从一张地图谈起

从一张地图谈起_谈天说地讲测绘

从一张地图谈起

品种繁多的地图

小J发现在爷爷的藏书中，有相当一部分是图册，有常见的《最新世界地图集》、《中国分省地图集》，还有爷爷的朋友寄来的各省地图册，这些自然不在话下，还有许多精美的专题图集。小J曾发现爷爷在欣赏这些图集时，那种专注而又满足的目光真令他羡慕，就像一位鉴赏家在审视一张艺术珍品。这话还不够准确，用爷爷的话讲：“地图不但要具备艺术性，还要讲究独特的科学性。”

至于单张的地图，那也很多，大到客厅墙上的挂图，小到邮票上的地图，让小J惊叹不已。

爷爷对地图的爱好，也影响着小J，2006年五一劳动节长假期间，小J随长辈们到桂林旅游回来后，他就把旅游图和门票收藏在书桌的专用抽屉内，每当做完当日的作业之后，他有时会从这些旅游图中随意抽取一张，一边读图，一边回忆旅游时的情趣。这一次，他抽出来的正好是桂林市的旅游图，这张图中最醒目的当然就是漓江了，他一边用手指顺着漓江向下游搜索，一边在记忆中追寻沿岸的美景。终于，他的手指停在“九马画山”的图片上。他记得，当时站在游船顶部的甲板上，早早就认真地辨别马匹的形象，可任凭他再三想象，只认出了八匹马，那剩下的一匹说啥也认不出来，正当他着急的时候，船已拐了弯，那神奇的影壁已渐渐模糊，终于从视线上消失了。这回，他想从摄影图片中继续辨认，可是图片上的影像太小，更难分辨了。就在这时，一双粗糙的手掌搭在他的双肩，他感到爷爷就站在身后。

“又迷上旅游图啦？”这当然是爷爷的声音。

“我这才对旅游图品出一点味来，”小J转过身来，对爷爷神秘地眨了一下眼，就像刚刚尝到新的美食一样，“爷爷，我总算明白您为啥对地图那么着迷啦！”

“你猜猜看，爷爷为啥对地图那么稀罕？”

“首先，爷爷是老测绘工作者，一辈子跟地图打交道，迷上了测绘专业！”

“说得有道理，大家都得干一行爱一行，才能干出成绩来。还有呢？”

“我看爷爷每次在新闻节目中听到重大工程开工的消息后，总要打开有关的地图仔细查看，就像爷爷听到要修建青藏铁路时那样，一边看图，一边在仔细琢磨。还有，每次我见爷爷拿到新地图时，总要翻出旧地图来，不停地拿着放大镜，一边对比一边乐，谁见了都动心！我知道爷爷当年亲自参加过‘神州第一路’的勘察工作，通车以后，爷爷见新出版的全省地图上醒目地标着这条高速公路，那真是打心里往外乐。还有，咱们市的地图每次更新时，爷爷除了高兴外，还要拉着我来比照地图上的变化，告诉我哪条路拓宽了、拉直了，哪儿又多了个新建的小区，哪块的棚户区拆了，盖了几座像样的高楼，这都是读图带来的快乐，对不？”

“哈哈，你这小精灵，把爷爷的心里话都说出来啦，不同时期的地图，都有见证历史的功能，你看过《东史郎日记》这本书吗？”

“看过东史郎记录南京大屠杀见闻的部分日记，听说日本右翼分子因为东史郎揭露了日本侵略军的丑行，将东史郎告上东京法庭，反诬东史郎的日记与事实不符，官司陆续打了好几年呢。”

“是的，在东史郎的日记中，有一段记录了侵华日军西本在南京中山路的最高法院前将一名中国人装进邮袋，浇上汽油，然后将邮袋点燃，用绳子拖着邮袋取乐，后来，又在邮袋上系了两颗手榴弹，扔进池塘，最后手榴弹在池塘中爆炸，那名中国人惨死在池塘中。日本东京高等法院判东史郎败诉时，有一条理由指出：当时南京中山路最高法院对面没有池塘。为了声援这位忏悔的日军老兵，中国地图出版社一位资深编辑查阅了大量的地图资料，终于找到当时出版的南京市地图，那上面清楚地印着最高法院对面有池塘的符号。所以说，地图不仅见证各个时代的地物和地貌，而且是有力的证据。”

“爷爷，地图和世界最早的文化一样，历史一定很悠久，那最早的地图出现在什么时期？”

“目前发现最早的地图是古老王国巴比伦地图，这块7厘米左右的陶片上清晰地标着底格里斯河畔的巴比伦城，还有南面的幼发拉底河，地图中还表示了山脉和沼泽，地图距今约有4500年的历史。”

“我听地理老师讲过，1973年在湖南长沙马王堆汉墓出土3幅绘于帛上的地图也已经有2000多年的历史了。”

“是呀，这3幅帛图是公元前168年的作品了，其中的《地形图》绘的是西汉初年长沙国南部的地形，范围大致为现在的湖南、广东、广西交界地区，包括河流、山脉、道路、居民点等；另外两幅分别是《驻军图》和《城邑图》。”

“我国还发现过更早的地图吗？”

“当然有啊，听说过‘荆轲刺秦王’的故事吗？当年荆轲就是带着燕国割地的地图去秦国，想借献图的机会接近秦始皇而行刺的，这是《战国策》中记载的。公元前1020年的西周初期，周召公建洛邑时绘制的城址地图，便是我国第一幅城区图。还有，在《山海经》中，也有绘着山、水、动植物及矿产的古老地图。再往前说，在4000多年前的夏代，先人们曾将山川地势、奇物怪兽铸刻在鼎上，后人称为《九鼎图》，这种传说曾记载在《左传》上。这说明，像我国和巴比伦这样的文明古国，早在4000多年前就出现了地图，这是生产力发展的结果。说明地图在土地管理、兴修水利、城市建设，还有军事行动各个方面的重要性已逐渐得到人们的共识。随着制图的发展，我国还涌现出许多制图学者，知道早期的学者是谁吗？”

“是魏晋时期的裴秀，历史老师给我们讲过的。”

“对啦。裴秀的著作《禹贡地域十八篇•序》，是我国早期有关地图学的重要理论，他提出的‘制图六体’，具体来说，‘分率’就是比例尺，‘准望’即方位，‘道里’是距离，‘高下’指的是高差，‘方邪’表示地貌中的坡度，‘迂直’表示高差与平面距离的换算。裴秀的制图理论，对地图的编制起到了指导的作用。在唐朝，贾耽编制出著名的《关中陇右及山南九州地图》和《海内华夷图》，后者是首次出现的大图。到了北宋统一全国后，根据各地所贡的400余幅地图编绘成《淳化天下图》，这是宋朝的总舆图。”

“我想起来了，上次去西安旅游时，爷爷专门带我参观碑林，我看到了刻在石碑上的地图，记得有一面刻的《禹迹图》，上面刻着整整齐齐的小方格，不知是什么意思？”

“那方格代表‘计里画方’，实际上就是坐标格网。另一面刻着《华夷图》，这是1137年刻的，保存到今天。我国历代还有不少知识分子，既是文学家，又是科学家。例如宋朝的沈括，他的《梦溪笔谈》大家都很熟悉，但他同时又是一位测绘学家，对于这一点，知道的人可能不太多，正是他在进行测量的实践中，发现了磁偏角的存在，对指南针作了改进，他编绘的《守令图》，共有20幅，是一部图集。另外，值得引以为豪的是，郑和历时20余年，历经30多个国家以后给我们留下的《郑和航海图集》，不仅是我国第一部海图集，也是当时最翔实的亚洲地图。”

“听说郑和下西洋，在20年内前后共探险7次，航行在南太平洋和印度洋中，这支浩浩荡荡的船队经历过无数次狂风巨浪，想起来都叫人心里犯怵，《郑和航海图集》是历尽千难万险才得到的测绘成果。爷爷！我明白了，要想成为测绘专家，不仅得知识渊博，还得要有坚定的意志和刚强的毅力才行呀！”

“说得在理，只要数数古今中外的测绘精英，尽管每人的经历不同，但概括起来，都有个共性，那就是既要掌握深邃的理论，又要具备丰富的实践经验，用理论去指导实践，将实践经验总结上升成为理论，使理论不断升华、提高，螺旋式地上升，自然科学就是这样得到发展的。”

“爷爷的话告诉我，在科学发展的道路上，没有捷径可走，都得一步一个脚印，踏踏实实地摸索着向前闯。”

“正是这个意思！”

“刚才爷爷讲过，有陶片上的地图，也有绘在帛上的地图，有印在纸上的，还有刻在石碑上的。这样说来，地球仪应该是最直观的世界地图了。”

“现代地图有些已转化为电子地图，将地图的模拟图像或数字信息刻录在光盘上，再通过媒体转换成可视的图像。比如，你在报道现代战争的新闻中看到的影像地图，还有车载的GPS‘E路航’等。”

“这些都是地图的形式，如果地图按内容来分，可分几类呢？”

“可分两大类，一类是普通地图，另一类是专题地图。”

“我们见得最多的全省地图、全国地图和世界地图属于普通地图，而类似《郑和航海图集》这样的就算是专题地图了。”

“你指的省图、全国图和世界地图属于普通地图，在专题地图方面，还有地质图、地貌图、气象图、植被图、土壤图、水文图……这些都属于自然方面的专题地图；还有属于人文方面的专题地图，如政区图、人口分布图、文物图、历史图等。”

“我在地理课本的图册中曾见到过一张图，图上绘着各种符号，有的表示不同等级的道路或街道，有的表示不同结构的建筑物，还有纪念碑、路灯、广场、运动场等，图旁还配有相同大小的航摄照片，这叫什么图呀？”

“这叫地形图，是普通地图中数量最多的图种，分各种比例尺，各国的标准，随长度标准的不同而有差异。我国将1∶5000、1∶1万、1∶2.5万、1∶5万、1∶10万、1∶25万、1∶50万、1∶100万，这8种比例尺的地形图称为国家基本比例尺地形图，采用统一的经纬线分幅法和统一的图幅编号方法，这样便于检索。由于参加测图的单位和作业员很多，为了保证质量的均衡，作业都按国家测绘管理部门制定的规范和图式进行。除基本图外，有关专业部门需要测绘比例尺更大的地图形，如1∶2000、1∶1000及1∶500的地形图甚至更大比例尺的地形图，可以按专业标准去测绘。图幅可按坐标格网分幅，采用方形或矩形。这些都是按照专业用图的实际需要来确定质量标准的。”

“这个我懂，如果没有统一标准，作业人员想咋干就咋干，那地图的科学性就无从保证。”

“对了！古人常说：‘没有规矩，不成方圆’，就是这个道理。大比例尺地形图都是测绘出来的，在遥感技术出现以前，主要是到野外实地测绘，也有根据更大比例尺的地形图经缩小后进行编绘的。地形图是编绘专题地图的基础，对地形图中的内容进行综合取舍，再加上专业方面的内容，就成为各种专题地图。而中等比例尺和小比例尺地形图，又是编绘普通地图的依据。”

“爷爷，我听明白了，在地图系列中，最重要的就是地形图了，对吗？”

“在现代科学技术中，可以这样理解。而地形图的产生却不是一劳永逸的，因为处于运动中的地球，其本身也在不断变化，加上人类在改造自然的活动日趋频繁，地球表面的形态也日新月异，为了保持地形图的现势性，地形图得经常修测，修测的周期按变化的速度而定，这就是地形图生产的特殊性。”

“听到这，我好像站在一个大宅院的门口，爷爷把门给开启了，我往院里一瞧，真是个新奇的世界，处处雕梁画栋，繁花似锦，让我眼花缭乱，恨不得立即跨进大院，瞧个痛快。一句话，爷爷把我的好奇心吊起来了。”

“这就好！”爷爷开心地笑了，“你可不能心急，贪多嚼不烂，我得一点一滴慢慢给你讲，这才能逐步了解测绘学科的概略面貌。”

“海拔高程”的来历

接近国庆节时，小J发现父母单位在做一些纪念活动，他从爷爷那里知道，最近国家测绘局成立五十周年。首都的博物馆有测绘成果展览，中央电视台10频道的《探索•发现》节目，也陆续播出有关地图史话的专题节目《为山河作注》，这正好是科普节目，爷爷自然要关照小J收视了。

看完这套节目，小J对地图编制流程有了感性的认识，特别是地形图和普通地图生产方法的变迁，知道了从小笔尖手工绘图到今天用计算机编图的发展轨迹。

借此契机，爷爷想看看小J究竟了解到什么程度，便问道：“确定地理位置的三要素是什么，能说得出来吗？”

小J立刻回答：“经度、纬度和高程，这是陈俊勇院士说的。”

“答对了！经度和纬度可以确定物体在地球表面的平面位置，因为地球表面是凹凸不平的，所以还需要知道垂直于地表的空间位置，那就是高度，但高度得要一个共同的起始面，用什么平面作为起始面呢？古代的科学家一直在苦苦寻找答案，元朝有位科学家首先提出了‘海拔高程’的概念，在测绘方面解决了高度的起始面问题，知道这位科学家是谁吗？”

“电视节目中介绍过了，这位科学家是郭守敬。”

“记性真好，又答对了！郭守敬是元朝的天文学家、水利学家和数学家。为了兴修水利，他对黄河进行了详细的考察，在测绘方面也有很多建树，这‘海拔高程’的提出，比西方早400多年，是具有划时代意义的。”

“可是，大海由于受月球引力的影响，有涨潮和落潮，海水也不平呀，咋能当做固定的平面呢？”

“所以需要对涨潮和落潮进行动态观测，取其中数作为平均海水面，这种动态观测站叫做‘验潮站’。其构造是：在海岸边挖一井，井底与海水导通，在井中装一滑轮，绳的一端是可随海水浮动的测标，绳的另一端是平衡锤，每天将海水涨、落的数据自动记录下来，就可以得出平均值了，这平均值就是我们所求的平均海水面。这平均值绝对不是一天、两天的数值，而是要数年甚至数十年的平均值。所以，平均海水面的数据是阶段性的实用数据，并不是一成不变的。”

“爷爷，我记得在《为山河作注》电视节目中曾介绍，我国沿海的验潮站不止一个，是这样吗？”

“我国在清末已沦为半封建半殖民地社会，各国出于掠夺资源的需要，在我国沿海纷纷设立验潮站，英国在福州及天津的大沽口设立过验潮站；日本于1905年在大连设立过验潮站，用来测绘中国地图。此外还有上海吴淞口验潮站、葫芦岛验潮站、珠江口验潮站、坎门验潮站等。有这么多验潮站，当时国内的高程能不混乱嘛！为了统一高程系统，南京政府于1929年10月在浙江海门设址，建成验潮井，到1937年，海门的坎门验潮站及水准点建成，但到了1949年，南京政府便逃亡台湾，连验潮资料都带走了，统一国家高程的事便不了了之。”

“爷爷，新中国成立初期便启用了青岛验潮站的验潮资料，这个验潮站肯定要比其他的验潮站条件好，是吗？”

“新中国成立初期，人民政府对统一全国高程很重视，测绘成果是国家建设的基础资料，当时指定中国人民解放军总参谋部测绘局派出专家组选址，他们从黄海沿岸到南海沿岸，考察了以往的验潮站，最后选中了青岛验潮站，原因是海岸为基岩，附近都是花岗岩的低山，在市南区与市北区交界处有一座高78.9米的花岗岩石山，上面建起一座俄式石屋，屋里凿出一个约2米深的坑，中间镶嵌一个直径4.7厘米的玛瑙球，这是特意在上海加工的，水准标志上刻有‘中华人民共和国水准原点’的字样。原点的高程是用精密水准仪将验潮站历年的平均值作为起始面，将海拔高程引测到水准原点上，全国的高程控制网就以青岛原点作为联测的依据。第一次公布的水准原点高程是72.289米，这是1956年根据以往验潮数据联测的结果。第二次公布的是1980年，水准原点高程为72.260米，相差29毫米，这是根据1953年至1979年验潮数据的平均值联测的。”

“能不能理解为：海平面的高度也在不断地改变？”

“可以这样理解，既然地球不停地在变化，海水的高度也在改变，这是由于气候变暖，地球南极、北极和第三极珠峰的冰川在不断地缩小，消融的冰注入海水，海水面自然会不断升高，这种变化的速度与环境的变化密切相关。当然，由于地球重力的差异，海水面的高度也受到影响，黄海和南海同属太平洋，但海面的高度就不一样，这是精密水准测量发现的结果。所以，为求统一，每个国家的高程只能以一个起始点作为依据，否则高程就会乱了套。我国高程使用黄海高程系，道理就在这里。”

“爷爷说的精密水准测量，就是将水准原点的高程联测到全国各地的主要方法吗？”

“是的，覆盖全国的一等水准路线共289条，全长9.3万多千米，其中284条路线构成网形，就像渔网一样，共有100个闭合环，各种类型的一等水准点，共埋设标石近2万个，东部沿海地带比较密集，西部及西南部比较稀疏，但大陆部分全部得到了覆盖，连海南岛都用跨海水准测量加以联测。所以，高程得到了严密的控制。在一等水准点的控制下，还可以逐步加密二、三、四等水准路线，使用起来非常方便。”

“我在收视珠穆朗玛峰高程复测时，看到过水准测量的镜头，记得使用仪器的是主要测量人员，还有记录员，一前一后各有一人扶着标尺，测完以后，前面扶尺的人不动，后面扶尺的人就向前移动，仪器又搬到两支标尺的中间，重复着上一次的测量工作。老是做重复的工作，看起来好像很单调。”

“别看单调，水准测量就是这样一测站一测站地重复工作，才能把黄海高程系统引测到祖国的边陲。当然，这不是一个测量小组就能做到的，是许多测绘工作者顶着严寒、冒着酷暑，才能在1985年建立起全国的一等水准网。在一等水准测量中使用的也是目前最好的精密水准仪，水准仪的外形尽管有差异，但原理是一样的，就是在测量时，视线处于水平位置，办法是在望远镜旁装上长水准管，水准管是带有弧度的玻璃管，里面装有液体，封闭后留有空隙，水准管就产生气泡，这气泡居于玻璃管中央时，水准管就处于水平的位置，就跟古老的木工工具上的水准气泡相似。通过折射棱镜，可以将长水准管两端的影像同时折射到望远镜旁的视窗内，使用微动螺旋可以调整望远镜的视线，当两端的气泡影像吻合时，望远镜的视线就处于水平状态，这时，就可以用十字丝的横丝对准标尺进行读数了，按前进方向，先读后面的标尺基本分划，称为后视基本分划的读数，再读前面标尺的基本分划，所得读数称为前视基本分划读数，将后视读数减去前视读数就得出这一测站前后两尺基本分划之间的高差，这时，观测工作只完成了一半。接下来，要先读前视标尺的辅助分划，最后再将望远镜对准后视标尺，读取后视标尺的辅助分划。这样，又可得出两标尺辅助分划之间的高差。将基本分划和辅助分划测出的高差取中数，作为这个测站测得的高差。”

“为啥采用这样的次序呢？”

“那是为了减少观测过程中水准仪下沉带来的误差影响，这种影响在两组高差中能反映出来，取平均数就可以抵偿大部分误差影响。当一个测站测量结束后，前尺不动，变成下一测站的后尺，而后尺随仪器向前进方向移动，变成了前尺。就这样，一测站完成后接着就开始下一测站的观测。记住，应尽量使仪器距两尺的间隔相等，以减少视线倾斜带来的系统误差。如此连续测量，直到测完每条水准路线。这是高程测量最基本的测量方法，称为直接高程。又因为高差是按最简单的几何形状得出的，又称几何水准。”

“为什么要打伞呢？是怕晒吗？”

“不是给观测员打伞，是给仪器遮阳。因为，水准仪的长水准管很灵敏，气泡容易向受热的地方偏斜，所以，这把遮阳伞也是野外测绘必备的工具，决不是奢侈品。有时人手少，有些作业员干脆把伞绑上伞架，直接插在仪器旁的地里，这是应急的措施。”

“原来是这样。长年累月在野外作业，一定很辛苦！”

“不但辛苦，还有不幸牺牲的测量员。1960年5月，有一组在新疆沙漠中进行水准测量，因水车发生故障，致使小组断了水。组长就将剩下的水分给组员，让他们撤离沙漠，自己留下看守仪器、标尺和资料。当组员们带着水重返沙漠找到组长时，组长已经干渴死亡，干缩的遗体上背着资料包，旁边整齐地放着水准仪、标尺、三脚架。组员们忍不住哭了起来，组长是将生的希望留给别人，他的名字叫吴昭璞，牺牲时还不到30岁。”

小J听到这里，觉得爷爷的声音有点发颤，仔细一瞅，爷爷的眼眶都湿润了。类似的故事，爷爷在小J面前没少说，为了怕爷爷伤心，小J赶紧把话题岔开：“爷爷，我在电视中看到过，复测珠穆朗玛峰高程时，可以在半山腰用仪器一下子就测出峰顶的高程，这样不更快吗？要是用这种方法布设全国高程控制网，早就完成了。”

“你可真能耐！这种方法快倒是快，可精度比不上几何水准高，只能用作困难地区测量高程的补充手段。比如遇到高山地区或是通行困难的地区，可以用这种方法来测高，只要测出被测点的垂直角，距离用电磁波测距仪直接测出，或用三角测量方法间接算出，采用正切公式就可以计算出测站点和待测点的高差，只要知道了测站点的高程，就可以计算出待测点的高程。这种高程是间接计算高差求得的，所以称为‘间接高程’，而高差采用的是三角学的公式，所以又称‘三角高程’。”

“爷爷，复测珠穆朗玛峰高程时，我还看到了一种方法，测量人员还使用了GPS接收机。”

“记性真好！民用的GPS接收机，可以放在待测点上直接测出三维坐标，就是直接测出定位三要素：经度、纬度、高度，但得到的数据是地心坐标系的数据，这必须在附近已知经度、纬度和高程的控制点上也架设GPS进行同步观测，通过坐标转换进行拟合，才能得到我们目前正在采用的高程系和坐标系的成果。”

“为啥不顺应时代新潮流，直接采用地心坐标系呢？这样不是更方便吗？”

“看来年轻人对新的事物接受得更快，你这想法，有些科学院或工程院的院士已经提出来过，但改革也得一步一步来，这不仅涉及大批数据和资料的变换，还有广大科技人员在长期工作中形成的观念和习惯。”

“爷爷总是把事情想得那么难！”

“我倒是希望年轻人开拓精神更宽一些，想象力更丰富一些，这才更富有创造力。”

“地图上高程是怎么来的，我总算搞清楚了。可是，大海是弧形的，记得小时候跟爷爷旅游时乘客轮航海，站在甲板上看海面，实实在在像大锅盖一样，几何水准测的高差却是水平面上的起伏，这水平面和海水面能一致吗？”

“哈哈，你这小精灵！这回可想到点子上啦。说实在的，从古到今测绘学家不断研究的问题中，你问的也是其中之一。地球表面总面积约510083024平方千米，其中海洋面积约占71％，剩下的是陆地面积，所以海水面所围成的椭球面就显示出地球的基本形态。如果把海水面当成一个静止的海水面，而将陆地当成与海水面相切的突出部分，那这个静止的海水面就是封闭的水准面。由于海水面受潮汐影响有起伏，则海水面也就有很多个，但其中总有一个是与假设的静止海水面重合，这个虚拟的海水面就称为大地水准面。但由于受重力的影响，大地水准面是不规则的，这个不规则的曲面不像表面规则的地球参考椭球体那样可以用数学模型加以精确的描述，所以，为了应用方便，就用一个非常接近大地水准面并且能用数学模型描述的曲面来代替大地水准面，这个曲面就是旋转椭球体。要想知道不规则的大地水准面的实际形状，可以将几何大地测量与物理大地测量结合起来，通过测量高程异常来实现。你在珠穆朗玛峰的高程复测时看到重力测量的镜头，就是为实现这一目的实施的测量任务。”

“爷爷，听您一说，测绘学科还真挺复杂，这是一门应用技术，又是一门向真理逼近的科学。”

“越往深层次钻研，人们对测绘学科的体会就越深。”

“既然近似大地水准面的旋转椭球面是个曲面，那么采用几何水准从青岛原点向内陆延伸时，水平面与曲面的差距会随距离的增加而越来越大。”

“这个影响可以用数学模型来表达，即：Δh=d2/2R，式中，Δh表示水平面与曲面的差距，d为两点间的距离，R是旋转椭球体的曲率半径。通过数值计算，不难发现，当两点间相距100米时，影响高差为0.75毫米，到10千米时，为78.48毫米，而到100千米时，影响高差竟达784.806毫米……可见，距离越远，影响越大。所以必须加以改正，归算到旋转椭球面上，这项改正称为‘曲率改正’。”

“明白了，当测量范围很小时，可以将地球表面当成平面。但范围较大时，平面与球面之间的差异就不能不考虑了。”

“是这样，由于高等级水准测量是在全国范围内进行的，所以称之为大地测量。而为了工程建设进行的低等级水准测量，一般称为控制测量，这是以大地测量的成果为依据，在较小的范围内加密控制点，差别就在这里。”

明亮的北极星

为了帮助小J弄清楚经度和纬度的概念，在一个周末的晚上，爷爷将地球仪搬到了桌上，并且问小J：“知道地球是咋转的吗？”

“知道，地球是从西向东旋转，自转一圈为一天。”说着，按逆时针方向旋转起地球仪来。

“这地球仪好比是缩小了的旋转椭球体，旋转中心就是球心，用O表示；北端称为北极点，用N表示，南端称为南极点，用S表示，所以旋转轴用数学抽象地描述，就是NOS。包含旋转轴NOS在内的平面，就是子午面。这子午面与旋转椭球体的交线称为子午线，子午线又称经线，是南北方向的。子午线有无数个，总得有个起始的子午线，国际上公认通过英国格林尼治天文台的子午线为起始子午线。起始子午线上所有的点，经度均为0度，当子午线通过N或S到了椭球的另一侧时，经度正好是180度，这就是国际上公认的日期变更线。从起始子午线向东，称为东经。从起始子午线向西，称为西经，所以，国际日期变更线既是东经180度也是西经180度。”

“我听明白了，这经度与时差有关系。”

“对啰！东经180度加西经180度，正好形成一个完整的圆弧，等于360度，而每昼夜的时间是24小时，你算算，1小时相当于经度多少度？”

小J脱口而出：“1小时等于经度15度。”

爷爷听到小J的回答很满意，便接着说：“所以，按经度每15度作为地方民用时的中央子午线，向东7度半及向西7度半作为一个时区，也就是说，当中央子午线正对着太阳中心时就是当地正午12时。我国的国土跨越好几个时带，美国的地方民用时也有好几个时区，如果从旧金山乘飞机飞往纽约，地方民用时得变动4次，要是从阿拉斯加或夏威夷州飞往纽约，时间变动的次数就更多了。假如中途需要转机，一定要考虑到时差变换因素，否则，不是空等便是误机。我国采用统一的北京时间，北京靠近120度经线，所以是中央子午线为120度的地方民用时，虽然国土面积比美国大，但旅行时不必考虑时差的因素。这也有不便之处，当祖国的东部能看到日出时，西部仍是茫茫的黑夜。而当东部夜幕降临时，西部却是夕阳无限好。国内尚且如此，遇到国际体育比赛，就得计算好时差，前不久在德国举行的世界杯足球赛，重要赛事都要安排在晚上，我们要看实况转播，就只有半夜三更起床看电视了。”

“看来，时间和经度是密切相关的。”

“经度搞清楚了，那纬线就是与子午面相垂直的平面和旋转椭球体的交线，通过球心O点的平面最大，称为赤道面。很明显，赤道面与旋转椭球体相交的纬线直径最大，这就是初始纬线，纬线是东西方向，卯为东，酉为西，所以纬线在我国古代又称卯酉线。纬度在北半球称为北纬，在南半球称为南纬，纬度值愈大，纬圈便愈小。”

“照爷爷说，有了经度和纬度，地球表面上的点位置就可以表示在图上了。”

“这是毫无疑问的。今天我们运用现代的科技手段，可以直接用GPS接收机确定每个点的地心坐标，包括经度和纬度。但在卫星定位技术出现以前，是采用实用天文学的相关技术来测量经度、纬度和天文方位角的，这需要采用精密的经纬仪和天文钟才能进行，所以，一般应用在全国性大地控制网中作为控制的条件，不能事无巨细，每个点的位置一律用实用天文学的方法去确定经度、纬度。但是，在缺乏全国统一的高精度大地网的情况下，可以用实测的天文经度和纬度作为局部坐标系定位的起始点，用实测的天文方位角来定向，这只能是一种应急的措施，日后还要再跟全国性的大地控制网联测，将坐标系归算到全国的统一系统。”

“可是，古代的地形图是怎样测绘的呢？”

“指南针是我国的重大发明之一，在公元前3世纪至8世纪，就开始利用天然磁石定向，当时磁石称为‘慈石’，用来‘司南’。到了公元10世纪至13世纪，使用人造的指南针已逐渐普遍，从陆地定向转移到船舶中，用作航海时的定位。这种技术先是传播到中东的阿拉伯人那里，再从中东传入欧洲。另外，在1027年，北宋的卢道隆发明了记里鼓车，这是应用齿轮的原理对长度计量的一种工具。有了方位，又有距离，就可以从一点出发，确定另一点的相对位置，这样，即使出发点的绝对位置经度和纬度不知道，也可以用假定坐标确定另外一个点的相对坐标，就像近代在缺乏全国统一控制网的情况下，利用假定坐标来测绘局部地区的地形图一样。古代这种测绘地图的方法，总要比远古调查的方法编绘地图要准确得多。我国古代的指南针、造纸术和印刷术进入欧洲以后，改变了欧洲测绘技术，欧洲掌握了造纸术后，代替了昂贵的羊皮纸，大批量出版地图集也就成为可能。这里要提到16世纪中外两位著名的地图学家，一位是我国明代的罗洪先（1504-1564年），另一位是荷兰的墨卡托（1512-1594年）。罗洪先继承了我国古代地图学家的成就，编制了《广舆图》图集，将过去不便携带的大幅挂图按方形分幅，印成图册，增加了新的内容，这对后代影响很深远。而欧洲的墨卡托引用了希腊神话中擎天大力士阿特拉斯（Atlas）的名字来命名地图集，这本地图集，阿特拉斯被形象地设计成肩负地球的巨人。在欧洲，公元2世纪希腊学者托勒密的著作《地理学指南》及所附的地图，一直对欧洲有着长远的影响，而墨卡托突破了沿袭的传统，将新的投影理论应用到世界图集的编绘中，这种投影理论使低纬度地带的面积更接近实际比例，也更适合航海图的编绘，所以，很受欧洲欢迎，而在航海图的编绘方面，沿用至今。这时候的欧洲，新兴的资产阶级社会为了商业竞争的需要，对科学技术的发展十分重视，很快就推动了生产力的发展，伽利略（1564-1642年）制造的望远镜，在不断改进中引起对光的折射作规律的研究，在笛卡儿等学者的研究中，几何光学取得了重大的成就，经纬仪、水准仪这些近代测绘仪器相继出现，这是与天文学及测绘学关系密切的科学技术。有了这样的环境，从东方中国传入西方欧洲的发明创造，不但得到广泛应用，而且进一步得到发展，后来又通过外国的传教士将近代测绘技术不断传回东方，其中比较重要的有意大利传教士利玛窦，他于1580年来到中国，将中国当时的地图介绍到欧洲，又将比利时和意大利的世界地图介绍到中国来，使中国的士大夫们了解到，世界上并非只有中国独大，外国也并非仅仅是一些不如中国小省的岛屿，在他汇编的世界地图上，包含地球东西半球的非洲、欧洲、亚洲和美洲以及太平洋和印度洋，地图上以赤道作为纬度的起始线圈。本来，早在公元117年，张衡的浑天仪上就出现了地球南极、北极和赤道的名词，但通过利玛窦才将这些概念应用在地图上，并且使地图用经度及纬度来定位，他还利用欧洲的仪器测量了北京、南京、杭州、广州、西安等地的经度和纬度，还和明代的徐光启合译了欧几里得（Euclid）的著作《测量法义》。到了清代康熙年间，又曾聘请外国的传教士开展规模较大的经纬度测量和测绘地形图，至1716年，在中国共测完630点的经纬度。就这样，近代的测绘科学技术渐渐传入中国。”

“可是——爷爷！我有一点弄不明白。”小J看上去好像有点急了，“我们是历史悠久的文明古国，可有许多创造发明出现以后，却发展缓慢，而传到外国，反而得到迅猛的发展，这是因为什么呀？”

“唉！怪只怪我们的封建社会太长，保守呀！皇帝个个专制独裁，似乎都有一种通病，那就是夜郎自大，在闭关自守的情况下，对原来的生产力沾沾自喜，好像已经拥有了一切，不必再求上进，把外国当成弹丸之地，从不放在眼里。昏君们成天吃喝玩乐，内阁大臣们则热衷于党争。在改朝换代中，也曾涌现出个别头脑比较清醒的君主，像清朝的康熙，对科学技术曾经表现出难得的热情，但这仅仅是个人的行为，没有把发展科学技术当成一种国策，即使在乾隆盛世，对外国来访者也是不屑一顾，而他的子孙们，更是沉湎于酒色。待八国联军打进北京时，清军不堪一击，还用陈旧的火枪和冷兵器对待武装到牙齿的入侵者，当联军的士兵大肆掠夺圆明园的财宝时，竟在一所贮藏室里发现已经生锈的外国枪炮，使入侵者十分惊讶。你想想，指南针和火药是中国发明的，传入欧洲以后很快便造出坚船利炮，用来航海探险发现新大陆，不断拓展新的殖民地。而我们呢，在很长一段时间里仍然对历史悠久的烟花爆竹沾沾自喜。”

“难怪老师一再强调：科学技术是生产力，而且是第一生产力。”

“知道这话是谁说的吗？”

“邓小平爷爷！”

“对啰！只有在学生时代打好基础，才能掌握现代的科学技术。”

“我记住了，爷爷！”小J听到这里，若有所思地点点头，“刚才爷爷已经讲到，近代科学技术传到中国后，地图就开始用经度和纬度来确定位置了，是这样吗？”

“是这样的，我们知道了地球表面上某个点的经度和纬度，就可以投影到平面上，得出该点的平面直角坐标。纵坐标是南北方向的，用X表示，横坐标是东西方向的，用Y表示，原点向东是正值，原点向西为负值，这叫测量坐标，跟你们在中学教科书里学的数学坐标是不一样的，在数学坐标中，东西方向为x轴，南北方向为y轴，正好相反。在测量坐标中，只要知道了两个点的平面坐标，就可以计算出两点间的坐标方位角，坐标方位角以正向的X轴为0度，依次顺时针方向递增，旋转到90度与正向的Y轴重合，这是第一象限，从90度旋转到180度为第二象限，依此类推。将点的经度和纬度投影到平面上，换算成平面直角坐标，这种计算称为‘坐标正解’。反过来，如果有了平面直角坐标，也可以通过反算，转换成经度和纬度，这种计算过程，称为‘坐标反解’。但由于在野外实测经度和纬度是比较复杂的，所以，一般的做法是用天文测定的经度和纬度作为起算点和控制点，为了定向，这要实测天文方位角，而在实测的天文点之间用三角网和导线网连接起来，统一平差后正式使用。”

“我听出来了，刚才听到‘统一’两个字，我就想天文测量肯定也要有个标准。就像高程采用黄海平均海水面，长度有检定场一样，对不？”

“太对啦！古人说得好：‘没有规矩，不成方圆’，天文测量也一样。譬如，天文观测需要恒星星表，我国曾经使用过国际天文协会推荐的FK3及FK4星表。在1953年至1960年间，建立了由北京、西安、乌鲁木齐、成都、长春、广州、武汉、昆明、拉萨这9个点组成的基本天文经度点网，野外人员需要测量经度时，也可以在作业前和作业后就近到这些点上去测量经度，用比较的数据来确定差数，这个差数是人和仪器的误差综合形成的，也可以当成改正数，来改正野外观测的成果。测量经度，与计时系统关系非常密切，采用的是‘科学式时号’。在1965年以前，采用苏联的‘标准时刻’系统，以后就开始采用上海天文台和陕西天文台根据我国各天文台测时结果建立的综合时号改正系统。”

“这么说，在实用天文学中，用于野外天文测量的仪器和工具一定要很精密，是吗？”

“天文测量中，除了用无线电收报机收听‘科学式时号’外，还要有天文钟，而观测恒星的仪器要比用于大地测量中的经纬仪精密，称‘万能经纬仪’，我国主要采用的有两种仪器，一种是苏联制造的万能经纬仪AY2″/10″，带有折式中心望远镜；另一种是瑞士威特公司制造的T4，属于光学经纬仪中最精密的型号，比苏联制造的游标式经纬仪体积小，轻便多了，便于携带。但总的来说，这些仪器都比较沉重，三脚架承受不起，所以在天文点上一般要建造混凝土观测墩，将仪器安放在墩上观测。”

“天文观测要接收科学式时号，这跟普通时号不一样吗？”

“普通时号共3组，每组历时1分钟，包含6个短响，每组最后一响为整分值。而科学式时号共5组，历时5分钟，每分开始及结束时为长响，其余为短响。天文钟在观测天文时用来记录恒星进入望远镜十字线的纵丝或横丝时的时间，如果要求精度不太高时，可用耳目法计时，当精度要求较高时，就得采用带记录装置的天文钟，这叫‘半自动法’，就是当十字丝瞄准恒星时，揿下按键，在记录科学式时号的纸带上就会留下记号，就能准确地进行内插。为了减小接收时号的误差对经度和纬度观测的影响，在天文观测中，测量经度时一般选择卯酉圈附近的恒星，在测量纬度时，尽可能选择子午圈上的恒星。这种选择，是由于要将天文钟的读时误差的影响减到最小的缘故。而测量天文方位角时，大家都会选择拱极星中的北极星。”

“就是人们通常说的北斗星吗？”

“是呀，北极星即为属于小熊星座的α星，小熊星座的七颗星很漂亮，组成一个勺形，北极星正好位于勺柄的端点上，每到晚上，勺会围绕着勺把的端点旋转，而北极星正好位于地球旋转轴向北的延长线附近，所以，当地球旋转时，北极星好像永远不动似的，人们从古到今，就用这颗星来指北。”

“北极星真的永远不动吗？”

“其实，北极星离开地球旋转轴的延长线还有一个很小的角度，只要在天文年历中查一下北极星的赤经和赤纬就知道了，只不过这种旋转，肉眼不易察觉，在仪器的望远镜中观测，这颗星也在缓慢地移动。当然，看着恒星在移动是由于地球本身在旋转的缘故。地球自转一圈，在观测北极星时，好像星体也在移动一个小圈，当位于旋转轴上方时，称为上中天，位于正下方时称为下中天，位于正东称为东大距，正西称为西大距。在测量天文方位角时，需要在测站上观测北极星的同时，再联测一个地面目标，根据记录的天文钟时间，可计算出北极星当时偏离子午线的小偏角，就可以计算出从测站到所联测地面目标的天文方位角了。”

“爷爷说的恒星，都很小，只有夜间才能看见，可太阳也是恒星，白天只要是晴天，都能看见太阳，为啥不选择太阳来测量经度和纬度呢？”

“观测太阳也可以呀，不过太阳光线特别强烈，只有加上滤光片才能观测，不然会灼伤眼睛的。再说，太阳看上去那么大，望远镜的十字丝也不好瞄准呀，误差大！”

小J点点头，是这个理。这时，爷爷拽上小J，来到北面阳台，此时北面的苍穹上没有一丝云彩，满天繁星一览无余，小J看着满天的星斗，心胸豁然开朗，这时，它不禁羡慕起像爷爷和父亲那样的野外工作者，在寂寞的山野中测量经度和纬度时，是多么富有诗意呀！

爷爷突然问：“知道哪颗星是北极星吗？”

要在繁星满天的夜空里找出北极星还真不太容易，但小J胸有成竹，他想起有一次跟爸爸出去旅游时，爸爸告诉他辨别北极星的方法，他先找到大熊星座，那也是由七颗很亮的恒星组成的星座，外形跟小熊星座差不多，也是一把勺子。认出了大熊星座，他沿着勺边缘那两颗星虚拟出一条延长线，终于在延长5倍左右的夜空中，找到了那颗晶莹的北极星，在众星衬托下，北极星显得玲珑剔透，就像不时向人们俏皮地眨着眼睛。于是，小J将北极星指给爷爷看，还把寻找北极星的诀窍告诉爷爷。

爷爷赞许地点点头，又问了一句：“你再看看，如果将大熊星座边缘两颗星跟着北极星的连线再延长，还能通过哪颗星？”

小J不假思索地回答：“是仙后星座，因为五颗星的图形像英文字母W，所以，又叫‘W星座’。”

爷爷高兴了，夸奖一句：“不愧是测绘世家后代！你还认识哪些星座？”

小J兴致勃勃地搀着爷爷来到南面阳台，指着认得的星座，一一告诉爷爷：“瞧！那是猎户星座，中国古代叫‘参宿四’，那是天狼星……”

“就这些？”

“爸爸就教给我这么多！”

“你认得的星座可能比你同学多，但要是当上了测量员，只认得这些星星是不够的，要是有兴趣，可以看看每月的星图。”

“知道北极星，夜间走路就不怕迷失方向了，白天有太阳，更不会迷失方向，可是要遇上阴天咋办？找什么辨别方向呀？”

“要是你手上有地形图就好了，图幅边缘有3个标明北方的标记，坐标纵线是南北方向的，一条是真子午线，另一条是磁北线。由于地图投影是有误差的，所以坐标纵线和真子午线总有一个偏角，离中央子午线越远，偏角越大，只有当坐标纵线正好位于投影的中央子午线上，才能重合，而磁极与北极不在一点上，加上有些地区磁力异常，所以，磁北线和真子午线也不重合，这磁北线是帮助指南针标定图幅方向的。可见，地形图对人们辨别方向有多重要！”

“如果我手头没有地形图呢？”

“如果手头地形图或地图统统没有，无论在白天或黑夜的恶劣气候中迷路时，可以去寻找树桩，年轮最密的肯定是北方，而年轮最稀疏的那一侧总是朝着南方，这是因为南面光照最充分，树木生长快的缘故。所以，测绘人员不论处在什么恶劣的环境，都不太可能迷失方向，这是他们的职业特性。”

“只要掌握了爷爷和爸爸教给我的方法，今后出门旅游时，我也不会迷路。”

“你要牢牢记住北极星的位置，不但能为你指路，测量人员可以选择北极星测量出地面上任何方向的天文方位角，这是利用万能经纬仪上的水平度盘测出地面方向和北极星之间的水平角。如果利用垂直度盘测出垂直角，连测站的纬度也测出来了。”

“这是不是也应该跟测量天文方位角一样，加上北极星偏离地球旋转轴延长线的微小角度？”

“一点都不错。这种测量纬度的方法，中外的测量人员都喜欢采用，无论东方或西方，在经纬仪出现以前就已广泛采用了，只不过局限于仪器，测出来的纬度精度较低就是了。在天文年历中，每年载有观测北极星测量纬度的专门用表，便于计算纬度。当然，测量其余的恒星，包括太阳，都可以求得纬度，但得在当地的子午线两侧观测同等的组数，求得平均值，这样可以抵消一部分误差。所以，不如观测北极星测定纬度，精度既高，又较方便。一般在野外天文测量中，选择北极星位于上中天或下中天时进行。在测量天文方位角时，用的是经纬仪的水平度盘；当测量天文纬度时，用的是经纬仪的垂直度盘。早期经纬仪的垂直度盘是金属的，在度盘上也装有长水准管，当视线水平时，垂直度盘处于0刻划，所以，望远镜向上时，垂直角为正值，望远镜向下时为负值。现代的经纬仪，垂直度盘都是玻璃的，当望远镜处于正镜位置时，垂直度盘位于望远镜的左侧，所以，记录观测读数时，称为盘左时的读数，在观测手簿中，采用英文Left的第一个字母，简称‘L’。倒镜时，垂直度盘在右侧，采用英文Right的第一个字母，简称为‘R’。度盘刻划有两种注记形式，一种是天顶为0度，另一种是天顶为180度，但无论何种形式，当视线处于水平时，垂直度盘处于90度，究竟观测的垂直角是正值还是负值，要看天顶是0度还是180度，所以，垂直度盘的观测值又称为‘天顶距’。”

“爷爷讲的我听懂了，无论测量天文方位角还是测量纬度，一般多选择小熊座中的α星，也就是北极星。”

“既然是垂直角，视线要穿越大气层，所以，不能忘记要计算折光差的改正数。另外，测量纬度的方法还有‘泰尔各特法’，利用双星等高测定纬度的‘别夫卓夫法’等。无论用什么方法，在建立数学模型时，用得最多的是球面三角学，但改正数的计算，都要涉及微分公式。刚才提到的‘别夫卓夫法’可以同时观测双星来测量纬度，而‘金格尔法’可以用观测等高的双星来测时，还有用等高法来同时测量经度和纬度的‘马扎耶夫法’，要求测时精度高时，也可以用特制的‘子午仪’来观测恒星。说得简单一点，测时也好，测量经度也罢，主要是测量时差，因为天文钟收到的时间是与标准子午圈相关的，只要知道了时差，就可以知道通过测站位置子午圈的时间，将时间换算成弧度，就得出测站点的经度。”

“照爷爷这么说，测量时差也好，测量经度也好，岂不比测量纬度简单吗？”

“这叫说起来容易，做起来难。为了测量时差，无论选择单星也好，选择等高的双星也罢，再用耳目法读取天文钟的表面时刻或用接触法记录表面时刻，都要十分小心，特别是在选择卯酉圈东西两侧等高的恒星时，选星及实际观测都比较烦琐，所以，在满天繁星的夜空里进行天文经度测量时，要十分细致才行。”

“我原以为在夜里进行天文测量，是一件很浪漫的事，经爷爷一说，还真挺复杂。可古代在航海时是怎么确定经纬度的呢？”

“我刚才说的是在陆地进行天文测量的情况，在海上就不能用这样精密的仪器了，船上晃动厉害，只能用可以握在手中的六分仪观测太阳来确定船舶的经度和纬度，六分仪的构造原理应归功于牛顿，凭着六分仪上的两片平面镜，可以将两个目标影像同时在望远镜中看到，而度盘可以水平使用，也可以垂直使用，弧度相当于圆的1/6，六分仪的名称就是这样来的。用六分仪来测量太阳的高度，当太阳的影像下边缘和海水面的影像相切时，记下六分仪中读出的垂直角，按《航海用表》查出改正数，再记录下钟表的时间，就可以计算出船舶所在的位置。当然，夜间也可以用六分仪观测月亮或恒星来定位。古代船舶的导航用罗盘定向，再用速度和时间计算航程，在海图上陆续标出船位，六分仪实测的位置是用来检核航行图的。”

确定地球上任意点坐标的捷径

自从听完爷爷关于天文测量的介绍后，小J对星星产生了浓厚的兴趣，他主动在客厅的书架里，搜寻爷爷收藏的有关天文的书籍，在其中找到一本附有星图插页的科技书籍，翻到相关的月份，然后在做完当天的作业以后，独自搬一把椅子，坐到阳台上，按图找星，每当认识一颗新星，他会泛出甜蜜的笑容，一直甜到心坎里。爷爷看见他夹着书，提着椅子，一会儿上北阳台，一会儿又上南阳台，忙得不亦乐乎，心想，这小家伙该不是对星星着迷了吧？

终于有一天，小J憋不住了，他主动来问爷爷：“我想了很久，觉得有点不对劲！”

“啥事呀？”爷爷亲切地问。

“地理位置三要素中的前两项，如果都要由天文测量来确定位置，岂不是太难了吗？”

“你这问到点子上了，天文测量确定的地理位置，不是用来测量地形图的，而是用作基本控制的。我国在中部和东部，精密的平面控制网有两级，一等基本锁由三角形、四边形或是中心多边形连续组成锁形，按子午圈或卯酉圈布置，构成环状，一环接一环地连续布置，而在每个环形的中间，按连续的三角形布置成网状，称为二等三角网。为了控制长度的变形，在一等基本锁的交叉处，都布置有基线，这是推算三角形边长的依据。为了传递边长，往往要通过基线网，将平坦地区丈量的基线长度，传递到一等基本锁交叉处的起始边上，有时基线网扩大一次还不够，甚至要扩大两次，所以，一等基本锁的起始边又称基线扩大边。有了长度还不够，还要定出位置和方向，所以，在扩大边的端点上，还必须测量天文经度、天文纬度和天文方位角。至于人口分布稀疏的我国西部地区，多为高山和沙漠地带，交通不便给作业带来难以预料的困难，所以，精密控制网就采用导线布置，导线比较灵活，只要两点之间互相通视，就可以连续延伸，仅需在转折点上测量出角度，就可以连续传递平面坐标，但有一样，就是导线边的边长都需要直接测量，所以，导线法虽然简单便捷，得有个条件，那就是在出现电磁波测距仪以后才能广泛应用，作为精密的控制点，导线必须布置成网状，这样才能防止导线摆动过大而起不到严密控制的作用。”

“爷爷，我听明白了，建立精密的平面控制网，主要是两种方法，一种叫三角网，一种叫导线网。”

“当然，出现了电磁波测距仪以后，三角形的边长可以直接测量，不必观测水平角来间接计算，但因为三角点一般选择在通视良好的制高点上，测距时，空气中温度梯度变化很大，对电磁波会产生干扰。而要对温度梯度进行测量并加以有效改正是很困难的事，所以，三边测量多在加密控制网时应用，比如在加密三、四等三角网或是工程用的控制网上应用。”

“布置全国的精密平面控制网一定需要很长的时间吧？”

“那当然，全国精密平面控制网称为天文大地网，从1951年开始测量，到1975年才建立起来，历时25年。一等三角锁共362条，总长约75000千米，一等导线22条，总长约12400千米，这些大地点，覆盖了全国面积。”

“我想，参加全国天文大地测量的科技人员一定很辛苦！”

“是呀！在高原地区缺氧，喘气都困难，还得带上沉重的仪器和工具；西南地区多雾，经常要在山上等候能够观测的天气，在三角点上一等半月二十天那是常事；遇上湿地，不小心陷进去就有灭顶的危险。给你举个例子吧，解放军总参谋部测绘局第一大地队在测量山东半岛到辽东半岛的一等三角锁时，有一个点就布置在渤海湾的蛇岛上，从选点开始，接下来造标，再进行观测，各道工序的测量人员每次登上蛇岛时，一天之内就要驱赶几百条有毒的蝮蛇，在蛇岛上作业多困难呀！”

“我听着就发憷。”

“至于在深山老林里遇上豺狼虎豹、狗熊野猪，那算小菜一碟，家常便饭。”

“我就听爷爷讲过跟大灰狼搏斗的故事。”

“类似的故事，爷爷的同事们个个都能说上一大摞。测量人员不仅跟凶猛的野兽和恶劣的自然环境斗，在新中国成立初期，还要跟分散在深山老林里的土匪斗。这么说吧，天文大地点的成果表，是用测量科技人员的鲜血和汗水换来的。”

“爷爷那代人的奉献精神，我们一辈子也学不完。可是，全国性的天文大地网光野外工作就耗费25年，在这之前平面控制咋办呀？”

“是这样的，在建立中国独立的大地坐标系以前，先在东北地区联测了苏联西伯利亚地区的三角网，将苏联的普尔柯沃坐标系引测到我国东北地区，在1954年进行了东北地区一等三角锁网的平差计算，建立了‘1954年北京坐标系’，当时是采用苏联1942年克拉索夫斯基椭球作参考椭球。这套坐标系一直向南及向西扩展，沿用了很长时间。但这套坐标系不太适合我国的实际情况，当天文大地网的覆盖率越来越大时，就发现克拉索夫斯基参考椭球体及其定位与中国大地水准面不大吻合，平均低约30米，在东南沿海地区最多低到65米。在20世纪60年代后，国际上利用卫星大地测量技术，得到了将地球大地水准面拟合得最近似的参考椭球体，因此，在进行全国天文大地网整体平差时，采用了国际大地测量协会1975年推荐的参考椭球体参数，建立了中国大地原点，这个原点位于陕西省泾阳县永乐镇附近，这套坐标系命名为‘1980年坐标系’。”

“哦！原来是这样，这个大地原点的图片在前不久CCTV-1播放的《经纬之光》节目中看到过。”

“有了这套统一的坐标系统就好办了，无论是国防还是民用，都可以利用这套系统。在我国东部及中部，一等三角点和二等三角点分布得很均匀，各专业部门在进行社会主义建设时，只要在精密的平面控制网中加密三等或四等平面控制网就可以了。如果有些部门对控制测量有更高的要求，比如大城市和重点厂矿的建设，要求平面控制网有更高的精度，就可以布置专业的独立网，这时，坐标可以利用一个国家的精密控制点来定位，再利用一条精密控制点之间的边来定向，至于长度控制，就得重新测量起始边，过去是用因瓦基线尺丈量，现在也可以用电磁波测距仪选择平坦的地带直接测量长度，在全球卫星定位系统扩展至民用以后，也可以用GPS接收机来布置控制网。”

“爷爷，加密平面控制网采用的方法跟布置精密平面控制网一样吗？”

“在电磁波测距仪出现以前，基本上是三角测量的方法，如果从精密平面控制网中的已知边直接扩展，基本方法是三角锁和三角网。前者是从一条已知边开始，闭合到另外一条已知边上。如果要结构增强些，则布置连续的三角网，跟布置二等三角网一样，将加密网无缝隙地连接到所有的已知边上。这种加密方法受已知边的边长限制，不能很快将加密网的边长缩小。所以，过去又有另一种直接利用已知点内插的加密三角网，这种方法的优点是可以根据建设工程的需要，一次将加密控制网的边长缩小到最经济的程度。在出现电磁波测距仪以后，导线的应用更灵活，导线的纵向误差有已知点可以控制，而横向误差主要靠提高折角的测量精度来控制，如果省去测角，就可以用三边网来加密控制点，三边网与三角网不同之处在于，所有边长是由电磁波测距仪实测的，不需要测量三角形中的内角，所以也很方便。到了GPS出现以后，当然也可以用来加密控制网，而且速度更快。”

“听爷爷的讲解，好像测量精密平面控制网和加密平面控制网，过去在方法上没有多大差别，不就是三角学的原理嘛！”

“你可别小瞧了，差别大着呢！对于一等三角锁来说，为了减少用正弦公式推算边长的误差，要求三角形的任何内角不能小于40度，边长在山区一般在25千米左右，平原地带在20千米左右，由于地形限制，困难时可以放长至45千米，最短不能短于15千米，当然，在穿越江河湖泊及海湾时不受边长的限制，最长有达到113千米的。一等三角锁在平原地带布置时，要建造高标，外架上安装照准用的圆笼，还建有供回照器和回光灯使用的司光台，内架是供安放经纬仪用的，觇标分为木结构和钢结构的两类，按高度又分为寻常标和高标两种，高标的高度有达到35米的，这就相当于8层楼的高度了。在原始森林内，运输很困难，允许就地取材，建造活树觇标。在点位上还要埋设永久性的测量标石，一等点及二等点的标石分为三层，底层埋设磐石，要用土石夯实，上面再埋一层磐石，一层柱石，这些标石均用混凝土预制，中心镶嵌金属标志，在埋设时，各种标石的测量标志要严格保持在同一铅垂线上，这些标志就代表每个控制点的三要素，即纵坐标、横坐标和高程。”

“爷爷，这些测量标石如果被人移动咋办？”

“那这个千辛万苦测量出来的精密成果就不存在了。为了保持测量标志，国务院在1955年12月29日曾发布过专门的命令，这是周恩来总理亲自签发的。为了动员群众保护测量标志，还在标志附近找农村基层单位和村民代表办理委托保管书，可有些村民担心测量标志被破坏，还小心翼翼地把测量标志运回家，妥善保存起来。”

“嗐！这才叫好心办坏事，彻底破坏了测量标志。”

“所以呀，保护测量标志的宣传很重要，有些村民出于好奇，以为测量标志里藏着什么宝，非要悄悄地挖出来看看，这一挖就坏了；还有的出于迷信，认为测量标志冲了当地的风水，不但挖出测量标志，还把觇标给拆掉。所以，保护好测量标志，不光是测量科技人员的事，只要是公民，人人有责。”

“媒体也来关注这件事就好了，多给大家宣传测量标志的重要性，引起社会的关注，大家自然会爱护测量标志。现在，恐怕有很多群众不知道这些测量标志是干吗用的，所以就不爱护。记得上次咱们去旅游时，我曾看见游人爬到山顶的测量觇标上照相，这不但危险，也不利于测量标志的保护。”

“说得好！由于精密三角锁或网的边长都很长，测角要求的精度高，一般用精密经纬仪观测，过去常用的有两种，一种是机械式经纬仪，有苏联制造的TT2″/6″，这类仪器很重，分装几个仪器箱，如果在寻常标内观测，得有内架，用来将仪器的底座安放在内架上观察。遇到高标时，就得将仪器箱用滑轮吊升到顶部的台板上，再安装到内架的观测台上。另一种仪器是光学经纬仪，常用的有瑞士威特公司生产的T3精密经纬仪，后来北京光学仪器厂也生产这种类型的仪器，使用光学测微器，度盘的角值可以直读0.1″，由于仪器轻便，光学经纬仪可以架设在直伸式的三脚架上观测，甚至可以用特制的背架，将仪器背上高标。在布置三、四等加密的平面控制网时，就不一定采用精密经纬仪，一般采用精度为2″级的光学经纬仪就可以了，这类仪器国内的厂家已经大量投放到市场，凭着光学测微器，角度可以直接读到秒。”

“原来是这样，怪不得用三角形计算出来的边长很准确，测角的仪器精度都挺高嘛。”

“加密平面控制网的方法还有一种，叫做‘交会网’。”

“这‘交会网’我猜出来了，就是说，三角形的有些内角可以不必直接去测量，对吗？”

“对啦！将三角形一个接一个地连接成长条形状，这叫三角锁，如果将三角形连成一大片，就像渔网似的，这叫三角网。如果在已知边上直接联出一个三角形，推求一个新点的边长和坐标，这叫单三角形，也就是说，到此为止了，不再向外扩展了，这是交会法中最简单的图形，唯一的检核条件就是三角形的内角和等于180度。第二种叫‘前方交会法’，这种方法的特点就是利用3个已知点去交会一个新点，在新点上不设测站观测角度，而是凭着几何关系，利用3个已知点上观测的角度间接计算出来，由于可以分别通过两个三角形求出公共边的边长，利用不符值的大小作为检核条件，也可以求出新点的两组成果作为检核，所以，这种交会法还是比较可靠的，这种交会法适合于不能设站或不易设站的新点，如高楼上的避雷针、塔顶、喀斯特地区攀登困难的尖峰山顶等，这些目标虽然不能或不易设站，但由于目标高耸，是发展下一级平面控制点很好的点位，应用范围也较广泛。第三种方法叫‘侧方交会法’，其特点是利用3个已知点发展一个新点时，只在新点和两条已知边的中间点设站观测，这样也可以组成两个三角形计算出两组坐标，观测只需设立两站，节省了两个测站，所以，应用范围也很广泛，条件是新点上能设测站。最后还有‘后方交会法’，这种方法是……”

小J立刻插嘴：“爷爷，我猜着了，这‘后方交会法’是在新点上设站，已知点上不必去观测角度了，对吗？”

“要利用几个已知点呀？”爷爷想故意考考小J的悟性。

“这就等于是‘前方交会法’的逆向问题，我看3个已知点就足够了！”

“要是3个已知点和那个新点同在圆圈上，或者位于圆圈附近呢？”

“那好办，再在新点上加测一个已知点的角度就可以了，这是用来检核的。”

“所以呀，凭着在新点上观测3个已知点的水平角，可以计算出这个新点坐标，但必须要有第四个已知点的观测方向作为检核，这叫‘三点法’，长期以来，测绘学者对‘三点法’很感兴趣，研究得比较充分，所以，数学模型有500多个。”

“哇——这么多呀！该不会是在玩数学游戏吧？”

爷爷笑了笑：“大概是人们感兴趣呗，不过，多有多的好处，可根据实际工作和当时的条件筛选嘛。在计算工具落后的时候，就可以选择适合用对数计算的数学模型，当拥有计算机或计算器的时候，选择适合用函数计算的数学模型更合适，到了拥有电子计算机的时候，就可以任意选择了。‘三点法’是‘后方交会法’中被人们关注最多的一种方法。当能够利用的已知点仅仅只有3点时，能不能用‘后方交会法’？这就派生出另一种方法，叫‘二点法’，特点是利用3个已知点中的2个点，再布置2个新点，组成比较好的四边形，在新点上设站观测，再利用新点中的一个点，观测第三个已知点的方向值作为检核。当然，‘二点法’的数学模型也很多，这在过去的测绘科技刊物上，经常可以看到。”

“爷爷说的交会法在野外测量中应用得普遍吗？”

“在布置地形图测图控制点时和航空摄影测量的相片联测时，应用非常普遍，但这种交会法野外工作少了，计算却比较烦琐，在电子计算机出现以前，往往是各种方法单独使用，而作为交会网在三、四等三角网加密时使用的实例，多应用在水电站坝区加密控制网及大桥加密控制网的布设中，特别是在崇山峻岭里交通极其困难的环境中，交会网能够用最小的野外工作量来获取最多的测绘成果。但以前用手摇或电动计算机计算时，工作量太大，这是制约的原因。在今天，电子计算机非常普及，计算所需的工作量，已经不值一提了。”

“爷爷介绍的加密控制点方法太多了，我听起来都感到五花八门。”

“正因为野外工作非常艰辛，不仅要与天斗、与地斗，还要与凶猛的野兽斗，所以大家都开动脑筋找窍门，想办法，目的只有一个，那就是要多、快、好、省地完成作业任务。可以这样讲，在同样的测区如果来十位拔尖的技术骨干，就会提出10个不同的加密平面控制点的方案，各人特长不一样，对每种方法的熟练或偏爱程度也不一样，就像武术的爱好者一样，十八般武艺各有所好，自然选择的兵器不一样。另外，前辈们为我们提供的方法已经很多，但并不是所有的方法已经挖掘完毕了，得有丰富的想象力，别让现成的方法把思维束缚住，想象力哪儿来？就得多学点文学艺术。科技工作者老将自己圈在数、理、化的笼子里是不行的，容易变成井底的蛤蟆，老觉得天只有井口大。除了逻辑思维之外，科技工作者同样需要拓宽形象思维，形象思维来源于文学艺术，可以海阔天空地往远处想，你看，孙悟空一个筋斗能翻十万八千里，过去以为是幻想，只有在神话和童话里才可以出现。可看看现在，导弹和飞船，都超过孙悟空了。国外高中是不分什么文科班、理科班的，人家进了大学以后，创造性的天分就高得多，毕业以后创造发明也很多。跟爷爷一块工作的科技人员中，有些是当年从苏联留学回来的，他们谈起留学的经历时，有些感慨令人深思，苏联同学们在课余散步或游览时，面对优美的自然风景，总会说得很贴切，把美好感受形容得很具体，有些当场背诵苏联诗人赞美大自然的名句，而中国留学生只能千篇一律地感慨：‘哦——真美！’走到哪就这一句，因为，他们形容不出来。你想想，他们回国后装满一脑子苏联著名测量学家的经典公式，一张嘴就是‘克拉索夫斯基如何说’，‘乌尔马耶夫的公式如何如何’，要他们在实际工作中改变一点，哪怕是一丁点，他们就会急得脸红脖子粗。所以，不管你将来到大学里学什么，要注意扩展知识面，如果选择工科或理科，也别把文学艺术扔到一边！”

“爷爷的话，我好像听起来很熟悉。”

“温家宝总理在一次看望我国著名科学家钱学森时，钱学森曾谈到科学艺术相结合的话题。他说：‘希望搞科学的学一点文学艺术，搞文学艺术的学一点科学……一个有科学创新能力的人，不但要有科学知识，还要有文化艺术修养。’温家宝总理2006年11月13日在中国文联和中国作协全国代表大会上介绍了钱学森的这段话。”

“我现在总算明白了，爷爷本来是一位测绘界的高级工程师，可书架上有那么多的古今中外文学名著，而且还收藏了许许多多的画册和字帖，虽然钱学森爷爷的话是不久前说的，可爷爷早就这么做了，这真叫心有灵犀一点通呀！”

爷爷抚摸着小J的头发，微笑着说：“记住钱爷爷的话，你会受用一辈子！”

这时，爷爷惊喜地发现，孙子在频频点头时，双眸在炯炯发亮。

从白纸测图到数字化制图

自从小J听完爷爷讲述的平面控制点加密方法以后，他对地理位置三要素的来龙去脉已经知道了。可静下来一想，就凭爷爷讲过的那些方法，要把地面上千千万万形态都标在图上，还是够麻烦的，心想，爷爷的葫芦里还装着别的宝贝，肯定没全抖搂净。本想继续问个明白，可期中考试临近了，他只好把疑问埋在心里，忙于迎接考试了。

那是期中考试结束后的周末上午，小J就把心中的疑问朝爷爷端了出来。

爷爷说：“你问的问题叫‘地形测量学’，那也是整整一本厚厚的教科书，三言两语说不清楚，这样吧，咱们挑最基本的说。地球表面的形态可以归纳为两类，一类称为‘地貌’，是天然形成的，像山丘、沟壑、沙漠、湿地、草原等，另一类叫做‘地物’，这是人类活动形成的，包括建筑物和构筑物，例如铁路、公路、机场、桥梁、输电线路、地下管网、房屋、灯塔、宝塔、庙宇等，地形图就是要真实地描绘出地表形态，将这些零星的点测到图纸上，并用各种图形描绘出来，这就叫‘碎部测绘’。下面就给你介绍最基本的方法，那就是‘极坐标法’。”说着，爷爷在桌上铺开一张纸，用笔在纸上画出几个平面控制点，“瞧，这张纸就表示是测绘地形图用的图板，在裱好的图纸上展绘好方格网、图廓点和控制点。比如，我们先选择一个控制点作为测站点，然后用平板仪的定规瞄准相邻的控制点，图板就标定好方向了，对不对呢？得用另一个相邻的控制点来检核，然后就可以开始测图了。先从近处开始，这里有一根电力线杆，移动平板仪，将望远镜的十字丝瞄准电杆中心，然后用尺量出测站到这根电力线杆之间的距离，接着按测图比例尺折算成图上距离，再沿定规边缘的分划将图上距离对准，用刺针或铅笔将碎部点的位置标在图上，画上电力线杆的符号，这个碎部点的平面位置就出来了。然后，再将望远镜的十字丝横丝切住标尺上与平板仪等高的分划，读出垂直度盘上的垂直角，按正切公式计算出高差，得出测站点的高程与高差代数和，便求出电力线杆的地面高程，这样，碎部点的地理位置三要素就全有了。接下来，按同样的方法去测绘第二个碎部点，这样逐步测绘，直到测绘完这个测站有效半径内的所有碎部点，就可以将平板仪转移到下一个测站，直到测满一幅图为止。”

“哦！原来是这样。小J原先以为非常神秘的事，一经点拨，就豁然开朗，“爷爷，这种方法就跟几何学中的‘极坐标法’完全一样。”

“说对了。这平板仪在望远镜出现以前很简单，测图时直接用大螺旋将平板固定在三脚架上，测图用的瞄准器称为‘测斜仪’，定规上刻有普通分划，两端各有一条可以折叠的金属板，一端上面有小孔，另一端有空心槽，中间装有马尾丝，测量人员可以通过一端的觇孔用另一端的马尾丝来瞄准方向，这称为视线，视线是与定规上刻有分划的边缘平行的，这样，测量碎部点时，图上的方向线就可以确定了，距离就可以用尺去量，因此，图上的位置就可以确定下来。”

“爷爷，要是遇到斜坡咋办呀？”

“当然要将倾斜距离改算成水平距离，‘测斜仪’前面那条装着马尾丝的觇板不是有分划吗？板上与觇孔同等高度的分划构成水平视线，利用目标形象在分划板上的位置，可以读出相当于水平视线的分划间隔，目标的高差就可以求出来了，这‘测斜仪’名称的由来，就说明是可以测坡度的。”

“我懂了，这原理就是两个相似的直角三角形。”

“用小平板仪按极坐标法测图，适合于大比例尺地形图，因为，距离不太长，量距并不困难。但对小比例尺测图，这极坐标法就不灵了，就得用交会法，主要是前方交会法。”

“就是爷爷以前讲过的加密平面控制网的方法吗？”

“以前讲的是用经纬仪测量的方法，坐标得通过计算才能求出来，所以又叫‘解析交会法’。而小平板是在图纸上直接绘出来，不需要通过计算，所以又叫‘图解交会法’，这叫异曲同工，目标是一样的。碎部点的高差可以通过分划板的读数和从图上量取的距离求解，由于交会出来的碎部点有两个以上的测站点，所以求解出来的碎部点高程也有两个以上，可以互相检查，只要都在限差以内，可以取中数采用。但‘图解交会法’容易产生误差，当交会的方向束为3条时，往往会产生小的三角形，这叫‘示误三角形’，必须消除，这说明描绘方向线时，图板偏移了，必须重新标定图板，重绘交会线。”

“我觉得‘图解交会法’看上去简单，实际上够麻烦的。”

“所以，测图必须要小心翼翼才行，在望远镜出现以前，这种老的测绘方法持续了很长时间。当发明了望远镜以后，就诞生了大平板仪，又称‘平台仪’，跟经纬仪的主要区别就是，用垂直轴代替经纬仪的支架，由于不需要水平度盘，所以垂直轴就直接连接到平板仪的定规上，而将基座安装在图板的下面，可以与三脚架连接，为了保持稳定，定规改成金属的，边缘有滑槽，可以使不同比例尺的分划板随滑槽在图板上平行移动。垂直度盘必须保留，要用来测量垂直角，望远镜的目镜上有十字丝及视距丝，这跟经纬仪一样，可以利用标尺读取视距。”

“爷爷，能读视距，要比量距快多了。”

“可视距时，望远镜中的视距丝是随垂直角移动的，但标尺始终是垂直于水平面的，所以视线与标尺在有坡度的情况下并不垂直，产生一个倾角，这倾角就是垂直角。因此，由视距丝读取的视距，必须用垂直角先将其改正为标尺与视线垂直时的读数，然后再改正为水平距离，当然，垂直角还可以用来计算高差。”

“这种计算一定也很麻烦。”

“开始时，利用计算尺来计算水平距离和高差，为了节省时间，有人就按视距计算的数学模型编制成《视距表》。后来，又做成轻巧的视距计算盘，一直沿用至今。在仪器的改进上也下过工夫，有位学者将数学模型展绘成曲线，取代视距丝，直接刻在目镜的十字丝分划板上，这样一来，除了纵丝是直线外，原来的上下两条视距丝都变成了曲线，这种曲线随垂直角的移动而变化，可以在标尺上直接读取水平距离，还增加了一条高差曲线，可以从标尺上直接读得高差，这种测距装置是按发明者命名的，称为‘哈满视距丝’。”

“爷爷，有了大平板仪，测绘地形图就方便多了，对吗？”

“跟小平板仪的测图方法相比没有变化，还是‘极坐标法’和‘图解交会法’。”

“这么说，有了大平板仪以后，这古老的测图工具小平板仪早就该淘汰啦。”

“没淘汰。由于仪器多样化了，选择的余地也拓宽了，有些测量员仍用小平板仪来描绘方向，而在测站旁安置一台经纬仪，用来读视距及测垂直角，这样一来，就将测图任务由两人分担，可以提高效率。”

“那经纬仪不可能跟小平板仪同时安放在一个位置上，咋办呀？”

“这好办，小平板仪要描绘方向，当然要放在测图控制点中心，经纬仪是放在测图控制点旁边的，其位置可以按偏离的方向和距离标在图纸上，测图时，当小平板仪瞄准方向后，用卡规在比例尺上截取距离数，将卡规的一端对准经纬仪的图上位置，另一端贴近定规刺孔，这就是碎部点的图上位置。”

“单独用经纬仪可以测图吗？”

“可以呀，这叫‘经纬仪测记法’，可以说，这属于数字化测图的早期方法。测图时，将经纬仪安置在测图控制点上，瞄准相邻的测图控制点后，将水平度盘归零。然后依次对准每一支标尺，在测图手簿上记录每个碎部点的属性及编号，还有视距、水平角及垂直角。室内处理时，将每个碎部点的坐标和高程计算出来，利用坐标仪展绘在地形图上。这种方法，在开始时计算工序是采用手摇计算机进行的，速度很慢，碎部点展绘在图上后，还要结合野外绘的草图来描绘地形图，效率比较低，只有在梅雨季节，为了充分利用适合作业的天气才采用的。但当全站仪出现后，原先的经纬仪测记法便应用到数字化测图中了。”

“全站仪我知道，爷爷以前给我看过不少公司生产的仪器样本，那是将经纬仪和电磁波测距仪有机地组装成整体的现代化测绘仪器。”

“对，全站仪中装着微型计算机，不仅采用电子度盘，而且可以立即将计算结果显示在小屏幕上，容量较大的存储器可以将编码、观测值、计算成果等数据流存储起来，回到室内后，再通过电子计算机的编辑程序，将野外采集的数据流用绘图机打印出来，并可以将这些信息直接存入数据库，成为地理信息系统GIS的基础资料。与经纬仪测记法相比，记录员的任务由电子手簿代替了，反光棱镜取代了标尺，有些激光全站仪在近距离测距时，连棱镜都可以省略，直接瞄准目标就可以测出距离，这样一来，测站只需一人操纵仪器就可以了。”

“爷爷，有了全站仪，记录计算是快多了，可一幅图上密密麻麻那么多碎部点，每个点都得去采集，也够辛苦的，要是仪器看不见的点该咋办呀？”

“没有省事的办法，这个测站看不见，将仪器搬个家，找一个新的测图控制点再测，如果测图控制点不足，就得一边测图，一边根据需要再加密一些测图用的控制点就可以了，总之，一幅图内所需要的碎部点，都要采集完整才行。当然，用全站仪直接采集数据的方法，是数字化测图中最精确，也最耗时的方法，只有在大城市及大型厂矿测绘特大比例尺地形图时才采用。也有用来进行专业测绘的，如地籍测量，对房屋及宗地面积的精度有较高的要求，可以采用全站仪进行数字化测图，一般情况下，现在大多采用航空摄影测量的方法进行测图，这就快多了。”

“还有其他的测图方法吗？”

“当面积较小时，可以采用‘支距法’。”

“爷爷画出图来看看。”

于是，爷爷先在纸上画出两个测图控制点，将两点用直线连接起来，然后在直线旁画上房屋，从两个房角分别向直线做垂线。画完以后，爷爷就启发式地问小J：“看明白没有？”

“哦！我明白啦，”小J高兴地说，“只要从任何一个已知点量取到垂足的距离，再从垂足量取到房角的距离，房角就可以在图上绘出来了，一座房屋画出了一条边线，其余的边线按直角先绘出边线，再用量距的方法就可以确定其余的房角了。可是，这方法虽然简单，做起来好像并不容易。”

“为啥？”

“在纸上几何作图并不困难，可在野外怎么确定这个垂足呀？”

“你再动动脑子，看能想出什么招？”爷爷开始动用激将法了。

小J托着腮帮子开始揣摩。突然，他双眸发亮，激动地对爷爷说：“有了，我可以做一根垂直杆，在杆的中部掏一个贯通的小槽，小槽留下一半，另一半在杆的垂直方向也挖通，这样，槽内可以装一个直角三棱镜，而在槽的上部安一片平面反光镜，可以看到后面的目标，只要在两个已知点上插好测杆，当反光镜和槽中的测杆相重合时，这位置就在直线上了，然后沿着直线前后移动，直到看见房角的影像和测杆的影像都重合了，这地面上的位置就是图上的垂足。”

“哈哈，说得对！”爷爷一听，真的乐了：“你想的原理很正确，当然，垂直杆做得比你说的要精致些。支距法用在分方测量中也很方便，就是将图幅上的坐标格网放样到实地，再沿着格网的边线用垂直杆测量，同样可以测出平面图来，这种方法，既不需要平板仪，也不需要经纬仪，只要一根尺来量距就可以了，如果再另外用水准仪测出碎部点的高程，就是名副其实的地形图了。另外，这种方法不仅可以用图解法绘出平面图来，也可以利用已知点的坐标，按规则的图形，将坐标传递到每个碎部点，所以，即使利用全站仪按数字化测图采集数据，对于那些非常隐蔽的角落，不妨采用支距法作为补充的手段，这样就完美无缺了。”

“爷爷上面讲的大多是关于平面位置的测绘方法，地球表面还有山脉、河谷，这些地表的形状怎样表示呢？”

“在地形图上，这些是用等高线表示的，把地表上高程相同的点用曲线依次连接起来，这种曲线称为等高线，地形原图清绘时，地物符号及建筑物的轮廓线是用黑色绘出，而等高线是采用棕色线条。两条等高线的高差称为等高距，不同比例尺的地形图，等高距有统一的规定，一般的等高线称为首曲线，隔4条首曲线要绘成加粗的曲线，称为计曲线，这样，读图时就比较醒目，如果地势平坦，为了表示地貌的变化，在两条首曲线之间，可以加测半距等高线，称为间曲线。如果还不能完全显示地貌的变化，还可以在间曲线之间插绘助曲线。”

“等高线的原理，地理老师给我们讲过，那是表示坡度的，将不同坡度的斜坡垂直投影到平面上就知道了，坡度陡的地方，等高线就密；坡度缓，等高线就稀疏，可地面上千姿百态，怎样才能用等高线准确地表现出来呢？”

“问得好！测绘等高线时，首要的技术就是要把握好地性线，虽然地表的形态千奇百怪，但地貌的形成总是有规律的，地球表面逐渐冷却以后，开始了造山运动，由于挤压的程度不同，形成山脉的坡度也不相同。后来，由于风雨、冰蚀等种种外力的作用，又逐渐改变了昔日的风貌，比如，你去过广西桂林，那里除了有大量的地下溶洞外，山形奇峰兀立，攀登十分困难，这都是石灰岩受雨水侵蚀形成的独特地貌，称之为‘喀斯特地貌’；在黄河沿岸，黄土地区也有喀斯特现象，称之为‘黄土喀斯特’，其特点就是受雨水冲刷以后沟壑纵横，深度切割，人站在黄土坡上，对面的人影瞅着挺真，可要过沟去会面，有时得爬半天。那沟里的蚀余地貌更是千奇百怪，一座座黄土柱、黄土天桥，显得支离破碎，还有黄土溶洞，深不可测。所以，测绘地形图要想得心应手，必须具备地貌学的知识。所谓地性线，指的是构成地貌特征的框架，好像人的骨骼，只有掌握好骨骼的解剖原理，才能画出栩栩如生的人物形象。具体地说，就是要掌握好山脊线、山洼线、谷底线，按照不同的地貌类型，去选测高程点，并将相邻的高程点进行内插，确定整数高程的图上位置，然后用曲线描绘出来。这跟绘人像素描有些类似，所不同的是素描侧重于表现形象的光和影，而在地形图上描绘地貌，用的是等高线。高明的画家，其作品显得特别传神，而优秀的地形测绘员，描绘出的地貌就非常逼真，比起画家来，测绘地形图除了体现艺术性之外，还不能违背科学性，首先等高线的平面位置，跟测出来的高程点应该相协调，否则，画得再美观，数学精度也降低了。画家为了突出艺术性，可以采取夸张的手法，甚至可以抽象到让普遍人理解不了，但地形图的测绘必须真实。所以说，如果将大地测量比做天马行空，大气磅礴，那地形测绘便像妙手刺绣，锦上添花。”

“爷爷的话，特形象！”

“对了，地形图还有个要素，那就是地理名称的调查和注记，除了统一的编号外，每幅图还要用最主要的地理名称作为图名。”

从切橘子皮引出的话题

听爷爷讲完了地图的有关知识，每逢小J在晚上做完了作业，就开始在客厅的书柜里翻腾，只要是图集，外加有关地形测量学的教科书和专著，无一漏网，因为在书里能找到各种比例尺地形图的插图。等这些都翻遍了，小J总算慢慢消停下来。

没隔多久，小J又在玩新的花样了，他从爷爷的许多地球仪中找出一个用塑料球绘制的空心地球仪，这个地球仪的中心装有一盏白炽灯，他把地球仪的电线接上电源，揿下按钮后，地球仪通体明晃晃的，小J一会儿将赤道圈对着墙壁，一会儿又朝向天花板。正在读晚报的爷爷，一看孙子的举动就明白了，他准是在观察透视投影的方法。爷爷想把结论直接告诉小J，但转念一想，还是让孙子从直接观察中找答案吧。

等小J停止摆弄，关掉电源，把地球仪归回原位以后，自己憋不住了，便走到爷爷身边，主动说：“我的实验失败了，看来，地球的投影方法采用透视的原理是不行的，最多只能投影地球的一部分面积。”

爷爷笑着问：“地理课的老师没给你们讲过地图咋投影呀？”

“在初中的地理教科书中就有地图投影的内容，老师讲课时说：‘这地球是球体，而地图是印在纸上的，平面的纸张怎样表示球体呢？’这时，老师从讲台上拿起一个橘子、一张纸，又举起一把水果刀，接下去说：‘这橘子好比是缩小了的地球，扁的部分代表北极和南极，直径最粗的地方代表赤道，现在，我们从赤道两侧通过北极和南极将橘子切开，切开的橘子皮瓣代表子午圈，将赤道的卯酉圈连着，然后，我们将纸围成一个圆筒，表示一个圆柱，将橘子皮套上，最后，将橘子皮贴在纸上，将纸展开，同学们，看到没有，全球的形状就展示在纸上了，这就是同学们今天看到的世界地图，这叫圆柱投影。当然，球面不是靠压平的，那只是个比喻，球面上的点、线、面是通过数学计算投影到平面上去的’。”

爷爷点点头：“你们的地理老师讲得对，那是地图投影的一种方法。从球面到平面，地图投影肯定要产生变形，知道变形的性质有几种吗？”

“我记得有一种是形状没有变化，而大小发生了变化。”

“这种性质的投影，叫做正形投影，由于图形中的角度没有变化，所以又叫等角投影。”

“还有一种是形状发生了变化，而面积的大小始终保持不变。”

“这第二种投影性质叫等面积投影。还有一种投影性质，不但面积不同，形状也不同，这第三种投影性质称为任意投影。在任意投影中如果保持距离不变，又称为等距离投影。这3种投影性质，就是解决将球面转化为平面这种矛盾的途径。”

“爷爷！圆柱投影是地图投影的一种方法，这种方法是不是也能按刚才提到的3种投影性质来分别运用呢？”

“当然可以啦。除了圆柱投影外，投影方法还有圆锥投影和方位投影。所谓圆锥投影，就是用一种圆锥套在地球的球面上，通常是将圆锥的轴线与地球的旋转轴重合，因此，当椭球的球面向外扩展时，子午线与圆锥面相交后，就成为圆锥面上可以通过圆锥顶点的直线，而卯酉圈跟圆锥面相接后就成为弧线，每条纬线就成为以圆锥面顶点为圆心的圆圈。如果沿着相交后的某一条子午线分开，圆锥面就展现成一张扇面，这样，就将椭球体的球面投影到平面上了。”

“圆锥投影的方法，我们在初中的地理教科书上也学过，还有一种方法叫方位投影。”

“对了，作为圆锥投影方法的一种特殊例子，假如我们将圆锥面的顶角不断扩大，最后变成180度，这时，圆锥面就不存在了，变成了平面，这种投影方法就称为‘方位投影’，用这种方法投影南极和北极，变形最小。”

“怪不得在《世界地图集》里，北冰洋和南极洲的地图，就是采用方位投影的方法。”

“圆锥投影方法还有一种特殊的例子，从几何学的观点来看，如果将圆锥的顶点沿轴线延长到无穷远时，圆锥的底部就与圆柱非常近似了。”

“照爷爷这么说，地图投影的方法最基本的就是圆锥投影的方法，其余的投影方法都是从圆锥投影衍生出来的。”

“这不是容易记吗！当然，这几种投影方法都可以分别按3种不同的投影性质来选择，上面提到的都是按正轴投影来说明的。所谓正轴，就是投影面的轴线与地球椭球的旋转轴相重合的正常位置。如果将投影面的轴线旋转90度，与椭球的旋转轴成正交，且通过轴心，与赤道面重合，这叫横轴投影。如果既不是正轴，也不是横轴，而是采用任意轴的投影，就称为斜轴。”

“爷爷，为啥不一律采用正轴投影呢？”

“你想想，地球那么大，每个国家在出版地图时，都希望绘出来的本国地图中，因投影引起的变形最小，并且使变形分布均匀，而各国在出版世界地图时，都希望将本洲和本国的位置放在世界地图的中心位置，所以，各国在出版世界地图时，不但内容的主次不同，连投影方法也不可能完全一样。比如，采用正轴圆柱投影时，经线是平行直线，纬线也是平行直线，经纬线是正交。而采用正轴圆锥投影时，经线是直线束，而纬线成了同心圆弧，经线交于纬线圆心。而正轴方位投影时，经线是直线束，纬线成了同心圆。这才讨论了正轴投影的情况，还有横轴和斜轴的情况。你可以将橘子皮上先画上经纬线，再按不同的切法试试看，观察一下经线和纬线的形状有什么变化，然后再去看看我国出版的《世界地图集》，相互对照着琢磨一下，看看那里一幅一究竟采用什么投影方法，有些是不一样的。另外，要是有兴趣的话，也可以在书橱中把你爸爸妈妈从国外带回来的地图集拿出来比较一下，就会发现很多新鲜的知识，不要一翻而过，要一幅一幅仔细地看，这就像吃橄榄一样，刚放进嘴里呀，觉得又苦又涩，可越嚼越有味道，你要不信，不妨试试。俗话说：‘要想知道梨子的滋味，就得亲口尝一尝！’”

“爷爷，你说的地图投影方法，真是五花八门，该不是又在玩数学游戏吧？”

“这可不是在玩数学游戏。地图投影方法的研究，源于对地球奥秘的探索和航海的需要，你最近也看过中央电视台播出的专题片《大国崛起》，那里介绍了世界上不同时期的9个强国，其中有些国家，从世界地图上看，面积不算很大，这些国家为什么会成为世界瞩目的强国？主要是由于对航海探险和世界贸易非常重视，这就迫切需要测绘学的支撑，测绘学在航海探险中发挥了巨大的作用，而新大陆的发现，又给测绘学的发展以促进的作用，这就是近代500年来，测绘理论和测绘仪器在欧洲得以迅速发展的历史背景。”

“我对《大国崛起》专题片中的葡萄牙王子恩里克印象很深，他在葡萄牙最南端的小渔村萨格里什建立了人类历史上第一所国立的航海学校，为了组织船队探索大西洋的奥秘，他改进了中国的指南针，还把只装一幅四角帆的欧洲传统海船改造成配有两幅或三幅大三角帆的快速海船，对吗？”

“是的，我以前提到过的希腊天文学家托勒密的著作《地理学指南》，尘封1200多年后重新受到关注，1406年在意大利出版，当时恩里克只有12岁，他后来也跟欧洲许多知识分子那样，对托勒密地理著作点燃起的幻想达到了近乎痴迷的程度。这位王子把当时热心探索地球奥秘的有识之士尽量搜罗在自己的周围，一齐将目光注视着神奇的海洋。”

“爷爷，在《大国崛起》专题片中，好像他们要去寻找香料，这香料那么重要吗？”

“这香料就是胡椒，那时是靠胡椒来保存食物的，所以欧洲人都很重视，但这是贸易方面的追求，真正的长远目标是探索海洋，重新认识地球。在《地理学指南》的世界地图中，非洲是挨着南极的，但恩里克组织起来的船队，却发现非洲和欧洲仅仅隔着一座地中海的海峡，到1460年恩里克去世的时候，被葡萄牙绘在地图上的非洲西海岸已经有4000千米。而在恩里克王子去世27年后的1487年7月，葡萄牙国王若昂二世又派出由3艘帆船组成的船队顺大西洋东侧南下，这支船队由迪亚士率领，半年以后，他们驶过了非洲最南端，迪亚士将这一海角称为‘风暴角’，而若昂二世却改名为‘好望角’，这一名称一直沿用到今天。当时还有一位航海家哥伦布相信地球是圆的，如果从大西洋东岸向西航行，肯定能找到亚洲，但当时葡萄牙国王若昂二世热衷于通过好望角向东去寻找亚洲，没有采纳哥伦布的建议，无奈之下，哥伦布只好去见刚刚完成统一大业的西班牙女王伊莎贝尔，1492年4月17日，双方签订了协议。哥伦布被任命为发现地的统帅，8月3日，哥伦布带着西班牙女王资助的3艘帆船起航了，在大西洋上一直向西航行。在茫茫的海洋中航行两个月后，10月10日，不安的船员们声称再继续向西就要叛乱，哥伦布再三劝说，要求再延期3天。就在这3天后，奇迹诞生了，船员们终于看到了陆地，这就是北美洲的巴哈马群岛，哥伦布以为到达了亚洲的印度，给当地的居民起名为印第安人，新发现的美洲成了一块欧洲人从来不知道的新大陆。当年，世界上第一个地球仪制作完成了，而哥伦布发现的新大陆，在当时的地球仪上是一片海洋，难怪西班牙女王要将发现新大陆的日子10月12日定为国庆日。”

“我记得电视节目里还有一幅油画，葡萄牙和西班牙正在瓜分海洋。爷爷，这海洋能分吗？”

“今天来看，当然很可笑，但在500年前的欧洲，却是天经地义的事。欧洲人当时认为，大海不是开放的，只属于发现者，是葡萄牙人发现了大海，大海属于葡萄牙。那西班牙当然不干了，激烈的争论持续了一年，最后两个国家在罗马教皇的主持下，在里斯本签署了协议，将地球一分两半，大西洋以东的海洋归葡萄牙，而美洲属西班牙，这就是瓜分殖民地的先例。1498年5月，葡萄牙的航海家达•伽马率船队到达印度的卡利卡特港，而郑和的船队，早在70年前就已经到过印度了。西班牙也不甘寂寞，再次于1519年9月20日，派麦哲伦带着265名船员，分乘5艘船从大西洋向西作环球航行，在航行结束时，幸存的船员只剩下18名，船长麦哲伦虽然在菲律宾被杀，但这次环球航海具有划时代意义。随着航线的增加，一幅逐渐趋于完整的世界地图呈现在欧洲人的面前，制图工作异常繁忙，刚出版的世界地图就因为有新的陆地和岛屿被发现不得不更新。航海热使葡萄牙和西班牙不断拓宽殖民地，也使欧洲人逐步看清了地球的真实面貌。”

“听爷爷这样一说，原来地图投影这门学问跟航海热密不可分。”

“你看，等角圆柱投影是荷兰地图学家墨卡托（Mercator）于16世纪创造的，所以又称为‘墨卡托投影’，非常适用于航海，直到今天，在航海及航空的地图制图方面仍没有失去实用价值。”

“那我们在陆地地图的投影方面采用什么投影方法呢？”

“用得最多的是等角横切圆柱投影，又称‘高斯-克吕格（Gauss-Krüger）投影’，简要地说，就是用一个圆柱体套在地球椭球体外面，并与某一条子午线相切，相切的这条子午线称为中央子午线，圆柱的中心轴位于椭球的赤道上，将中央子午线东西按精度所需的经差范围（一般为1.5～3度）的经纬线交点投影到圆柱面上，将此圆柱面展开为平面，就是‘高斯—克吕格投影’。这种投影有3个特点，中央子午线与赤道投影后成为正交的直线，而且成为投影的对称轴，使其两侧保持对称的关系；投影具有等角性质；中央子午线投影后保持长度不变。这种投影计算是比较麻烦的，过去为了方便应用，出版了专门用表，只需经过内插，便可求出正解后的平面坐标，但由于各个国家采用的椭球体不一样，所以出版的专门用表自然也不一样，现在各国采用的椭球体已逐渐趋向一致，加上有了电子计算机，复杂的计算也就不成问题了。”

“爷爷刚才介绍的是应用范围较广的地图投影方法，其他还有哪些主要的方法？”

“各个国家由于地理位置的不同，选择的投影方法也不尽相同，好在投影方法理论研究的成果很多，各国尽可以在其中选择最适用的方法。例如，等角圆锥投影也可以为正轴、横轴、斜轴，以及正切于单标准纬线或正割于双标准纬线等形式分别选择，这种投影方法称为兰勃特（Lambert）正形圆锥投影。采用方位投影时，除兰勃特等面积方位投影外，还有按等距离方位投影的波斯托（Postel）投影。此外，还派生出几类投影方法，第一类称为‘伪圆锥投影’，其特点是，投影中，纬线为同心圆弧，经线为相交于圆心的曲线，这类正轴投影的地球挺像心脏的形状，经纬线都是斜交的，所以不可能保持等角的性质，只能保持等面积的性质，这类投影主要有彭纳（Bonne）投影。第二类称为‘伪圆柱投影’，在正轴投影中纬线是平行的直线，而经线是对称于中央直经线的曲线，这种曲线可以有正弦曲线、椭圆线、抛物线、双曲线等，具有等面积的投影性质，其图形很像扁的葱头。第三类是‘伪方位投影’，正轴投影时，纬线是同心圆，经线是相交于圆心的曲线，只有作为对称轴的经线是直线，而变形曲线的形状有椭圆形或三叶玫瑰形等，这类投影不能保持等角或等面积的投影性质，属于任意性质的变形，一般用来编绘小比例尺地图。第四类称为‘多圆锥投影’，这类投影，纬线是同轴圆的圆弧，圆心在中央直经线上，经线是对称于中央直经线的曲线，这类投影可以按变形性质选用等角、等面积或任意性质的投影方法。这类方法中，除了格灵顿（Grinten）投影、美国多圆锥投影、苏联中央测绘科学研究所‘等分纬线多圆锥投影’外，还有我国地图出版社研究的两种投影方法，就是‘等差分纬线多圆锥投影’（1963年）和‘正切差分纬线多圆锥投影’（1976年）。”

“爷爷，这第四类好理解，前三类的头前为啥要加个‘伪’字呀？”

“那是因为这三类投影方法是分别从圆锥投影、圆柱投影和方位投影这些基本投影方法中派生出来的，总得有点区别吧！”

小J点点头。从那以后，他再翻开地图时，又多了个心眼，得先揣摩一下地图的投影方法。

〔Pvv〕＝min

小J听爷爷讲测绘，已经有很多次了，他对测绘与人们生活的关系，以及对传统的测绘方法的轮廓，有了概略的了解。比起同班的同学来，知识面要宽多了。至今，他在马路上看见专业人员在进行测绘作业，就会判别出用的是什么仪器，作业的目的是什么；知道通过什么途径可以确定地面点的高程，用什么办法可以测出地面点的坐标；还有，翻开地图册，他一眼就可以判明，这幅图是采用什么投影方法。通过测绘这门科学，使他拓宽了自然科学和社会科学的知识，有时在同班同学面前，他常把新学到的知识传播出去，使同学们对基础课程更加感兴趣，随着对新知识的追求日趋强烈，同学们中又会萌发出许多的问题，当小J无法解答时，他会带着这些问题去问爷爷。于是，小J就成了求知过程中的桥梁。

有一天，在课间休息时，一位同学突然问小J：“听你介绍测绘，常常要重复测量，比如，要知道两点之间的距离，用尺量一次就足够了，干吗非得三番五次地重复测量？再有，一个三角形，内角之和等于180度，只要测出两个内角，剩下的那个内角用180度一减就出来了，干吗非得全测呀？”

小J脱口而出：“那还不简单，为了提高测量精度呗！”

“总不能没完没了地测量吧？”

小J给噎住了，提高精度总得有个衡量的标准吧！那天回到家，刚做完当天的作业，他就凑到正在看电视的爷爷跟前，把同学提的问题，和盘端了上去。

爷爷不慌不忙地取出一张白纸，铺在茶几上，用中性笔在纸上写出一组符号：

〔Pvv〕=min

小J摸不着头脑，直截了当地问：“这min是啥意思？”

爷爷回答：“是‘minimun’的缩写，就是‘最小值’的意思。”

“那〔Pvv〕呢？”

“V表示观测值的改正数，VV是改正数的乘积，也就是V的平方，P在测绘学中的术语称为‘权’，比如，观测值的精度用什么概念去衡量呢？人们经常会用‘好’、‘比较好’或‘非常好’去说明优良的程度，但这是形容词，在测量中是无法具体衡量的，必须量化，也就是用数字来标明精度的等级，所以称为‘权’，用符号表示就是‘P’。至于方括弧，表示总和，或者可以用希腊字母‘Σ’代替。所以，刚才写的符号就是‘加权改正数的平方和等于最小值’，这门学问简称就是‘最小二乘法’，是德国科学家高斯总结前人观察偶然误差的规律结合或然率理论总结出来的学问，法国数学家勒戎德尔于1806年在确定彗星轨道时也提出相同方法。你的同学问得挺有意思，重复观测，主要是增加多余观测，避免出现粗差，用俗话讲，就是不能出错。”

“爷爷，我能不能这样理解，测量就像打靶，如果拿靶心比作正确结果，那不一定每次都命中靶心，只要多打几次，总会中靶的，是这样吗？”

“这种比喻有点道理，但也不全一样，打靶的靶心是看得见的，而你刚才讲的测量‘正确结果’，在测量中的术语叫‘真值’，这真值是很难求出来的，我们只能在观测结果中求出最可靠的值，这个值的测量术语就是‘最或是值’。就像相对真理和绝对真理的关系一样，哲学家认为，绝对真理是相对真理的总和，只要是从经验中总结出来的理论，又经过实践证明是正确的，可以称之为相对真理，但必须实践——理论——再实践，循环往复，以至无穷，才能趋近绝对真理。这个道理是一样的。”

“那怎么去求这个‘最或是值’呢？”

“在回答你的问题之前，先得说说什么叫误差。如果将误差用符号Δt来表示，每个观测值用Lt来表示，最或是值用X表示，则最或是值减去观测值就是每个观测值的误差，写成表达式就是：Δt= X - Lt。而误差又分两类，一类叫系统误差，比如测量距离时，尺的刻划不准确，或者是电磁波测距仪的乘常数和加常数不准确；在观测角度时，度盘分划线刻得不均匀，或者光学测微器的周期不准确等，在进行几何水准测量时，仪器的水准轴与视线轴不平行等，这些都属于系统误差，在测绘作业之前，以及在作业之中和作业结束之后，都要对使用的测量仪器及工具进行严格的检验，将系统误差的影响降到最小的程度。对于无法校正的仪器或工具，都要编制出相应的改正系数，对观测值进行逐项校正。所以，系统误差不在‘最小二乘法’的讨论范围之内。那‘最小二乘法’讨论什么呢？主要研究第二类误差，那就是偶然误差，分析这类误差的性质及其规律。”

“既然偶然误差是捉摸不定的，难道也有规律可循吗？”

“有呀！总的来说，有4种规律，只要按规定作业，偶然误差的绝对值不会超过一定的范围；绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的机会多；绝对值相等的正误差与负误差出现的机会相等；偶然误差的算术平均值，随着观测次数的无限增加而趋向于零。”

“爷爷，我听了以后，好像觉得这也是不可能的，因为观测次数不可能无限地增加，也就是说，偶然误差的算术平均值就不可能为零，这说明，我们采用的观测结果中，永远带有偶然误差。”

爷爷听了一笑：“我早就说过，世界上没有绝对纯净的东西，我们是将有限的观测数取算术平均值，就认为是该量最可靠的数值，这个数值称为该量的最或是值。”

“按爷爷的说法，我们只能找到相对可靠的观测结果，那偶然误差保持在什么水平才算最可靠的结果呢？”

“衡量质量的方法还是有的，平均误差就是一种方法，如果把误差的符号去掉，将绝对值取算术平均值，这叫做平均误差，有些国家就是采用这种方法来评定质量的，但这种方法有缺点，就是当观测结果中含有较大的误差时，反映得不明显。所以，我国采用中误差来衡量精度，如果用m表示中误差，计算方法就是：m =±（〔ΔΔ〕/n）1/2，由于计算时，Δ需要自乘，大误差就藏不住了，会明显地暴露出来，所以，用中误差来衡量精度就比较可靠。这表明，我国对测量精度的要求是比较严格的。”

“我明白了，确定观测结果的可靠程度，在我国就是用中误差来衡量的。”

“有了衡量精度的标准，就可以计算出观测误差绝对值的区间，便于在观测中及时淘汰粗差，这一点很重要，适合作业的时间往往很短，必须有效地加以利用。测量的目的不同，对测量中误差的要求就不会相同。你想想，给机场跑道放样，跟给电子加速器的轨道放样，精度要求是不一样的，各项中误差的要求也就不一样。有了精度要求，就可以依此为据，去选择测量使用的仪器和工具，还有作业方法。测量结果出来后，使用者一看中误差的值，就知道这结果可靠到什么程度，使用起来自然心中踏实。上面说的中误差计算方法针对的是等精度的观测量，也就是说，观测量L1、L2……Li中，每个量的权都相同，即：P1•i=1，如果是不等权观测，就不能简单地取算术平均值，而是要计算带权平均值，那单位权中误差μ=±［PΔΔ/n］1/2，当观测值的精度相同时，P也相等，则m=μ。”

“等一等，爷爷，这个‘权’是不是可以随便确定？”

“如果用Pi代表权，权的确定在最小二乘法中采用Pi=μ2/m2，这可以看出来，权与中误差成反比，即中误差愈大，则权愈小。也就是说，权大的观测值，在计算最或是值x时，所占的比重就愈大。你看，在计算加权平均值时，最或是值x的数学模型是这样的：x =（P1L1+ P2L2+……+ PnLn）/（P1+ P2+……Pn）＝〔PL〕/〔P〕，计算最或是值称为平差，从直接观测平差可以看出，算术平均值和用最小二乘原理推导的最或是值，结果是一样的。P称为权，这一术语不仅在测量学中广泛应用，在统计学中也同样。”

“爷爷，我曾经大概翻了翻《最小二乘法》这本书，里面的数学推导像是天书，早就超出高中的数学范围了。”

“是的，其中用得最多的是微分和偏微分，还有线性代数和或然率理论。刚才，我们讨论的误差处理办法是属于直接观测平差。在最小二乘法这门学问里，不仅要讨论误差的性质和规律，还要解决误差的处理办法，所以，还要讨论间接观测平差和条件观测平差。直接观测平差只能解算一个未知数。如果未知数多于一个咋办？那就得采用别的办法，譬如间接观测平差法和条件观测平差法。”

“我想，所谓间接观测平差法，大概不是直接去求出观测值的最可靠值，而是通过间接的方法计算出来的，是这样吗？”

“是的，首先要列出观测值方程式，再整理成误差方程式。所谓观测值方程式，就是用未知数表达观测量的最或是值的算式，而误差方程式是用未知数表达观测值改正数Vi的算式，也可以称为改正数方程式。比如，在水准网中，A是已知点之一，W是待定点之一，用A点的高程推算待定点W的高程，可以列出观测值方程式：ha•ω+ Va•ω＝HW- HA，而误差方程式是经移项整理后的方程式：Va•ω＝HW -（HA+ ha•ω），当然，在计算这个水准网时，还得依次列出所有相关的观测值方程式，将其转化成误差方程式，然后再确定观测值的权，组成以未知数表达函数〔Pvv〕的方程式，分别求〔Pvv〕对各个未知数的偏导数并使其等于0，便得出解算未知数的方程式，方程式称为法方程式，解算法方程组，最后得出所有未知数的最或是值，由于〔Pvv〕＝min，其原理就称为最小二乘法。”

“这法方程式看上去好像是多元一次方程组。”

“对，正因为未知数的方指数都等于1。所以方程组中的每道方程式都是直线形，又称为线性方程组。”

“用普通代数中的方法求解未知数能行吗？”

“当采用手工计算时，用普通代数中介绍过的方法就可以了，用得普遍的是消去法。在测量平差中，这种方法称为‘高斯约化法’，规格化以后，有一种标准的格式，叫‘高斯—杜力特表’，但当法方程式中未知数较多时，用这种方法计算速度很慢。因为，未知数的系数需要依次一个个地消去，剩下最后一个未知数，求解后，再逆向回代，最后求出第一个未知数的答案。例如，三角网按间接观测平差时，每个未知点要计算定向角改正数，改正坐标方位角，再加上每个未知点有纵坐标改正数及横坐标改正数，这样加起来，每个未知点就有3个未知数。假设未知点有20点，则未知数多达60个，由于定向角改正数的系数比较简单，可以事先处理，也可以将平差观测的方向值改成平差观测的角度值。但剩下的2/3法方程式中，未知数的个数也多达40个，采用手摇或电动计算机时也很烦琐。所以，有时就采用逐次趋近法解算庞大的法方程组。现在有了电子计算机就方便多了，一般采用线性代数中有关矩阵的运算方法，用得最多的是平方根法和迭代法。过去用手摇或电动计算机平差的算题，一个月也算不完，现在仅几分钟就将平差结果打印出来了。”

“我记得爸爸说过，爷爷当年输入数据用的是穿孔纸带，电子计算机也很大，得满满装一屋子，是吗？”

“我那时用的已经是晶体管组装的电子计算机，当时还算是小型的。电子计算机刚发明时，用的是电子管，一台计算机得塞满整个大厅，现在你只能从资料照片中看到。如今精巧多了，像咱家的笔记本电子计算机，手提着就拿走了，想在哪用都行，多方便呀！”

“真的！”

“现在科学技术的发展真快。”

“对了，爷爷，还有一种‘条件观测平差法’没介绍哩，啥叫‘条件’？”

“测量中，为了避免错误，或者为了提高精度，常常要进行多余的观测。比如，一个三角形，只测两个角，第三个角可以用180度减出来，如果测了第三个角，加起来恰好等于180度的情况是极个别的，因此，多于或少于180度的数值就称为闭合差，通常用ω表示，要想使闭合差消去，就需要列出方程式：V1+ V2 + V3+ω=0，这种方程式称为条件方程式。所谓‘条件’，就是测量结果应该满足几何关系或物理关系，不满足咋办？就需要平差，这种按列出条件方程式处理测量误差的方法就叫条件平差法。刚才举例的是指单三角形，如果是中心多边形，除了图形条件外，还有圆周条件，就是说，中心点诸内角和应该满足360度。还有，从中心多边形的一条边出发，依次计算出每个三角形的边长，最后闭合到起始的那条边，边长应该是一样的，但由于存在测量误差，就必然导致产生闭合差，这就叫极条件，或称边长条件，可以列出极条件方程式。所以，可以这样说，有多少个多余观测，就产生多少个条件，列出条件方程式以后，就可以按照最小二乘法原理，将条件方程式转化为法方程组，然后解算出未知数，这种方法叫条件观测法平差。”

“那究竟采用什么方法比较适合呢？”

“这就要具体课题分别对待。首先，要估计一下未知数的数量，一般按未知数少的方法进行平差，这是指过去。现在有了电子计算机，计算工作量已不在话下，用不着刻意去选择平差的方法。但有一点不能忘记，那就是无论采取什么方法，都不要忘记精度评定，因为这是衡量测量质量的标准。”

“我懂了！虽然〔Pvv〕= min是最小二乘法的原理，可以将测量误差分配得最合理，但〔Pvv〕的数值究竟是多少？不仅测量工作者自己心里有谱，也得让使用测量成果的单位或个人心中有数，这个数就是中误差。”

“对啦！”爷爷赞许地点点头，“上面多次提到高斯（1777—1855年），听说过有关这位科学家的故事吗？”

“我们的数学老师曾经在课堂上给大家讲过高斯计算算术题的故事，那时高斯刚上学，才10岁，在算术课的第一次班会上，校长巴特纳组织了一次算术竞赛，让学生们在题板上写下1～100的数字，然后将这些数字加起来。校长刚说完，高斯就把题板放到讲台上。当其余同学正在埋头苦算时，小高斯已经叉着双手坐着，而校长正用不屑的目光在打量着他。没承想，下课之前，校长查阅了所有的题板，只有高斯的答案是正确的。这使校长十分惊奇，立刻提问高斯是如何计算的？高斯平静地回答：‘100 +1 =101，99 +2 =101，98 +3=101……100以内的数可以配成50对，答案便是50×101 =5050’。听了这个故事，我觉得高斯从小就忒机灵！”

“高斯是19世纪最伟大的数学家，他与阿基米得和牛顿并称为有史以来的三大数学家。高斯从来没离开过德国，长期住在哥廷根的天文台，他还是一位天文学家和测绘学家。高斯出身贫寒，在贵族资助下才得到求学机会，从小就养成了刻苦钻研的习惯，终于成为世界著名的科学家！”