右一些。又如，水准测量估读毫米时，每次估读也不绝对相同，其影响可大可小，纯属偶然性，数学上称随机性，所以偶然误差也称随机误差。单个偶然误差的出现没有规律性，但在相同条件下重复观测某一量，出现的大量偶然误差却具有一定的规律性。概率论就是研究随机现象出现规律性的学科。与系统误差不同，偶然误差不可能通过测量的方法加以消除。偶然误差是本章研究的主要对象。

为了提高观测成果的质量，同时也为了发现和消除错误，在测量工作中，观测值的个数必须多于必要观测值的个数，称为多余观测。例如，测量一平面三角形的内角，只需要测得其中的任意两个，即可确定其形状，但实际上也测第三个角，以便检校内角和，从而判断观测结果的准确性。

在测量工作中，系统误差和偶然误差总是同时存在的，由于系统误差具有积累性，它对观测结果的影响尤为显著，所以在测量时要利用各种方法消除系统误差的影响，从而使测量误差中偶然误差处于主导地位。

学习误差理论知识的目的，是为了了解偶然误差的规律，合理地处理观测数据，即根据一组带有偶然误差的观测值，求出未知量的最可靠值，并衡量其精度；同时，根据偶然误差的理论指导实践，使测量成果达到预期要求。学习测量误差方面的知识，对于今后从事科学研究工作，处理观测资料和实验数据，也是不可缺少的基础知识。

6．1．3　偶然误差的特性

在观测结果中，主要存在的是偶然误差，偶然误差产生的原因纯属随机性，不能用计算改正或用一定的观测方法简单地加以消除，只有通过大量的观测才能揭示其内在的规律。例如在相同的观测条件下，对200个三角形的三个内角进行独立观测，设三角形内角和的真值为X，观测值为l，真误差为Δ，则

现取误差区间的间隔dΔ＝1″，将这一组误差按其正负号与误差值的大小排列。出现在某区间内误差的个数称为频数，用k表示；频数除以误差的总个数n得k／n，称为误差在该区间的频率。统计结果列于表6－1，此表称为误差频率分布表。

表6－1　误差频率分布表

以各区间内误差出现的频率与区间间隔值的比值为纵坐标，以误差的大小为横坐标，可以绘出误差直方图，如图6－1。如果继续观测更多的三角形，即增加误差的个数，当n→∞时，各误差出现的频率也就趋近一个确定的值，这个数值就是误差出现在各区间的概率。此时如将误差区间无限缩小，那么图6－1中各长方条顶边所形成的折线将成为一条光滑的连续曲线，如图6－2，这条曲线称为误差分布曲线，呈正态分布。曲线上任一点的纵坐标y均为横坐标Δ的函数，其函数形式为

式中：e——自然对数的底，约为2．718　3；

　　　σ——观测值的标准差，其平方σ2称为方差；

　　　Δ——真误差。

图6－1　误差直方图

图6－2　误差分布

曲线通过上面的实例，可以概括偶然误差的特性如下：

（1）有限性。在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝对值不会超过一定的界限，或者说，超过一定限值的误差，其出现的概率为零。

（2）单峰性。绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的次数多，或者说，小误差出现的概率大，大误差出现的概率小。

（3）对称性。绝对值相等的正误差与负误差出现的次数大致相等，或者说，它们出现的概率相等。

（4）抵偿性。当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近于零。

式（6－3）表示偶然误差的数学期望等于零。

上述偶然误差的第一个特性说明误差出现的范围；第二个特性说明误差绝对值大小的规律；第三个特性说明误差符号出现的规律；第四个特性可由第三个特性导出，它说明偶然误差具有抵偿性。

6．2　评定精度的标准

测量的任务不仅是对一个未知量进行多次观测，求出最后结果，还必须对测量结果的精确程度进行评定，因此需建立一种衡量精度的标准。所谓精度，就是指误差分布密集或离散的程度。6．1节我们曾用列表、画图、绘制误差分布曲线的方法表示一组观测值的误差密集或离散的程度，每组观测值都各自对应有确定的误差分布，它们之间可以进行精度比较，但在实际应用中不太方便。因此，测量中常用中误差、相对误差及允许误差等作为精度评定的标准。

6．2．1　中误差

观测误差的标准差σ，其定义为

用上式求σ值要求观测数n趋近无穷大，实际上是很难做到的。在实际测量工作中，观测数总是有限的。为了评定精度，一般采用下列公式：

式中：m——中误差；

　　［ΔΔ］——一组同精度观测误差Δi自乘的总和；

　　　n——观测次数。

比较式（6－4）与式（6－5）可以看出，标准差σ与中误差m的不同在于观测个数的区别，标准差为理论上的观测精度指标，而中误差则是观测次数n为有限时的观测精度指标。所以，中误差实际上是标准差的近似值，统计学上称为估值。

必须指出，在相同的观测条件下进行的一组观测，测得的每一个观测值都为同精度观测值，也称为等精度观测值。由于它们对应着一个误差分布，有一个标准差，其估值为中误差，因此，同精度观测值具有相同的中误差。但是同精度观测值的真误差彼此并不相等，有的差异还比较大，这是由于真误差具有偶然误差的性质。

【例6－1】　设有甲、乙两组观测值，其真误差分别为

甲组：－8″、－5″、－3″、0″、＋2″、＋6″、－1″

乙组：＋6″、＋4″、－2″、0″、－3″、－4″、＋1″

则两组观测值的中误差分别为

由此可以看出甲组观测值比乙组观测值的精度低，因为甲组观测值中有较大的误差，其平方能反映较大误差的影响，因此，测量工作中采用中误差作为衡量精度的标准。

应该再次指出，中误差m是表示一组观测值的精度。例如，m甲是表示甲组观测值中每一观测值的精度，而不能用每次观测所得的真误差（－8″、－5″、－3″、0″、＋2″、＋6″、－1″）与中误差（4．4″）相比较，来说明一组中哪一次的精度高或低。

6．2．2　相对误差

测量工作中，有时用中误差还不能完全表达观测结果的精度。例如，分别丈量了1　000　m及500　m两段距离，其中误差均为0．1　m，并不能说明丈量距离的精度，因为量距时其误差的大小与距离的长短有关，所以应采用另一种衡量精度的方法，即相对中误差或相对误差K，它是中误差的绝对值与观测值的比值，通常用分子为1的分数形式表示。

例如上例中前者的相对误差为，前者分母大比值小，丈量精度高。

6．2．3　允许误差

根据偶然误差的第一特性可以看出，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定限值，这个限值就是极限误差。由误差理论及分布曲线可知，在一组等精度观测中，真误差的绝对值大于一倍中误差的个数约占整个误差个数的32%；大于两倍中误差的个数约占4．5%；大于三倍中误差的个数只占0．3%。因此常以两倍（或三倍）中误差的数值作为极限误差，或称为允许误差（或容许误差）。允许误差可用下式表示：

有关测量规范对各种测量工作，按不同的要求分别规定了允许误差的值，如果观测误差超过了规定的允许误差，被认为是不可靠的，该观测成果为超限值，应予剔除，重新观测。

6．3　误差传播定律及其应用

6．3．1　观测值的函数

前面已经叙述了一组同精度观测值的精度评定问题。但是在实际工作中许多未知量不可能或者不便于直接观测，而是由一些直接观测值根据一定的函数关系计算而得。例如，欲测定两点间的高差h，可由直接观测的竖直角α和距离D以函数关系h＝Dsinα来表示。显然函数h的中误差与观测值D和α存在一定的关系，阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。

6．3．2　误差传播定律

1）和差函数的中误差

设某一量Z为两个独立观测值x与y之和（或差），则函数式为

令函数Z及观测值的真误差分别为Δz，Δx，Δy，则

将上式减去式（6－9），得

若x和y各同精度观测了n次，则可写出n个式子

将上列各式平方后相加，得

两边各除以n后，得

因为Δx1、Δx2、…、Δxn及Δy1、Δy2、…、Δyn都是偶然误差，它们的乘积仍为偶然误差，其出现正负的机会是相等的。根据偶然误差的第四特性，当n→∞时，上式的第三项ΔxΔyn→0，按中误差定义，得

即两个独立观测值的代数和的中误差平方等于这两个独立观测值中误差平方的和。

由式（6－11）很易推广到多个独立观测值的代数和情况。

设函数Z等于n个观测值的和（或差），即

根据上述的推导方法，可得到

即多个观测值的代数和的中误差平方等于各个观测值中误差平方的和。

【例6－2】　自水准点BM5向水准点BM6进行水准测量，设各段观测高差分别为：BM5～1h1＝＋4．569　m，1～2h2＝＋6．358　m，2～BM6h3＝－2．147　m，其中误差为：mh1＝2　mm，mh2＝4　mm，mh3＝3　mm。求BM5、BM6两点的高差及其中误差为多少？

解：　BM5、BM6两点的高差h＝h1＋h2＋h3＝8．780（m）由式（6－13）可知，高差中误差的平方

则得　　mh＝5．4（mm）

2）倍数函数的中误差

设有函数为

根据式（6－13），得

【例6－3】　在1∶500地形图上量得某两点间的距离d＝234．5　mm，其中误差为md＝0．2　mm，求该两点间的地面水平距离D的值及其中误差mD。

解：　D＝500d＝500×0．234　5＝117．25（m）

mD＝500×（0．000　2）＝0．10（m）

3）线性函数的中误差

设有函数

以Z1＝K1x1，Z2＝K2x2，…，Zn＝Knxn代入式（6－16），得

Z＝Z1＋Z2＋…＋Zn

根据式（6－13），得

因为观测值乘以某常数后的中误差等于该常数乘以观测值的中误差，即

mZ1＝K1m1，mZ2＝K2m2，…，mZn＝Knmn

将它们代入上式，得

【例6－4】　对某段距离测量n次，其各次观测值的中误差分别为ml1，ml2，…，mln求其算术平均值x的中误差mx。

解：　观测值为l1，l2，…，ln，其算术平均值x为

由式（6－17），得

设各观测值都是等精度观测，故

则算术平均值的中误差为

式（6－18）说明在等精度观测值中，算术平均值的中误差是独立观测值的中误差的。

4）一般函数的中误差

设有函数式中xi（i＝1，2，3，…，n）为独立观测值，已知其中误差为mi（i＝1，2，3，…，n），求不便直接观测的函数Z的中误差。

当xi具有真误差Δxi时，函数Z相应地产生真误差Δz，Δxi和Δz都是微小值，由数学分析可知，变量的微小变化和函数的微小变化之间的关系，可以近似地用函数全微分来表达，并通过用Δxi和Δz取代微分符号dxi和dZ。即

为求得函数与观测值之间的中误差关系式，设想进行了K次观测，则可以写出K个式子：

将上面各式分别取平方后求和，然后两端各除以K得

设各观测值xi为独立观测值，则Δxi·Δxj当i≠j时亦为偶然误差，根据偶然误差的第四个特性，式（6－22）中最末一项当K→∞时趋近于零，即

故式（6－20）可以写成：

根据中误差的定义，上式可以写成：

当认为K为有限值时，写成中误差形式：

即

上式即为由独立观测值计算函数中误差的一般形式。

【例6－5】　设有某函数Z＝Ssinα，式中S＝150．11　m，其中误差mS＝0．05　m，α＝119°45′00″，其中误差mα＝20．6″。试求Z的中误差mZ。

解：　Z＝Ssinα

按式（6－23）

计算过程中：ρ″＝206　265″，mS单位为cm，需将角值化成弧度值。

6．3．3　误差传播定律的应用

1）水准测量精度

设在A、B两点间用水准仪观测了n次，则A、B两点间的高差为

h＝h1＋h2＋…＋hn

设n次观测为等精度观测，其中误差为m站，由误差传播定律可知A、B间的高差的中误差为

即

水准测量时，当各测站高差的观测精度基本相同时，水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比；同样可知，当各测站距离大致相等时，高差的中误差与距离的平方根成正比，即

式中：L——A、B的总长；

　　　l——各测站间的距离；

　　　m千米——每千米路线长的高差中误差。

2）由三角形闭合差计算测角精度

设三角形的内角观测值的和为Li，三内角的观测值分别为αi、βi、γi（i＝1，2，3，…，n），则

Li＝αi＋βi＋γi

三角形内角和的闭合差Wi＝αi＋βi＋γi－180°，其内角和闭合差的中误差为

故根据误差传播定律：

所以

式（6－25）称为菲列罗公式，该式是用真误差Wi来计算测角中误差的，它可以用来检验经纬仪的测角精度。

3）水平角测量精度

经纬仪观测水平角是测定构成水平角的两个方向值之差，即β＝l1－l2。设经纬仪一测回的方向中误差为ml，则根据误差传播定律，一测回水平角的中误差为

例如，DJ6级经纬仪测角，ml＝±6″，mβ＝　±√2·6″＝±8．5″。

4）距离丈量精度

若用长度为l的钢尺在相同条件下（等精度）丈量一直线D，共丈量n个尺段，设已知丈量一尺段的中误差为ml，试求直线长度D的中误差mD。因为直线长度为各尺段之和，故

D＝l1＋l2＋l3＋…＋ln

按公式（6－13）得

又由于D＝nl，即，将其代入上式，得

当D＝1时，则μ＝mD，即单位长度的丈量中误差。因此，距离丈量的中误差与距离的平方根成正比。

6．4　等精度观测值的平差

无论哪一种观测，为确定一个未知量的大小，一般都对未知量进行多余观测，这样观测值之间就出现了矛盾，因此必须进行平差。进行平差的目的，就是对观测数据进行处理，求得未知量的最或是值（或最可靠值），同时评定观测值及最或是值的精度。

存在多余观测就存在多种求值的计算途径，因此，必须寻找一种方法，使得通过全部观测数据所求的解不仅是唯一的，而且是最优的。最小二乘法是普通测量和大地测量中最常用的一种平差方法，同时它也可以实现上述目标。所以，最小二乘法是平差时应遵循的原则。

设l1，l2，…，ln为一组相互独立的观测值，L1，L2，…，Ln为各观测值的最或是值，其值Li＝li＋vi。vi为观测值的改正数，各观测值的中误差为m1，m2，…，mn。由未知数概率密度函数可知，当密度函数愈大，误差出现的概率愈大，最或是值与观测值的偏差愈小。欲使密度函数最大，必须使

（1）不等精度观测时：P取最小值

式中：P——观测值的权。

　　（2）等精度观测时：最小v21＋v22＋…＋v2n＝［vv］取最小值

平方是一个数的自乘，也叫二乘，因此称为最小二乘法。

6．4．1　求最或是值

设对某量进行n次等精度观测，观测值为li（i＝1，2，…，n），最或是值为L，观测值的改正数为vi，则有

以上各式等号两边平方求和，得

根据最小二乘原理，必须使［vv］取最小值，所以，将［vv］对L取一、二阶导数：

由于二阶导数大于零，因此，一阶导数等于零时，［vv］取最小值，由此得

由此可知，等精度观测值的算术平均值就是最或是值。

6．4．2　观测值的中误差

前面已经叙述了观测值中误差的计算公式为

真值X有时是知道的，例如三角形三个内角之和为180°，但更多的情况下，真值是不知道的，因此观测值的中误差可用观测值的改正数vi来推求。

或者说

li＋vi＝L

正因为观测值含有误差，才加以改正，所以误差与改正数的符号应相反。下面将推导利用改正数vi计算中误差的公式。

式（6－28）与式（6－29）相加，得

Δi＝（L－X）－vi

上式中L－X是最或是值（算术平均值）的真误差，也难以求得。设L－X＝δ，则

对上式两边从1到n求和再除以n，得

将式（6－29）两边从1到n求和后，得

又由式（6－27）知

将上式代入式（6－32），得

故式（6－31）中右边第二项为零。第三项中的δ是算术平均值的真误差，一般是不知道的，因而常近似地用算术平均值的中误差M来代替，据式（6－18）可知

则式（6－31）即可写成

根据中误差的定义，上式可写成

整理后，得

这就是用改正数求等精度观测值中误差的公式，称为贝塞尔公式。

【例6－6】　对某段距离进行了五次等精度测量，观测数据见表6－2，试求该距离的算术平均值，一次观测值的中误差、算术平均值的中误差及相对中误差。

解：计算过程及结果，列在表6－2中。

表6－2　观测值及算术平均值中误差计算表

算术平均值的中误差也可根据公式（6－33）代入式（6－18）得来计算。

由于算术平均值的中误差是观测值中误差的，因此测回数的增加可以提高精度。即随着n值的不断增加，mx值会不断减小，观测值x的精度提高。如观测次数增加为4次时精度提高1倍。但是，随着观测次数增加到一定数目后，精度提高不多。如观测次数由4次，提高到16次时，精度才增加1倍。因此，提高最或是值的精度单靠增加观测次数效果不太明显，还需改善观测条件，如采用较高精度的仪器，提高观测技能，以及在良好的外界观测条件下进行观测等。

6．5　不等精度观测值的平差

6．5．1　权的概念

从前面讨论中，我们可以知道，在等精度观测时，可以取各次观测值的算术平均值作为最或是值，并可求出各次观测值的中误差及算术平均值的中误差。但在测量实践中，有时会遇到不等精度观测的问题。

例如，设甲、乙二人对某一量采用不等精度的观测，如表6－3。

M甲＞M乙，说明x乙比x甲的精度高。因为x甲是两次的平均值，x乙是三次的平均值，它们在总平均值x中所占的分量是不同的，这种在总平均值中所占的分量叫做权，通常以P表示x甲及x乙之权，如表6－3中取P甲＝2，P乙＝3。

表6－3　不等精度观测值的中误差

所以权与中误差的平方成反比。在同样的观测条件下，如按同样的技术水平与相同的仪器进行观测，则权与观测的次数成正比。

权与中误差均用来衡量观测值的质量，这是它们的相同处，但两者是有区别的，中误差是表示观测值的绝对精度，而权是表示观测值之间的相对精度。

当观测值的权等于1时，称为单位权，其相应观测值的中误差，称为单位权中误差，以m0（或μ）来表示。表6－3中每个l为一次观测所得，设其权为1时，其中误差m即为单位权中误差，即m＝m0，则

故

这就是权与其中误差以及单位权中误差的关系式。

在丈量距离时，距离愈长，结果的误差愈大，其观测值的权与距离成反比。因为丈量距

式中：m0——1　km量距时的量距中误差；

　　　Di——距离。

结论：

（1）m0的大小不影响权的比例关系。

（2）在求一组权时，必须采用同一m0值。

（3）m0的取值尽量便于计算（如上例中m0＝m或m1时计算都比较方便）。（4）精度越高，中误差越小，权就越大。

（5）权是相对性数值，表示观测值的相对精度，对单一观测值而言没有意义。

6．5．2　加权平均值及其中误差

在表6－3中，权等于观测次数，则平均值

这就是不等精度观测的平均值，式中的2与3分别为x甲和x乙的权，这种考虑到观测值的权的平均值就称为加权平均值。

一般情况是：设对某量进行了一组不等精度的观测，其观测值为l1、l2、…、ln，其相应的权为P1、P2、…、Pn，按式（6－36）可以写出加权平均值的一般公式为

又可得相应的改正数为

将上列各式相加得

式（6－39）用以检核x及v值计算是否有错。

下面计算加权平均值的中误差M。式（6－37）可写为根据误差传播定律，可得x的中误差M为

式中m1、m2、…、mn相应为l1、l2、…、ln的中误差。

由于为单位权中误差），故有

由nm20＝P1m21＋P2m22＋…＋Pnm2n可知，当n足够大时，mi可用相应的观测值li的真误差Δi来代替，故

即可得单位权中误差m0为

代入式（6－40）中，可得

式（6－42）即为用真误差计算加权算术平均值的中误差的表达式。

使用中常用观测值的改正数vi＝x－li来计算中误差M，与式（6－33）类似，有

【例6－7】　对某量观测了四次，其观测值及相应的权记录于表6－4中，试计算加权平均值及其中误差。

解：为了计算方便，任意选取一个接近各观测值的近似值l0，使各观测值等于近似值l0加改正数Δl，即li＝l0＋Δl（i＝1，2，…，n）。

表6－4　加权平均值及其中误差

单位权中误差

加权平均值中误差

6．5．3　定权的常用方法

1）水准测量

设三段水准路线的测站数分别为N1、N2、N3，并且在这三段水准路线当中，每一站观测高差的精度相同，中误差均为m站，那么这三条水准路线中任一条水准路线观测高差的中误差为

式中：Ni——第i段水准路线的测站数。

这里可以把C看成是一个常数，因此在等精度的水准测量中，各水准路线的权与测站数成反比，也就是测站数越多，权就越小。

同样，还可以推出权与水准路线长度的关系 ： （式中：Li表示水准路线长度），水准路线的权与路线长度也是成反比的。

2）距离测量

【例6－8】　如图6－3，已知L1＝4　km，L2＝2．5　km，L3＝2　km，

HA＝78．324　m，h1＝－7．877　m；HB＝64．374　m，h2＝6．058　m；HC＝24．836　m，h3＝45．584　m。求P点的高程平均值及其中误差。

解：　可以先列一个表格（注意检核［Pv］＝0）

图6－3

（1）令C＝10，由可求出各条水准路线的权

（2）加权平均值为

式中：HP——P点高程最可靠值。

（3）计算单位权中误差μ

（4）加权平均值中误差mx

（5）求每千米观测高差的中误差mkm

及权的定义可得

其余观测值的中误差

本章小结

观测误差是客观存在的，不可避免的。在实际测量工作中，人、仪器和客观环境三个方面是引起测量误差的主要因素，统称“观测条件”。观测成果的精确度称为“精度”。

在测量工作中，除了不可避免的误差外，有时还会出现错误，或称为粗差。

观测误差根据其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶然误差。

为了提高观测成果的质量，同时也为了发现和消除错误，在测量工作中，观测值的个数必须多于必要观测值的个数，称为多余观测。

在观测结果中，主要存在的是偶然误差，偶然误差产生的原因纯属随机性，不能用计算改正或用一定的观测方法简单地加以消除，只有通过大量的观测才能揭示其内在的规律。偶然误差具有四个特性：单峰性；有限性；对称性；抵偿性。

测量中常用中误差、相对误差及允许误差等作为精度评定的标准。

阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。

无论哪一种观测，为确定一个未知量的大小，一般都对未知量进行多余观测，这样观测值之间就出现了矛盾，因此必须进行平差。进行平差的目的，就是对观测数据进行处理，求得未知量的最或是值（或最可靠值），同时评定观测值及最或是值的精度。由于存在多余观测就存在多种求值的计算途径，因此，必须寻找一种方法，使得通过全部观测数据所求的解不仅是唯一的，而且是最优的。最小二乘法是测量误差平差最常用的一种方法，所以，最小二乘法是测量平差应遵循的原则。

在等精度观测中，一组观测值的算术平均值就是该组观测值的最或是值。设对某量进行n次观测，观测值为li（i＝1，2，…，n），最或是值为L，观测值的改正数为vi，观测值的改正数＝最或是值－观测值。用改正数求等精度观测值中误差的公式，称为贝塞尔公式。

权与中误差均用来衡量观测值的质量，但中误差是表示观测值的绝对精度，而权是表示观测值之间相对的精度。不等精度观测值的加权平均值及中误差计算。

习题与思考题

1．偶然误差和系统误差有什么区别？偶然误差具有哪些特性？

2．何谓中误差？为什么用中误差来衡量观测值的精度？在一组等精度观测中，中误差与真误差有什么区别？

3．利用误差传播定律时，应注意哪些问题？

4．已知圆的半径为31．34　mm，其测量中误差为0．5　mm，求圆周长及其中误差。

5．丈量两段距离，一段往测为126．78　m，返测为126．68　m，另一段往测、返测分别为357．23　m和357．33　m。问哪一段丈量的结果比较精确？为什么？两段距离丈量的结果各等于多少？

6．设丈量了两段距离，结果为：l1＝528．46　m，其中误差为0．21　m；l2＝517．25　m，其中误差为0．16　m。试比较这两段距离之和及之差的精度。

7．在一个平面三角形中，观测三角形其中两内角α和β，其测角中误差为20″。根据角α和β可以计算第三个水平角γ，试计算γ角的中误差mγ。

8．进行三角高程测量，按h＝Dtanα计算高差，已知α＝20°，mα＝1′，D＝250　m，mD＝0．13　m，求高差中误差mh。

9．对某个水平角等精度观测四个测回，观测值列于下表。计算其算术平均值x、一测回的中误差及算术平均值的中误差mx。

表6－5

10．对某段距离用钢尺丈量了六次，观测值列于下表。计算其算术平均值x、算术平均值的中误差mx及其相对中误差mx／x。

表6－6

11．何谓不等精度观测？何谓权？权有何实用意义？

12．如图6－4所示，为了求得Q点的高程，从A、B、C三个水准点向Q点进行了同等级的水准测量，其结果列于下表中，各段高差的权与路线长成反比，试求Q点的高程及其中误差。

表6－7

图6－4