基底压力及其分布规律

基底压力及其分布规律_地质与岩土力学基

情景8　土中的应力与沉降计算

【学习目标】

1.熟练掌握自重应力和附加应力的概念。

2.掌握附加应力在水平和竖向的分布规律。

3.熟练掌握自重应力、基底压力的计算。

4.掌握基底均布矩形载荷作用下竖向附加应力的计算。

5.掌握地基的压缩性及变形特点，了解土体变形的实质及其规律。

6.理解侧限压缩试验原理，熟悉用压缩性指标评价土的压缩性。

7.能够利用分层总和法和规范法计算最终地基沉降量。

8.熟悉侧限压缩试验主要步骤。

【能力要求】

1.能够熟练计算地基土中某一深度处的自重应力和附加应力比可以绘制其的应力曲线。

2.能够熟练测定土的压缩指标并绘制e－p曲线，熟悉用压缩性指标评价土的压缩性。

3.能够能够利用分层总和法计算最终地基沉降量。

【必要的理论知识与资料】

8.1　概述

在研究地基中的应力与沉降计算之前，先了解举世闻名的比萨斜塔的建造历史:

(1)工程概况。

比萨市位于意大利中部，而比萨斜塔位于比萨市北部，它是比萨大教堂的一座钟塔，在大教堂东南方向相距约25m。

比萨斜塔是一座独立的建筑，周围空旷，比萨斜塔建造，经历了三个时期:

第一期，自1173年9月8日至1178年，建至第4层，高度约29m时，因塔倾斜而停工。

第二期，钟塔施工中断94年后，于1272年复工，至1278年，建完第7层，高48m，再次停工。

图8－1　比萨斜塔

第三期，经第二次施工中断82年后，于1360年再复工，至1370年竣工，全塔共八层，高度为55m。

全塔总荷重约为145MN，塔身传递到地基的平均压力约500kPa。目前塔北侧沉降量约90cm，南侧沉降量约270cm，塔倾斜约5.5°，十分严重(图8－1)。

比萨斜塔向南倾斜，塔顶离开垂直线的水平距离已达5.27m，等于我国虎丘塔倾斜后塔顶离开水平距离的2.3倍。幸亏比萨斜塔的建筑材料大理石条石质量优，施工精细，尚未发现塔身有裂缝。

比萨斜塔基础底面倾斜值，经计算为0.093，即93‰，我国国家标准《建筑地基基础设计规范》GBJ7－89中规定:高耸结构基础的倾斜，当建筑物高度Hg为:50m＜Hg≤100m时，其允许值为0.005，即5‰。目前比萨斜塔基础实际倾斜值已等于我国国家标准允许值的18倍。由此可见，比萨斜塔倾斜已达到极危险的状态，随时有可能倒塌。

(2)事故原因分析。

关于比萨斜塔倾斜的原因，早在18世纪记载当时就有两派不同见解:一派由历史学家兰尼里·克拉西为首，坚持比萨塔有意建成不垂直;另一派由建筑师阿莱山特罗领导，认为比萨塔的倾斜归因于它的地基不均匀沉降。

本世纪以来，一些学者提供了塔的基本资料和地基土的情况。比萨斜塔地基土的典型剖面由上至下，可分为8层:

①表层为耕植土，厚1.60m;

②第2层为粉砂，夹粘质粉士透镜体，厚度5.40m;

③第3层为粉土，厚3.0m;

④第4层为上层粘土，厚度10.5m;

⑤第5层为中间粘土，厚为5.0m;

⑥第6层为砂土，厚为2.0m;

⑦第7层为下层粘土，厚度12.5m;

⑧第8层为砂土，厚度超过20.0m。

有人将上述8层土合为3大层:①—③层为砂质粉质土;④—⑦层为粘土层;⑧层为砂质土层。地下水位深1.6m，位于粉砂层。

根据上述资料分析认为比萨钟塔倾斜的原因是:

①钟塔基础底面位于第2层粉砂中。施工不慎，南侧粉砂局部外挤，造成偏心荷载，使塔南侧附加应力大于北侧，导致塔向南倾斜。

②塔基底压力高达500kPa，超过持力层粉砂的承载力，地基产生塑性变形，使塔下沉。塔南侧接触压力大于北侧，南侧塑性变形必然大于北侧，使塔的倾斜加剧。

③钟塔地基中的粘土层厚达近30m，位于地下水位下，呈饱和状态。在长期重荷作用下，土体发生蠕变，也是钟塔继续缓慢倾斜的一个原因。

④在比萨平原深层抽水，使地下水位下降，相当于大面积加载，这是钟塔倾斜的重要原因。在上世纪60年代后期与70年代早期，观察地下水位下降，同时钟塔的倾斜率增加。当天然地下水恢复后，则钟塔的倾斜率也回到常值。

8.1.1　研究土中应力的目的

大多数建筑物是造建在土层上的，把支承建筑物的这种土层称为地基。土体作为建筑物的地基，承受着建筑物传来的荷载，而土与其他材料一样，受力后也会产生应力和变形，使建筑物发生沉降、倾斜和水平位移。如果应力变化引起的变形量在容许范围内，则不会对建筑物的使用和安全造成危害，当外荷载在土中引起的应力过大时，会导致建筑物产生过量变形而影响其正常和安全使用，甚至会使土体发生整体破坏而失去稳定。而对建筑物地基基础进行沉降(变形)、承载力与稳定分析，都必须掌握建筑前后土中应力的分布和变化情况。只有掌握了土中应力的计算方法和分布规律，才能运用土力学基本原理解决实际工程中土体的问题。

8.1.2　计算理论假设

土体实际应力的大小与分布情况，主要取决于土作为受力材料的应力—应变关系、土体所受荷载的特性以及土体受力的范围。由于土体是自然历史的产物，具有碎散性、三相性和时空变异性，加之土体所处环境的复杂性和可变性，使得实际土体的应力—应变关系是非常复杂的，使用中多对其进行简化处理。目前计算土中应力的方法，主要是经典弹性力学解法。也就是把地基土视为理想弹性体。所谓理想弹性体是指受力是连续的、完全弹性的、均匀的和各向同性的物体。

现具体分析如下。

(1)关于连续介质问题。

弹性理论要求:受力体是连续介质。而土是由三相物质组成的碎散颗粒集合体，不是连续介质。为此假设土体是连续体，从平均应力的概念出发，用一般材料力学的方法来定义土中的应力。

(2)关于完全弹性体问题。

理想弹性体的应力与应变成正比直线关系，且应力卸除后变形可以完全恢复。土体则是弹塑性物质，它的应力应变关系是呈非线性的和弹塑性的，且应力卸除后，应变也不能完全恢复。为此进行假设土的应变关系为直线，以便直接用弹性理论求土中的应力分布，但对沉降有特殊要求的建筑物，这种假设误差过大。

(3)关于均质、各向同性问题。

理想弹性体应是均质的各向同性体。而天然地基往往是由成层土组成，为非均质各向异性体。为此进行假设，天然地基作为均质的各向同性体。

8.1.3　土力学中应力符号的规定

土是散粒体，一般不能承受拉力在土中出现拉应力的情况很少，因此在进行土中应力计算时:应力符号的规定法则与材料力学不同，法向应力压为正，拉应力为负;剪应力以逆时针方向为正，如图8－2所示。

图8－2　应力方向图

8.2　土中应力的类型

在建筑物或构造物的地基中的应力，可以看图8－3。我们可以通过简单的力学分析在建筑物或构造物的地基下任意深度处的受力，可以看到地基上的建筑物是人为建造的，而地基土是有一定质量的，那么对于此，按照其成因可以分为两种:

图8－3　土中应力类型

(1)自重应力:由土体本身有效重量产生的应力称为自重应力。一般而言，土体在自重作用下，在漫长的地质历史上已压缩稳定，不再引起土的变形(新沉积土或近期人工充填土除外)。

(2)附加应力:由于外荷(静的或动的)在地基内部引起的应力称为附加应力，它是使地基失去稳定和产生变形的主要原因。附加应力的大小，除了与计算点的位置有关外，还决定于基底压力的大小和分布状况。

8.3　地基中的自重应力

由土体本身有效重量产生的应力称为自重应力，记为σcz。

8.3.1　均匀地基情况

对于均质土，由于天然地面是一个无限大的水平面，所以在自重应力作用下地基土只产生竖向变形，而无侧向位移和剪切变形，故可认为土中任何垂直面及水平面上不产生剪应力。取横截面为单位面积(一般取1m2)的土柱计算如图8－4，设土的重度为γ(kN/ m3)，地面以下z处的自重应力即土柱的重力γz×1，即:

式中　σcz天然地面以下z深度处的自重应力(kPa);

　　　G底面面积A上高为z的土柱天然重量(kN);

　　　A土柱的底面面积(m2);

　　　z天然地面起算的深度(m);

　　　γ土的天然重度(kN/m3)。

图8－4　均质土中竖向自重应力

【例题8.1】某一地基为均质土体，土层的厚度为4m，天然重度为γ=16kN/m3，尝试计算此土体在地表以下4m处的自重应力，并绘制出自重应力分布曲线。

【解法1】依据题意绘制出地层草图。

【解】通过对公式(8.1)分析，可以得到如下规律，均质土中的自重应力只与土层的深度有关，而且成正比例变化，即土层越厚自重越大。

可以得到:σcz=γ·z　　σcz=16×4=64kPa

绘制出的土层应力曲线如图8－5(b)。

例题8－5　计算示意图

图8－6　多层地基土的自重应力

8.3.2　多层地基情况

自然界的土层一般情况会成层出现，这是土的本质特性中的一点，那么这样的地基如何确定某一深度处的自重应力。

参照图8－6(a)所示的地基剖面图为例分析，说明求多层地基土自重应力的方法。因为地基图各层的厚度、重度不同，所以应该分层来计算。首先确定第一层土下边界(即第二层土顶面)土的自重应力，依据公式8.1来计算。欲求第一层土下边界处土的自重应力，只需将第一层土的重度乘以该土层的厚度就可以了，即:

那么，第二层土的自重应力就可以写成:

式中　σcz2　第二层土下边界处土的自重应力(kPa);

　　　G2　第二层土底面面积A上高为h2的土柱天然重量(kN);

　　　h2　第二层土的深度(m);

　　　γ2　第二层土的计算重度(kN/m3)。

其余符号意义同上。

由公式(8.2)可以看到，第二层土的自重应力刚好就是第一层土的自重应力与第二层土不受第一层土的压力应力时的自重应力，我们可以理解为第二层土受到了来自于第一层土σcz1大的竖向恒定荷载，那么第二层土的自重应力可以写成:

σcz2=γ1·h1+γ2·h2=σcz1+γ2·h2

同理，第n层土的自重应力就可以写成:

式中　σczn　第n层土下边界处土的自重应力(kPa);

　　　hn　第n层土的深度(m);

　　　γn　第n层土的计算重度(kN/m3)。

【例题8.2】某建筑为的地基剖面图如8－7(a)，土层厚度与各层的重度如图所示，试计算各层的自重应力并绘制应力分布曲线。

图8－7

【解】通过公式(8.3)可以知道，土层的自重应力只受重度和深度两个因素影响，可得:

第一层土(即在第二层土的顶部)的自重应力为:

σcz1=γ1·h1=3m×16kN/m=48kPa

第二层土(即在第三层土的顶部)的自重应力为:

σcz2=γ1·h1+γ2·h2=48+18×5=138kPa

在第三层土自重应力为:

σcz3=γ1·h1+γ2·h2+γ3h3=48+90+20×3=198kPa

土的自重应力曲线分布如图8－7(b)所示。

8.3.3　地基土层受到水的影响时

应当注意的是，在求地下水位以下土的自重应力时，对于水位以下的土应按其有效重度计算，见图8－8分体可知，水位线以上部分已经知道如何求解，此时只分析水位线以下部分。

假定此时土柱的高度是h米，土柱的底面面积是Am2，可以知道此时土的自身重量是:

G=γsat·v=γsat·A·h

那么，土柱此时所受到的浮力等于土体所排出水的重量，得到:f=γw·V。

土柱所受的重力与浮力方向刚好相反，可以得到合力为:R=(G－f)。

通过上面受力分析，可得到此土柱此时所受的自重应力为:

图8－8　地下水对土自重应力

所以真正对土体产生的自重应力计算时，应该采用该土层有效重度γ'。

此外，土的自重应力会受到地下水位升降变化的影响。在我国很多地区，因为长期无节制的大量抽取地下水，以至于地下水位大幅度下降，使得地基中原水位线以下的土的自重应力增大，造成地表大面积下沉，地面建筑物严重变形等等恶劣后果;例如上海从1921年至1965年，上海地面累计沉降约1.69米，主要原因为大量抽取地下水，为此，上海从上世纪60年代初建立深井开凿审批以及深井使用、维护、报废等制度，地面沉降得到有效控制，不过，1966年至2011年的45年间，上海地面继续累计沉降约29厘米。而有些地方，因为人工抬高蓄水位(如筑坝蓄水)或工业用水大量渗入地下的地区，如果该地区土质不加监测，则必须引起注意，以防事故的发生。

【例题8.3】某建筑为的地基剖面图如8－9(a)，土层厚度与各层的重度如图所示，当底下水位发生变动时，试计算各层的自重应力并绘制应力分布曲线。

【解】计算时，要注意此层土在底下水位线以下，会受到水的浮力影响，此时采用本层土的重度要用有效重度计算结果为:

(1)当地下水位不发生变化时，土层各深度处的自重应力为:

①深度在地表下2m深度处自重应力:

σcz1=γ·h1=2×18=36kPa

②深度在地表下5m深度处自重应力:

σcz2=σcz1+γ·h2=36+18×3=90kPa

③深度在地表下9m深度处，由于地下水的影响，此时土体的自重应力为:

σcz3=σcz2+γ'·h3=90+4×(21－10)=134kPa

绘制应力分布曲线如图8－9(b)。

(2)当地下水位上升时，土层各深度处的自重应力为:

图8－9

①深度在地表下2m深度处自重应力:

σcz1=γ·h1=2×18=36kPa

②深度在地表下5m深度处由于地下水的影响，此时土体的自重应力为:

σcz2=σcz1+γ'·h2=36+(21－10)×3=69kPa

③深度在地表下9m深度处自重应力:

σcz3=σcz2+γ'·h3=69+4×(21－10)=113kPa

绘制应力分布曲线如图8－10(a)。

图8－10

(3)当地下水位下降时，土层各深度处的自重应力为:

①深度在地表下2m深度处自重应力:

σcz1=γ·h1=2×18=36kPa

②深度在地表下5m深度处自重应力:

σcz2=σcz1+γ·h2=36+18×3=90kPa

③深度在地表下9m深度处，由于地下水的影响，此时土体的自重应力为:

σcz3=σcz2+γ·h3=90+4×18=162kPa

绘制应力分布曲线如图8－10(b)。

通过以上三类不同境况下的土层自重应力计算结果和分析其分布曲线图的变化规律，看可以得出如下结论:

①同一层土的自重应力曲线是直线变化的，呈三角形分布，土层越深受力越大;

②多层土的自重应力曲线是一条折线，拐点在土层交界处(当上下土层重度不同时)和地下水位处，同样是土层越厚受力越大;

③自重应力随着土层的深度增加而增大。

8.4　基底压力及其分布规律

要研究地基的强度、变形和稳定问题，就要研究地基中的应力变化。为研究问题的方便，首先，研究基础底面的接触压力。

8.4.1　基底压力

建筑物的荷载通过基础传给地基，这时基础底面向地基施加的压力叫基础底面接触压力，通常称为基底压力，也叫做平均接触压力，单位kPa。

8.4.2　基底压力的分布规律

试验表明，基底压力的大小和分布状况，将对地基内部的附加应力有着十分重要的影响。而基底压力的大小和分布状况，又与荷载的大小和分布、基础的刚度、基础的埋置深度以及土的性质等多种因素有关。

试验研究指出，对于刚性很小的基础或柔性基础，由于它能够适应地基土的变形，故基底压力大小和分布状况与作用在基础上的荷载大小和分布状况相同，例如，土坝、路基、油罐等薄板一类基础，本身刚度很小，在竖向荷载作用下几乎没有抗弯曲变形的能力，基础随着地基同步变形，因此柔性基础基底压力分布与其上部荷载分布情况相同。如图8－11 (a)所示。

对于刚性基础，由于其刚度很大，不能适应地基土的变形，其基底压力分布将随上部荷载的大小、基础的埋置深度和土的性质的变化而变化。例如，建造在砂土地基表面上的条形基础，当受到中心荷载作用时，由于砂土颗粒之间没有粘聚力，则基底压力中间大、边缘处等于零，类似于抛物线分布，如图8－12(c)所示;而在粘土层地基表面上的条形刚性基础，当受到中心荷载作用时，由于粘性土具有粘聚力，基底边缘处能承受一定的压力，因此在荷载较小时，基底压力可以看作均匀分布，类似直线变化如图8－12(a);当荷载不断增大，会出现边缘大而中间小，类似于马鞍形分布如图8－12(b);当荷载逐渐增大并达到破坏时，基底压力分布就变成中间大而边缘小的形状，类似于钟形分布如图8－12(d)所示。

图8－11　基础的刚性和接触压力分布

图8－12　刚性基础基地压力分布

可以看到上述基地压力呈各种曲线，应用不变。鉴于目前尚无精确简便的计算方法，在实际中通常采用以下简化计算法。

8.4.3　基底压力计算

8.4.3.1　中心荷载下的基底压力

当上部竖向荷载的合力，作用于基础底部的形心时，可认为是中心荷载，假设其基底压力是均匀分布的，计算公式为:

式中　p——基底压力，也叫做平均接触压力(kPa);

　　　R——基础底部的竖向合力即R=F+G，单位(kN);

　　　A——基底接触面面积(m2);

　　　F——作用在基础上的竖向荷载(kN)，有时F也可用N表示;

　　　G——基础自重和基础上回填土总重量，G=γG·A·d(kN)，计算时基础及回填土的平均重度通常取γG=20kN/m3;但遇到地下水位以下的部分取γ'G=10kN/m3。

公式(8.5)还可以写成:

例如，若矩形基础地长度为L，宽度为b，其上作用着竖直中心荷载P，当假定基底压力为均匀分布时，其值为:

若基础为墙下条形基础(L/b≥10)，则在计算时沿长度方向取长1米，此时基底压力为:

图8－13　基础基地压力分布图

【例题8.4】某建筑物采用矩形基础，基础埋置深度为2m，基础底部尺寸为2×3m2，上部荷载1200kN，计算此基础的基地压力。

【解】依据题意可以绘制图8－13。

已知F=1200kN，d=2m，A=2m×3m，可以得到:

G=γG·A·d=20×2×2×3=240kN，将以上已知量代入公式(8.5)计算得:

通过求解可以得到:基地压力大小为240kPa，作用于基础底部，方向竖直向下。

8.4.3.2　竖直偏心荷载作用下的基底压力

当矩形基础上作用着竖直偏心荷载R时，作用于矩形基础底面的x，y两个主轴的一个之上时，此时的基底压力可按下面公式计算:

式中:M——作用在基底形心上的力矩值，M=R·e，单位为kN·m，其中R是竖向合力R=F+G，e为R的作用线与基础形心线的距离，称为竖向合力的偏心距，e=

A——矩形基础基底接触面面积，A=l·b(m2)。

通过公式(8.9)的描述知道M=R·e，W=和A=l·b，把这些计算公式代入公式(8.9)得到:

图8－14　偏心受压基础基地压力分布图

分析公式可得到:

a.当e＜，pmin＞0，表示基底压力按梯形分布如图8－14(a)所示。

b.当e=，pmin=0，表示基底压力按三角分布如图8－14(b)所示。

8.14(c)所示。

实际上，土体是散碎体，基本不能传递压应力，因而基底将与地基之间会发生局部脱离，这样基础底面与地基间将没有接触，自然这一部分将不会有力的作用，基底压力必然重新分布，如图8－14(d)所示。此时可以根据力的平衡原理确定重新分布的基地压力并确定实际受压的尺寸，如图8－15所示。

如图8－15(a)所示，基础受压时，竖向合力(F+G)的作用点o'与基础的形心o，即=e，同时依照力学知识知道合力的作用点o'还在应力图形的形心部位。

如图8－15(b)所示，基底压力所形成的应力图形为直角三角形(以长轴为断面的竖向截面);此应力图形的形心在直角边L'的处。得到:，pmin＜0，表示基础底面与地基接触面之间出现了拉应力分布如图

图8－15　e＞1/6，基础基地压力分布图

【例题8.5】如图所示某一矩形基础，基础埋置深度2米，基础长度3米，宽为2米，上部荷载偏离基础轴心线的距离为0.3米，求此时基底压力。

图8－16

【解】根据题意可以知道，此为就矩形基础偏心荷载基底压力计算。

从图8－16可知F=1200kPa，d=2m，A=l·b=2 ×3=6m2

则:R=F+G=1200+20×2×3×2=1440kN

又知道偏心荷载F对于基础形心所产生的力矩刚好就相当于竖向合力R对于基础形心所产生的力矩，故此: M=F·e'=1200×0.3=360kN·m

则有:e==0.25m

把以上参数代入公式:

【例题8.6】如果把例题8.5中，上部荷载偏离基础轴心线距离改为0.7米，基础宽度改为2.4米，求此时基底压力。

【解】根据题意可以知道，此为就矩形基础偏心荷载基底压力计算。

首相，利用e和的大小关系判断基底压力的分布形式确定具体的计算公式。题意告知偏心荷载F对于基础形心所产生的力矩，即:M=F·e'=1200×0.7=840kN·m而竖向合力R对于基础形心所产生的力矩相当于M，则有:

当e＞(0.25＜0.5)，pmin＜0，表示基底压力分布满足公式8.11把相关参数代入可以得到:

8.5　基底附加压力

如图8－17(a)所示，通常情况下，天然土层在正常固结范围内，自重作用的变形已经完成，即自重应力不会使土层再产生变形;而建筑物在修建时，虽然会在短期卸载，可土体是弹塑体(塑性变形为主)，在开挖面上基本会维持相当于开挖前的自重应力γd，如图8－17(b)所示;当上部加载不超过开挖前的土层自重时，土层是不会产生形变的，只有超出基底处原有自重应力的那部分应力才能使地基土产生变形，而使地基产生变形的压力称为基底附加压力，用P0表示，如图8－17(c)所示。

图8－17　基地附加压力的产生

因此，基底附加压力是上部结构和基础传到基底的接触压力P与基底处原先存在于土中的自重应力γd之差，按下式计算:

式中:γ基底以上土的天然土层重度的加权平均值，地下水位以下取有效重度。

【例题8.7】求例题8.5中的基底附加应力(埋深处的土重为17.5kN/m3)。

【解】可知γd=17.5×2=35kPa，又有pmmainx =

依照公式8.12得到:

8.6　地基中的附加应力

我们已经知道了地基的变形主要是由于地基中的附加应力所引起。而计算地基中附加应力首先必须作出一些基本假定。目前在求解地基中的附加应力时，一般假定地基土是连续、均匀、各向同性的完全弹性体，然后根据弹性理论的基本公式进行计算。

计算地基附加应力时，都把基底看成是柔性荷载，而不考虑基础刚度的影响。另外按照问题的性质，将应力划分为空间问题和平面问题两大类型。若应力是x、y、z三个坐标的函数，则称为空间问题，矩形、圆形等基础下的附加应力计算即属空间问题;若应力是x、z两个坐标的函数，则称为平面问题，条形基础下的附加应力计算即属于此类。本章只介绍空间问题条件下的附加应力计算。

8.6.1　竖向集中力作用下的土中附加应力

1885年布辛奈斯克(Boussinesq)用弹性理论导出集中力作用下土中深度z处的附加应力解。

图8－18　竖向集中力作用下的土中附加应力

如图8－18所示，集中应力P的作用点是原点O，则下方任意点M(x，y，z)，其中竖向附加应力为:

式中　R——M点到原点的距离，R=

r——M点到原点的水平距离r=

应用以上关系，公式可以写成:

为了方便计算，可以查表8－1。

表8－1　集中力作用下土中附加应力系数K

通过公式8.14可知:

(2)当r≠0使，公式可以变形为:σz=;可以看到当z=0， σz=0;随着z的不断增大，σz先逐渐增大，到达一定峰值后又会随着z的不断增大而减小，最后趋向于无穷小，如图8－19所示曲线3。

(3)当z=C(常量)，我们可以得到在集中荷载的作用线上，当r=0时，σz最大;当r不断增大，σz是不断减小的，最后趋向于无穷小，如图8－19所示曲线2。

图8－19　集中荷载附加应力曲线

图8－20　两个集中荷载作用的附加应力叠加

当地基表面作用有几个集中力时，可以分别计算每个集中力对同一点的竖向附加应力(如图8－20)，然后根据应力叠加原理求出该点处的附加应力总和。

【例题8.8】如图所示8－21，在地基上作用一竖向集中力P=100kN，水平点、竖向点之间的距离为1米。要求确定:(1)在地基中z=1m的水平面上，a、b、c、d四点的附加应力值，并绘出分布图;(2)集中力的作用线上1、2、3、4各点的附加应力值，并绘出分布图。

【解】利用公式σz=，查表8－1，计算如下表8－2。

表8－2　附加应力计算表

绘制出的附加应力曲线如图8－21中的①、②。

8.6.2　矩形基底受竖直均布荷载作用时角点下的竖向附加应力

建筑物柱下基础通常是矩形基础。以下讨论矩形面积上各类分布荷载在地基中引起的附加应力计算。

图8－21

图8－22　矩形基底下任意点附加应力计算

如图(8－22)所示，假设矩形基础的长边和短边长度分别为L和b，作用于地基上的竖向均布荷载为q，以矩形面任意角点为坐标原点O，在荷载面内取一微面积dA=dxdy，并将其上的分布荷载以集中力dp=qdxdy来代替，则在原点O下任意深度z的M(x，y，z)点处，由该微小集中力dp引起的竖向附加应力为:

将r2=x2+y2代入上式并沿整个基底面积积分，即可得到矩形基底竖直均布荷载对角点O以下深度为z处所引起的附加应力为:dxdy

公式可以简写成:

注:此公式的出发点是以矩形基础的一个角点为研究对象的，所以在应用时，要注意其适用性;对于在基底范围以内或以外任意点下的竖向附加应力，可利用式8.17并按叠加原理进行计算，这种方法称之为“角点法”;对矩形基底竖直均布荷载，在应用“角点法”时。l始终时基底长边的长度，b为短边的长度。

Kc——均布矩形荷载下的竖向附加应力系数，无因次。查表8－3得到Kc。

根据叠加原理，可用上式计算矩形荷载面内外任一点M以下任何深度处的附加应力。具体做法是，通过M点将荷载面图形划分为几个小矩形，使M点成为各小矩形的公共角点，分别计算小矩形角点的应力叠加起来即可(如图8－23所示)。

图8－23　角点法计算M点附加应力

(1)M点在荷载面边缘，如图(a)所示，其附加应力系数为。

Kc=KMdce+KMdba

图8－24　角点法计算附加应力

(2)M在荷载面内如图(b)所示，其附加应力系数为。

Kc=KMhaf+KMhbe+KMecg+KMfdg

(3)M点在荷载边缘外侧如图(c)所示，其附加应力系数为。

Kc=KMebf－KMiaf－KMecg+KMgdi

【例题8.9】矩形基础底面积A=2×3m2，基底埋深d=2m，集中竖向荷载F=1200kN，土的重度γ=18kN/m3。求此基础中心点以下9个不同深度处(点的间距为1米)的附加应力σz并绘制应力曲线。

【解】依据基底压力:

基底附加压力:

p0=p－γ·d=240－18×2=204kPa

依据角点法，过基底中心点O将矩形基底分成四个相等的小矩形，O点即为四个小矩形的公共角点。列表计算地下9个点处的附加应力系数Kc(查表8－3)，然后乘以4即得相应点的附加应力系数，再乘p0即得相应的附加应力。具体计算过程详见表8－4，中心点下各点的附加应力分布图(图8－24)。

表8－4　附加应力计算表

8.7　土的压缩性和地基沉降计算

任何建筑物都要建造在土层或岩石上面，土层受到建筑物的荷载作用后，就要产生压缩变形，当变形超过了允许值，将影响建筑物的使用功能。或者当荷载较大超过了地基土的承载能力，将造成地基的破坏，丧失稳定性，从而导致整体的失稳。

为保证建筑物的安全，岩土体应同时满足两个基本要求:

(1)土体应具有足够的强度，在荷载作用后，不致因失稳而破坏;

(2)土体不能产生过大的变形而影响建筑物的安全与正常使用。

一般建筑荷载等级不大，大部分土体的强度与压缩性，容易满足上述要求。在一些地区由于特定的地质条件，工程上常遇到软弱土体，对这种土体必须进行相应的处理，才能满足强度与变形的要求。

分析地基土发生变形的主要因素，其主要是两个因素的影响，内因是土体具有压缩性，外因主要是建筑物荷载的作用，因此在研究土的变形时，必须即考虑土的自身因素，还要考虑上部荷载的作用。

8.7.1　土的压缩性

前面已经阐明，通常情况下土体具有三项性、散碎性等特征，故此土体在压力作用下，表现出来的压缩变形比其他连续介质材料如钢筋、混凝土等大了许多。

地基土所发生的压缩变形从外因分析，主要会受到以下几方面的影响:建筑物荷载的作用;地下水位长时期的大幅度降低;建筑施工对地基持力层的扰动;温度变化的影响，如冬季冰冻，春节融化;长时间的大量浸水;从内因来看，土是由土粒、土中的水、土中的气组成，在一般建筑工程荷载600kPa以下，土颗粒和土中水的压缩都是很小的，对建筑工程来说没有意义，可以忽略不计，实际上，土在外力的作用下压缩主要原因是:其一，土中空气的压缩或排出;其二，在外力的作用下孔隙水的挤出，而使得土骨架的压缩。土在压力作用下体积缩小的特性称为土的压缩性。对于完全饱和土骨架的压缩则有待于孔隙体积的减小，即孔隙水的挤出。

而孔隙中水的挤出和孔隙体积的压缩有一个时间过程，土的这一压缩随时间增长的过程称为土的固结。

土的压缩表现为竖向变形和横向变形，此处主要研究竖向变形。

不同土的压缩变形快慢会受到很多方面因素的影响，其主要影响因素包括土本事的性状(成分、土粒级配、结构、构造、孔隙水等)和环境因素(如应力历史、应力路线、温度等)。为了评价土的压缩性，通常在采用室内侧限压缩试验(也叫固结试验)和现场荷载试验来研究。

8.7.2　压缩试验

室内压缩试验时，用金属环刀切取保持天然结构的原状土样，并置于圆筒形压缩容器如图8－25的刚性护环内，土样上下各垫有一块透水石，土样受压后土中水可以自由排出。由于金属环刀和刚性护环的限制，土样在压力作用下只可能发生竖向压缩，而无侧向变形，称为侧限压缩条件。因为它比较接近工程实际情况，所以土的变形参数的确定都用这种试验方法。

图8－25　侧限压缩试验示意图

图8－26　土样变形示意图

如图8－26所示，如果土样的初始荷载为p0时，土样高度为h0，横截面面积为A，天然孔隙比e0;因为e=，则有Vv0=e0Vs，

故此土样总体积:V0=h0A=Vs+Vv0=(1+e0)Vs

同理，土样固结完成后的总体积:V1=h1A=Vs+Vv1=(1+e1)Vs

又因为土粒体积在压缩时基本不变，设土颗粒体积Vs=1，则可得到某一级荷载前后试样高度及孔隙比关系为:

令变形量Δs=h0－h1，上式即为:

由此解出变形量Δs=h0－h1为:

公式8.18是侧限压缩条件下计算土的压缩量的基本公式。

由8.18式可得:

图8－27　e－p曲线

由此可见，在每一级荷载pi作用下，都可求出其孔隙比ei。以压力pi为横坐标，孔隙比ei为纵坐标，绘制出孔隙比与压力的关系曲线，称为压缩曲线或称e－p曲线，如图8－27所示。

【例题8.10】在侧限试验时，某土样荷载在100kPa时的孔隙比为0.8，土样高度为2cm;当荷载为200kPa时，测得孔隙比时0.6，试求此时土样的压缩量。

【解】由题可知e0=0.8，e1=0.6，h0=2cm，参数代入公式7.19可知:

故求的土样的压缩量为2.22mm。

8.7.3　侧限压缩性指标

8.7.3.1　土的压缩系数

所以，e－p曲线上任一点的切线斜率α就表示了相应于压力作用下土的压缩性，称a为土的压缩系数，单位kPa－1或MPa－1。即:

其中负号表示随着压力P的增加，e逐渐减少。

将公式8.20变形之后，可得有Δe=－Δp·a，代入公式8.19得到:

一般研究土中某点由原来的自重应力p0增加到外荷作用下的土中应力p1这一压力间隔所表征的压缩性。

8.7.3.2　压缩模量

根据e－p曲线，可以求算另一个压缩性指标—压缩模量Es。它的定义是土在完全侧限条件下的竖向附加压应力与竖向应变增量之比值。土的压缩模量Es可根据下式计算:

式中εh，为竖向应变增量，表示为:εh=

根据公式8.21可知，，将其代入8.22式可得:

则依据公式8.23，可以把公式8.21表示为:

为了便于应用和比较，国家标准《建筑地基基础设计规范》(GB50007—2002)规定:采用压力间隔由100kPa增加到200kPa时所得的压缩系数a1－2来评定土的压缩性;压缩模量也可反映土的压缩特性，人们根据其数值大小来划分土的压缩性质，如表8－5所示。

表8－5　土的压缩性指标标准

【例题8.11】例题8.10，如果要知此土的压缩性，如何求的?

【解】依据题可知e0=0.8，e1=0.6，h0=2cm，p0=100kPa，p1=200kPa，可得:

可以看到a1－2＞0.5MPa－1，故为高压缩性土。

依据公式8.23可得:

同样可看到，此土为故为高压缩性土。

8.7.4　地基最终沉降量的计算

地基最终沉降量是指地基在建筑物荷载作用下，最后的稳定沉降量，既荷载加上以后到固结完成，与时间没有关系。计算地基最终沉降量的目的，在于确定建筑物最大沉降量、沉降差和倾斜，并控制在容许范围以内，以保证建筑物的安全和正常使用。

计算地基沉降量的方法有多种，目前，一般采用分层总和法和《建筑地基基础设计规范》推荐的规范法等。

8.7.4.1　分层总和法

分层总和法是在地基沉降计算范围内将地基划分为若干分层，分别计算出各层的沉降量进而求其总和的方法。分层总和法计算地基沉降量有下列假定:

(1)地基土受荷后不能发生侧向变形;这样在沉降计算时就可以采用完全侧限条件下的压缩性指标计算地基的沉降量。

(2)按基础底面中心点下附加应力计算土层分层的压缩量;这是由于第一条假定使计算出的沉降量偏小，为弥补这一缺陷采用基底中心点下的附加应力计算地基变形量。

(3)基础最终沉降量等于基础底面下压缩层范围内各土层分层压缩量的总和。

8.7.4.2　沉降量的计算

图8－28　分层总和法计算地基土沉降

如图8－28所示，我们将基础底面下压缩层范围内的土层划分为若干分层，现分析第i分层的压缩量的计算方法。在建筑物建造以前，第i分层仅受到土的自重应力作用，在建筑物建造以后，该分层除受自重应力外，还受到建筑物荷载所产生的附加应力的作用。如前所述，在一般情况下，土的自重应力产生的变形过程早已完结，而只有附加应力(新增加的)才会产生土层新的变形，从而使基础沉降。由于假定土层受荷后不产生侧向变形，所以它的受力状态与压缩试验时土样一样，故第i层的压缩量可按下式计算:

则地基总沉降量:

式中:　S——地基最终沉降量;

　　　e1i——第i分层在建筑物建造前，在土的平均自重应力作用下的孔隙比;

　　　e2i——第i分层在建筑物建造后，在土的平均自重应力和平均附加应力作用下的孔隙比;

　　　hi—第i分层的厚度，为了保证计算的精确性，一般取hi≤0.4b(b为基础宽度);

　　　n—压缩层范围内土层分层数目。

以上公式分层总和法的基本公式，它适用于采用压缩曲线计算。若在计算中采用土的压缩系数a或压缩模量Es作为计算指标，则公式可变成下面的形式:

式中:a，Esi——第i分层土的压缩系数与压缩模量，其余符号意义同前。

利用分层总和法计算地基最终沉降量，必须确定地基沉降计算深度并在沉降计算深度内进行分层。由于荷载作用下的附加应力逐渐减小，在一定深度处，附加应力已经很小，它所产生的压缩变形可以忽略不计。因此在工程上取基底下满足下列条件的深度作为沉降计算深度:

σz≤0.2σcz

式中:　σz——计算深度处的附加应力;

　　　σcz——计算深度处的自重应力。

如在该深度下存在较软的高压缩层时，计算深度还应增大，直至满足σz≤0.1σcz。

综上所述，按分层总和法计算地基沉降量的具体步骤如下:

(1)按比例尺绘出地基剖面图;

(2)计算基底的附加应力和自重应力;

(3)确定地基压缩层厚度;

(4)将压缩层范围内各土层划分成厚度为hi≤0.4b(b为基础宽度)的薄土层;

(5)绘出自重应力和附加应力分布图(各分层的分界面应标明应力值);

(6)按公式计算各分层的压缩量;

(7)按公式算出地基总沉降量。

【例题8.12】某基础底面为正方形，边长为l=b=4.0m，上部结构传至基础底面荷载p =1440kN。基础埋深d=1.0m。地基为粉质粘土，土的天然重度γ=16kN/m3。地下水位深度3.4m，水下饱和重度γsat=18.2kN/m3。土的压缩试验结果e－p曲线如图8－29所示，计算地基的沉降量。

【解】依据题意:

①绘制地基剖面图，如图8－30所示。

②计算地基土的各个分层面的自重应力，如图8－30所示。

图8－29　e－p曲线

图8－30　地基土中应力分布图

③基础底面接触压力

④基础底面附加应力p0=p－γd=110－16×1=94.0(kPa)

⑤地基压缩层深度zn，由图8－29中自重应力与附加应力分布两条曲线，由σz≤0.2σcz，当深度z=6.0m时σz=16.8kPa≈0.2σcz=0.2×83.9kPa

故受压层深度取6m。

⑥地基沉降计算分层，一般要求hi≤0.4b=0.4×4=1.6m。地下水为以上2.4m分两层，每层1.2m;第三层1.6m，第四层阴附加应力较小，可取2.0m。

⑦地基中的附加应力，利用角点法计算结果见下表(表8－6):

表8－6　附加应力计算

⑧地基沉降计算公式

表8－7　沉降计算表

⑨基础总沉降量

分层总和法计算结果与沉降观测比较，对于较坚实地基，理论计算值比实测值大;对于软弱地基计算值又小于实测值。产生这些类别的原因有:

(1)分层总和法计算理论上的几点假定与实际有差别;

(2)理论上所采用的土的性质指标是由试验得来的，试验与实际值有差别;

(3)沉降中没有考虑地基、基础与上部结构的共同作用等。

8.7.4.3　按规范方法计算

《建筑地基基础设计规范》(GB50007—2002)推荐的地基最终沉降量计算方法是在分层总和法的基础上，总结了我国建筑工程中大量沉降观测资料，引入了沉降计算经验系数对计算结果进行修正，使计算结果与基础实际沉降更趋于一致;同时由于采用了“应力面积”的概念，一般可以按地基土的天然层面分层，使计算工作得以简化。

对应层的应力面积:

图8－31　应力面积法

如图8－31所示，要计算第i层地基土的变形量，依据公式S=，那么应该计算出第i层地基土即图形cdfe的面积Acdfe，从图8－31可知:

依据图8－31可知两个应力面面积为:

则有:

由此可得成地基中第i分层沉降量的计算公式如下:

综合上式得:

《建筑地基基础设计规范》同样给出了分层原则，以天然地层和地下水位线为分界线，同层不需再分，比之分层总和法分层数量要少。

《建筑地基基础设计规范》用符号zn表示地基沉降计算深度，并规定zn应满足下列条件:由该深度处向上取按表8－8规定的计算厚度Δz(意义见图8－29所示)，所得的计算沉降量Δsn不大于zn范围内的计算沉降量s=的2.5%，即应满足下列要求(包括考虑相邻荷载的影响):

表8－8　计算厚度Δz值

按上式所确定的沉降计算深度下如有较软土层时，尚应向下继续计算，直至软弱土层中所取规定厚度Δz的计算沉降量满足上式为止。

当无相邻荷载影响，基础宽度在1～50m范围内时，基础中点的地基沉降计算深度，规范规定，也可按下列简化公式计算:

式中　b——基础宽度，Inb为b的自然对数值。

在计算范围内存在基岩时，z可取至基岩表面;当存在较厚的坚硬黏性土层，其孔隙比小于0.5，压缩模量大于50MPa，或存在较厚的密实砂卵石层，其压缩模量大于80MPa，zn可取至基岩表面为止。

为了提高计算准确度，地基沉降计算深度范围内的计算沉降量s=，尚须乘以一个沉降计算经验系数φs。因此，各地区宜按实测资料制定适合于本地区各类土的φs值，而规范提供了一个采用表值(见表8－9)。

表8－9　沉降计算经验系数φs

综上所述，规范推荐的地基最终沉降量S'(mm)的计算公式如下:

式中　Esi——基础底面下第i层土的压缩模量，按实际应力范围取值(MPa)。

表8－10的珔α仅为矩形均布荷载角点下的数值，至于矩形三角形荷载、等其他形式荷载面下和常用到的矩形中心点下的平均附加应力系数珔α，《地基基础设计规范》中已制成表格供查用。

表8－10　均布的矩形荷载角点下的平均竖向附加应力系数

续表

规范法计算地基最终沉降量按下列步骤进行:

(1)确定分层厚度。

(2)确定地基变形计算深度。

(3)确定各层土的压缩模量。

(4)计算各层土的压缩变形量。

(5)确定沉降计算经验系数。

(6)计算地基的最终沉降量。

【例题8.13】某厂房柱传至基础顶面的荷载为1190kN，基础埋深为1.5m，基础底面尺寸4m×2m，地基土层如图8－32所示，粉质粘土fk=150kPa。试采用《规范》法求该基础中点的最终沉降量。

【解】

(1)基地压力:

(2)基地附加压力:

p0=p－γd=179－1.5×19.5≈150kPa。

图8－32

(3)确定沉降计算深度zn，依据公式7.33估算:

zn=b(2.5－0.4Inb)=2×(2.5－0.4In2)≈4.5m，

按该深度，沉降量计算至粉质粘土底层。

(4)依据公式8.33计算，见下表8－11。

表8－11　《规范法》计算地基沉降量

依据上表可以确定Δz=0.3m，计算出sn=1.51mm，已得到＜0.025，表明zn= 4.5m符合要求。

(5)确定沉降经验系数φs，依据=5Mpa，

因为po=fk，所以查表8－9，采用插值法得到φs=1.2。

(6)地基最终沉降量

依据公式8.33，得到S'=φss=1.2×67.72=81.30mm。

8.7.5　应力历史对地基沉降的影响

应力历史是指土在形成的地质年代中经受应力变化的情况。黏性土在形成及存在过程中所经受的地质作用和应力变化不同，压缩过程及固结状态也不同，而土体的加荷与卸荷，对黏性土压缩性的影响十分显著。天然土层在历史上受过最大的固结压力(指土体在固结过程中所受的最大有效压力)，称为先(前)期固结压力。在研究沉积土层的应力历史时，通常把土层历史上所经受过的先期固结压力pc与现有覆盖土重p1之比，进行对比，两者的比值定义为超固结比即OPC=pc/p1，按照它与现有压力相对比的状况，可将土(主要为粘性土和粉土)分为三类:

(1)如图8－33(a)所示，超固结土层历史上曾经受过大于现有覆盖土重的先期固结压力，即OPC＞1;这一状态是指天然土层在地质历史上受到过的固结压力pc大于目前的上覆压力p1。pc减小至p1，可能是由于地面上升或水流冲刷将其上部的一部分土体剥蚀掉，或古冰川下的土层曾经受过冰荷载的压缩，后遇气候转暖，冰川融化以致上覆压力减小等。

(2)如图8－33(b)所示，正常固结土层在历史上所经受的先期固结压力等于现有覆盖土重，即OPC=1;这一状态是指土层在历史上最大固结压力地质历史上受到过的固结压力pc作用下压缩稳定，沉积后土层厚度无大变化，也没有受到其他荷载的继续作用，即pc=p1。大多数建筑物场地土层均属于这类正常固结状态的土。

(3)如图8－33(c)所示，欠固结土层的先期固结压力则小于现有覆盖土重，即OPC＜1;这一状态是指土层历史上曾在pc作用下压缩稳定，固结完成。以后由于某种原因使土层继续沉积或加载，形成目前大于pc的自重压力γz，但因时间不长，γz作用下的压缩固结还没完成，还在继续压缩中。通常新沉积的黏性土或人工填土属于欠固结土。

图8－33　天然土层的三种固结状态

8.7.6　地基沉降与时间的关系

在实际工程中，有时不仅需要知道地基的最终沉降量，同时需要预计建筑物在施工期间和使用期间的地基沉降量、地基沉降过程，即沉降与时间的关系，以便控制施工速度或考虑保证建筑物正常使用的安全措施，如考虑预留建筑物有关部分之间的净空问题、连接方法及施工顺序等。对发生裂缝、倾斜等事故的建筑物，更需要了解地基当时的沉降与今后沉降的发展，即沉降与时间的关系，作为事故处理方案的重要依据，有时地基加固处理方案如堆载预压等，也需要考虑地基变形与时间的关系。如前所述，饱和土的沉降过程主要是土中孔隙水的挤出过程，即饱和土的压缩变形是在外荷载作用下使得充满于孔隙中的水逐渐被挤出，固体颗粒压密的过程。因此，土颗粒很细，孔隙也很细，使孔隙中的水通过弯弯曲曲的细小孔隙中排出，必然要经历相当长的时间t。时间的长短取决于土层排水的距离、土粒粒径与孔隙的大小，土层的渗透系数、荷载大小和压缩系数的高低等因素。

不同土质的地基，在施工期间完成的沉降量不同，碎石土和砂土压缩性小，渗透性大，变形经历的时间很短，一般多层建筑物在施工期间完成的沉降量，对于碎石或砂土可认为其最终沉降量已完成80%以上，对于其他低压缩性土可认为已完成最终沉降量的50%～80%，对于中压缩性土可认为已完成20%～50%，对于高压缩性土可认为已完成5%～20%。在厚层的饱和软黏土中，固结变形需要经过几年甚至几十年时间才能完成，下面将讨论饱和土的变形与时间的关系。

【思考题】

1.在计算土的竖向自重应力时，采用的是什么理论?做了哪些假设?

2.什么是自重应力与附加应力，附加应力大小与何有关?

3.以条形均布荷载为例，说明附加应力在地基中传播、扩散规律。

4.分层总和法计算基础的沉降量时，若土层较厚，为什么一般应将地基分层?如果地基为均质土，且地基中自重应力和附加应力均为(沿高度)均匀分布，是否还有必要将地基分层?

5.地下水位上升或下降对建筑物沉降有没有影响?

6.工程上有一种软土地基处理的方法――堆载预压法。它是在要修建建筑物的地基上堆载，经过一段时间之后，移去堆载，再在上面修建建筑物。试从沉降控制的角度说明该方法处理地基的作用机理。

【练习题】

1.某地基剖面图如图8－34所示，计算各分层处的自重应力，并绘制自重应力沿深度的分布图。

2.如图8－35所示为一矩形基础，埋深1m，上部结构传至地面标高处的荷载为P= 2106kN，荷载为单偏心，偏心距e=0.3m。试求基底中心点O，边点A和B下4m深度处的竖向附加应力。

3.甲乙两个基础，它们的尺寸和相对位置，及每个基底下的基底净压力均示于图8－36中，试求甲基础O点下2m深度处的竖向附加应力。

图8－34　习题1图

图8－35　习题2图

4.某挡土墙建于图示地基上，埋深2m，尺寸如图8－37中所示。墙受上部竖向荷载和墙身自重为Fv=1000kN/m，其作用位置距墙前趾A点为3.83m;墙背受有总水平推力Fh =kN/m，其作用点距墙底为3.5m。(不计墙后填土的影响)试求:(1)M，N点的竖向自重应力(2)M，N点处的竖向附加应力。

图8－36　习题3图

图8－37　习题4图

6.有一单独基础，柱荷载F=1190kN，基础埋深d=1.5m，基础底面尺寸为4m×2m，地基土层分布如图所示。已知地基承载力标准值fk=150kPa，试按规范法计算该基础的最终沉降量(图8－39)。

图8－38　习题5图

图8－39　习题6图