冲破线性思维的堡垒

冲破线性思维的堡垒_生态学校文化的构

五、反思互动：冲破线性思维的堡垒

问题的提出

苏联国家元首加里宁说过：“数学是思维的体操。”《普通高中数学课程标准（实验）》明确提出：“高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。”

线性思维是一种直线的、单向的、单维的、缺乏变化的思维方式，指思维沿着一定的线型或类线型（无论线型还是类线型既可以是直线也可以是曲线）的轨迹寻求问题的解决方案的一种思维方法。非线性思维则是相互连接的，非平面、立体化、无中心、无边缘的网状结构，是指一切不属于线性思维的思维类型，如系统思维、模糊思维等。线性思维与非线性思维需要并用，但占据主导地位的是非线性思维，因为何时可以使用线性思维，何时必须停止使用线性思维，这些问题是线性思维自身无法解决的，要按照非线性思维来决定取舍。

荷兰著名数学家和数学教育家费赖登塔尔教授指出“反思是数学思维活动的核心和动力”，“通过反思才能使现实世界数学化”。人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。在数学教学中，教师应关注学生的主体参与反思，通过师生互动反思，冲破线性思维的堡垒。

教学案例

《基本不等式：是人教版高中数学必修五的第三章第四节，本节内容大纲安排3课时，本节课为第一课时。之前学生已经学过不等式的性质、解一些简单的不等式和函数最值等内容，在此基础上进一步探索基本不等式的证明过程并利用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

课堂实录：基本不等式：（第一课时）

教学过程

师：图1－1是2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图（图1－2）设计的，它看上去像一个风车，代表中国人民的好客。在图1－2中，正方形ABCD中有4个全等的直角三角形，设直角三角形的两直角边长为a、b，那么正方形的边长为■a²＋b²。你能在这个图中找出一些相等关系吗？大家分组讨论一下。

图1－1

图1－2

生1：里面的小正方形的边长为EH＝a－b；大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和。

师：用代数式表示也就是a²＋b²＝2ab＋（a－b）²。

[教师板书等式：a²＋b²＝2ab＋（a－b）²]

师：那么你能再找出一些不等关系吗？

生1：由上面的等式，我可以得到两个不等式：①a²＋b²＞2ab；②a²＋b²＞（a－b）²。

师：好的，我们用几何画板来验证第一个不等式。

（教师调出几何画板，展示变化如图1－3，学生观察、讨论）

图1－3

生2：对第一个不等式，当a≠b时，a²＋b²＞2ab成立；当a＝b时，a²＋b²＝2ab，这个不等式不成立。

师：一般地，对任意实数a、b，我们有a²＋b²≥2ab①，当且仅当a＝b时，等号成立。你能说出证明方法吗？请给出证明。

（学生跃跃欲试）

生3：用作差比较法，a²＋b²－2ab＝（a－b）²≥0，所以a²＋b²≥2ab。

师：完整了吗？“当且仅当”怎么理解？

生3（补充）：当a≠b时，a²＋b²＞2ab；当a＝b时，a²＋b²＝2ab。所以a²＋b²≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立。

师：很好，另外要注意：a、b的取值范围可以是全体实数。从结构上看看任意两个实数的平方和不小于这两个实数的积的2倍。这就是我们这堂课要掌握的一个重要不等式。

（教师板书：一般地，对任意实数a、b，我们有a²＋b²≥2ab①，当且仅当a＝b时，等号成立。）

师：对生1得到的第二个不等式大家可以课后去研究了。下面我们再来看看生活中的一个实际问题：如何用一个两臂长短有差异（其他都精确）的天平称物体的重量？商人说先要左右各称一次，将两次所称重量相加后除以2就可以了，你觉得这种做法得到的重量比实际重量轻了还是重了？

师：非常好，利用刚才我们已经证明的重要不等式就可以得出这个结论，这就是基本不等式：

师：同时也要注意等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立。接下来，请大家填一填课本中的证明（如图2）。

图2

师：大家想想书中的证明思路有什么特点？

生6：这种证明要倒过来想，在解决一些复杂问题时我常常是这样想的。

师：第一个公式中的a²＋b²和2ab可以想到平面图形的面积，从而可以想到它的几何解释，第二个公式中的能否让我们产生什么几何联想？从几何角度对这个不等式作出解释。可以参考课本（如图3）。

图3

（学生分组讨论）

师：非常精彩的几何解析。

[教师利用几何画板，拖动点C（固定圆大小，改变CD的位置），展示动画]

师：当AB＝a＋b＝P为定值时，能求ab的最大值吗？

图4

故ab的最大值是。

师：这里求最大值有什么条件吗？

生8：a、b都是正数，a＋b常数，a、b能取得相等的值。

师：非常好，一正、二定、三等。

师：好。当CD＝＝Q为定值时，能求a＋b的最小值吗？

[教师拖动点O（固定DC，改变圆的大小），展示动画]

生9：因为a＋b≥2＝2Q，当且仅当a＝b时，等号成立，所以a＋b的最小值是2Q。

师：限制条件是什么？

生9：a、b都是正数，a·b为常数，a、b能取得相等的值。

师：所以我们说当两个正数变量的和为定值时，它们的积有最大值；当两个正数变量的积为定值时，则它们的和有最小值。所以基本不等式常常用来求最值。

教师强调：用基本不等式求最值问题的三个限制条件：一正、二定、三等。

（教师展示：例1.已知x＞0，y＞0，xy＝1，求x＋y的最小值。）

生10：x＞0，y＞0，则x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y时等号成立，又xy＝1，所以当x＝y＝1时x＋y的有最小值2。

[教师展示变式练习1：求函数y＝x＋（x＞0）的最小值。]

[变式练习2：求函数y＝x＋（x＜0）的最大值。]

生12：x＜0，－x＞0，所以（－x）＋≥4，y＝x＋4

x

≤－4，当且仅当－x＝，即x＝－2时，有最大值－4。

（变式练习3：已知x＞2，求函数y＝x＋的最小值。）

师：大家同意谁的意见？为什么？

[学生有点迷茫。教师打开几何画板（如图5），学生看图思考。]

生13：哦，x＝时，虽然左右相等，但函数并不是取得最小值。难怪老师强调一正，二定，三等。积定或和定是利用基本不等式的必要条件。

师：对啊，有时候两个正数变量积不是定值时，我们要想办法根据结构凑出定值，然后用基本不等式求解。

（教师引导学生小结：①两个重要不等式的结构特征是

图5

“和的形式≥积的形式”；②公式等号成立的条件是：当且仅当这两个变量相等；③利用基本不等式求最值的适用条件：一正，二定，三等。④掌握探索问题的方法，提高观察、分析、数形结合的数学思维能力。）

布置作业：（1）习题3.4：A组第1题.（2）思考题：①由两个重要不等式能推得其他不等式，看谁能推出更多的不等式；②生1得到的第二个不等式：a²＋b²＞（a－b）²成立吗？

教学点评

1.创设情景，激发学生非线性思维

创设情景是为了有利于学生感受数学问题，体验数学本质，产生求知冲动和发现新知识的喜悦，非线性思维更需要一个合适的思维情景。利用国际数学家大会的会标和中国古代数学家赵爽的弦图中分析相等和不等关系很自然就引入基本不等式的主题，同时体会不等式、等式之间的联系，也为下面不等式的证明埋下伏笔。

另一个基本不等式（a＞0，b＞0）的发现也是在一个生活情景中通过探究得到，使学生体会到数学来自生活应用于生活，沟通生活中的数学与数学课程的联系，使生活与数学融为一体，学生更能理解数学、热爱数学，同时为学生创造自主、积极体验的机会，使学生在亲身体验和探索中认识基本不等式。

2.反思建构，冲破线性思维的堡垒

建构主义认为，一切知识都必须通过主体的建构活动才能得以完成，所以学习者必须对自己的学习活动进行自我监控、自我检查，以判断自己在学习中所追求的是否符合自己设置的目标。数学抽象就其本质而言是一种建构活动，学生在数学学习过程中，只有不断地反思，才能够使自己建构的知识不断地与数学共同体所拥有的知识靠近，最终达到一致。新课程意义下数学课堂教学要保证学生有足够的时间和机会建构性地接触数学、认识数学，从而理解数学，运用数学。本节课在教学环节的安排上，让学生先讲、先练，更有助于调动同学参与到问题的研究解决之中，学生经历了解决问题的过程，体验到跳一跳摘果子的成功乐趣，就会产生成就感，体会到成功的喜悦，促进进一步的学习。俗话说：有疑则有进，小疑则小进，大疑则大进，发现问题是思维的起点。让学生先行，学生就会有疑惑，甚至会把一些错误想法展现出来。在错误尝试的刺激下，通过实验反思，结合演绎推理，体会实践与理论的相互联系，形成对问题的深刻认识，培养思维的批判性，全面揭示数学思维过程，启迪和发展学生思维，将知识发生、发展过程与学生学习知识的心理活动统一起来，冲破线性思维的堡垒。

3.师生互动，冲破线性思维的堡垒

4.直觉反思，冲破线性思维的堡垒

5.一点反思

在数学教学中，学生的主体参与反思，是冲破线性思维的堡垒的关键。由于教学时间、教学内容以及教学条件的限制，目前数学课堂教学中很难保证学生有足够的思维时间，如果没有教师借助多媒体的帮助，学生也难以自主地从变式练习3的错误中解脱出来，因此使得教学过程中教师引导探究多于学生自主探究，教师解说多于学生的表述，由此可能会造成学生学习数学时出现被动、盲目及无效的情况，难以打破线性思维的枷锁。