支付进度安排问题的模型

在实际工程中，项目中至少包括了两个参与者：业主和承包商。于是，支付进度安排问题首先可以从研究角度出发分为承包商角度的模型、业主角度的模型和双方交互角度下的模型。目前大部分关于支付进度安排问题的文献是从承包商的角度分析问题的，他们探讨的主要是怎样的进度安排才能使承包商的净现值最大化。基于这个考虑，工序的成本支出被处理为现金流出，业主对承包商的支付被处理为现金流入。但也有一些研究开始关注业主方的需求或同时关注双方的需求。当从业主角度建立支付进度安排问题的模型时，业主对承包商的支付作为现金流出，现金流入则为业主在项目完成时的预期收益。关于项目的支付通常由业主和承包商在合同条款中协商确定，承包商希望尽可能多地并尽可能快地收回工程款，他能否顺利地实施项目很可能将取决于所收到的进度款。而对于业主来说，则希望尽可能拖延进度款的支付，在项目完工之前支付太多可能将导致承包商对项目不重视甚至失去兴趣。因此，进度款支付的数额和时间通常代表了合同双方协商妥协的结果^［59］。

一、承包商角度的支付进度安排模型

实际工程项目中现金流的管理是相当复杂的，它受许多相互关联因素的影响，如合同的类型、确定支付数额的准则、提前或推迟完成的奖罚、资源约束、结算项目等。因此，从承包商角度构建项目的支付进度安排模型时，需要对上述问题进行一系列假设。总体而言，相关研究所建立的模型主要取决于承发包双方采用的支付模式（payment models）、关于工序现金流出的假设、工序的实施模式（performing mode of activity）、激励措施等因素。对这些因素进行不同的设定将产生截然不同的支付进度安排模型，对于承包商的工序进度安排也将产生不同的结果。

1．支付模式

支付模式直接影响承包商现金流入的时间和数额，进而将影响其NPV的高低。事实上，采用何种支付模式取决于业主和承包商所签订的合同，具体地说就是取决于双方约定的合同价和结算方式。我国《建筑工程施工发包与承包计价管理办法》和《建设工程施工合同（示范文本）》规定，合同价可以采用3种方式：固定价、可调价和成本加酬金^{［60,61,62,63,64,65］}。其中，固定合同价包括固定合同单价和固定合同总价两种，固定单价则包括估算工程量单价和纯单价；可调合同价也分为可调单价和可调总价；成本加酬金确定的合同价则包括成本加固定百分比酬金确定的合同价、成本加固定金额酬金确定的合同价、成本加奖罚确定的合同价、最高限额成本加固定最大酬金确定的合同价^［60,61］。刘鹏^［66］则将建设工程项目承包合同按其计价方式分为基于价格和基于成本的合同，其中基于价格的合同有固定总价合同和单价合同，基于成本的合同有成本加酬金合同和目标成本合同。在我国工程实践中对于合同计价方式的选择主要根据建设工程的特点，业主对筹建工作的设想，对工程费用、工期和质量的要求等，综合考虑后确定^［61］。

国际常用的建设工程承包合同条件中，国际咨询工程师联合会FIDIC《施工合同条件》（1999年）采用的合同计价方式属于单价合同，但有某些子项采用包干价格。工程款按实际完成工程量乘以单价进行结算，一般情况下，单价可随某类物价的波动而调整^［67,68］。英国土木工程师学会（ICE）编制的合同体系NEC（New Engineering Contract）设计了6种工程款支付方式：总价合同、单价合同、目标总价合同、目标单价合同、成本加酬金合同、工程管理合同^［69,70］。美国建筑师学会（AIA）出版了一系列合同条件，其中业主和承包商之间的合同以固定价格合同和成本加酬金合同比较常见^［71］。

Herroelen等^［3］认为，各类合同之间一个本质的区别在于它是否采用固定价格。固定价格的最一般形式有工程量清单合同、估算工程量合同、纯单价合同和一次性付款合同。不采用固定价格的合同有成本加酬金合同、目标合同和奖罚合同。上述各类合同的具体细节可以参考文献［3］所做的综述。值得提到的是在各类合同中对业主风险最小的合同是一次性支付合同，这类合同给业主一个固定价格的保证，又使他免去了大量的计量工作，因而可以看做是业主的一个理想状态。对承包商而言，一次性支付合同使他承担了极大的财务风险，他更乐意接受的是成本加酬金合同。因为这类合同保证了对承包商支出成本的全部补偿，承包商不用作出任何关于工程量和单价的承诺，因而这可以看做是承包商的一个理想状态。

我国现行工程价款结算方式主要有按期（月、季）结算、竣工后一次结算、分段结算以及双方约定的其他结算方式。按期（月、季）结算实行先预付工程备料款，在施工过程中按期（月、季）结算工程进度款，竣工后进行竣工结算。建设项目或单项工程全部建筑安装工程建设期在12个月以内，或者工程承包合同价值在100万元以下的，可以实行工程价款每月月中预支，竣工后一次结算方式。分段结算即当年开工、当年不能竣工的单项工程或单位工程按照工程形象进度，划分不同阶段进行结算。分段结算可以按月预支工程款^{［60,61,72］}。程远明^［73］提出了按施工段支付工程进度款的办法，即将整个工程按施工进展情况划分成若干施工段，每个施工段施工结束后，经质量检查验收合格，支付该段工程进度款。

到目前为止，从承包商角度研究支付进度问题的模型已经比较全面地考虑了多种支付模式。在不考虑合同奖罚结构的情况下，这些模型通常假设承包商得到的支付总额是固定的。在Dayanand和Padman^［59,74］、何正文等^{［75,76,77］}、何正文和徐渝^［78,79］研究的支付进度安排模型中业主对承包商的支付次数假设为固定值，由合同双方在项目开始之前谈判确定。这些模型都假设每次的进度款都是截止到付款时承包商所发生支出或累计挣值的一个固定比例。

Ulusoy和Sahin^［80］研究了三种不同支付模式下的支付进度问题，包括在结束事件上的一次性支付（lump-sum payment, LSP）、在预先指定的事件节点上的支付和在预先指定的时间点上的支付。他们假设在这三种支付方式下业主向承包商的支付总额遵照项目预算且不能协商。在一次性支付（LSP）下，项目成功完成时业主将所有的进度款一次性支付给承包商；后两种支付方式下，业主在每个支付点支付的金额由双方在承包合同中约定。

其后，Ulusoy等^［81］进一步提出了实际工程中特别感兴趣的四种类型的支付模式：一次性支付（LSP）、在事件发生时支付（payment at event occurrences, PEO）、等时间间隔支付（equal time intervals, ETI）和按进度支付（progress payment, PP）。其中PEO模式是指支付发生在一个事先确定的事件节点集上。ETI是指业主和承包商对项目实施过程中的支付次数H达成一致，前H－1次支付被安排在项目工期范围内的等时间间隔上，最后一次支付安排在项目结束时进行。PP模式是指每隔一个规定的时间间隔进行一次支付，直到项目完成。PP和ETI模式的区别在于前者支付的次数事先并不知道。在PEO、ETI和PP中，在每个支付点支付的进度款包括承包商所发生的成本加上一个固定的利润，这个利润确定的方法是：支付点进度款的总额小于等于预算金额。Ulusoy等对这四种模式下的问题分别建立了模型，并通过一个实例问题研究了四种支付模式下相应问题的特点及对问题优化的影响。

Kazaz和Sepil^［82］，Vanhoucke等^［83］则都研究了PP模式即周期性支付下以NPV最大化为准则的工序进度安排，且承包商在每个支付周期末收到的进度款数额为该周期内发生现金流出的固定比例。Mika等于2005年在文献^［84］中又提出了一种新的支付模式：在工序结束时支付（payment at activities' completion time, PAC）在这种模式下，业主对每个工序的完成向承包商进行支付，一旦一个工序完成，承包商可以收到一笔结算款，其数额等于与工序相关联的现金流出。虽然这种模式已经在Icmeli和Erenguc^［85］，Vanhoucke等^［86］中应用，但他们并没有将其作为一种支付模式提出。柴国荣等^［87］研究的支付方式为里程碑支付，即业主在里程碑事件发生时对承包商进行支付，累计支付量等于事件累计挣值的一定比例，剩余款项在项目完成时全部付清。Smith-Daniels和Aquilano^［88］、马蒙蒙等^［89］、Shou^［90］仅研究了LSP模式下以NPV最大化为目标的工序进度安排，在项目完成时业主向承包商支付确定数额的现金流。

2．关于工序现金流出的假设

从承包商的角度看，在项目实施过程中发生的现金流出主要是指其为相关工序的实施所发生的成本支出。这些成本支出在文献中或假设发生在工序开始时，或假设发生在工序结束时，或按一定比例在工序开始节点与结束节点之间分配，或假设将工序实施过程中的支出／现金流折算为工序完成时的终值等等。基于不同的假设条件，概括起来可以将建立的模型分为两类：基于事件的模型和基于工序的模型。

Dayanand和Padman^［59］是最早对项目支付进度安排问题进行系统研究的，他们提出的5种模型中，有3个基于事件的模型和2个基于工序的模型。其中，3个基于事件的模型有2个模型是A. H. Russell模型^［33］的扩展，还有1个模型是Grinold模型^［34］的扩展。基于事件的模型通常采用双代号网络（activity-on-arc, AOA）表示方式，工序由开始事件和结束事件来表示。基于事件的模型假设现金流与项目网络的事件相关联，即假设现金流在相关事件发生时发生。他们假设支出在项目工序开始时发生，因为支出与事件相关联，且几个工序可能在一个事件上发生，因此在任何事件上的支出等于在这个事件上开始的所有工序的总支出。采用这种表示方法，表示项目开始的事件上有支出发生，而项目的终点事件上没有支出发生。

Dayanand和Padman^［59］指出，这种基于事件的模型存在的一个局限性在于，模型假设一些支出的发生必须比项目按计划完成所必须的时间早很多。为了解决这个问题，他们又提出了2个基于工序的模型：一个是对Talbot模型^［91］的扩展，另一个则是对事件模型的修改。这两个模型都假设与每个工序相关联的支出是已知的，且发生在工序的开始时。其中，前者采用了单代号网络（activity-on-node, AON）的表示方式，而后者仍然采用了AOA网络，但对其进行了一定的修改。在每个实际工序之前添加一个虚拟工序，这是为了将每个工序的支出与一个唯一的事件相关联。修改后的事件模型虽然能清晰地反映各个工序的现金流，但产生了更多的虚拟工序，使得项目工序网络变得更加复杂，不利于求解或将影响求解效率。

Dayanand和Padman^［74］沿用了上述基于事件的模型。Dayanand和Padman^［59,74］考虑了支付次数固定的支付方式，支付发生在项目网络的几个事件点上，且每次进度款支付的数额等于截止到付款时承包商所发生支出的一个固定比例β（他们将这种方法称为成本的补偿）。因为基于事件的模型假设现金流与事件相关联，且在任何事件上的支出等于以该事件为开始节点的所有工序的总支出。由此产生的问题是，业主对承包商的进度款支付将包括对一些还未完成工序的提前支付。在项目的实践中，通常不允许提前支付。为此，Ulusoy等^［81］、何正文等^［75-77］、何正文和徐渝^［78,79］在采用基于事件的模型时，对其进行了一定的修正。Ulusoy等^［81］研究的PEO模式中，事件的支出等于指向该事件点的工序成本之和，这就保证了事件点的相应支付仅针对已完工序，而不会对部分完成的工序或未实施工序进行提前支付。何正文等^［75-77］、何正文和徐渝^［78,79］则通过将工序支出在其开始事件与结束事件之间进行比例分配来修正上述基于事件的模型，这样每个事件点的支出表示为以该事件点为结束事件的工序支出与以该事件点为开始事件的工序支出的加权平均。

应该说，基于事件的模型在现金流分布的说明上很不明确。比如，某个事件上的现金流与哪个工序或工序集有关；现金流是为哪些工序发生的，是用于启动在该事件点开始的工序还是用于完成以该事件为结束的工序。然而，基于工序的模型则可以克服这个缺点，当以AON网络表示时，它能够明确反映每个工序的现金流，也可以反映对已完工的付款或是对部分完成工作的提前付款。Kazaz和Sepil^［82］，Vanhoucke等^［83］，Shou^［90］也假设现金流与工序相关，但他们假设现金流出发生在工序完成时，Kazaz和Sepil，Vanhoucke等对此的解释是项目的大多数工序进行分包，当工序完成时支付给分包商与这些工序相关的成本。Icmeli和Erenguc^［85］，Vanhoucke等^［86］则假设将工序实施过程中的现金流出折算为工序结束时的终值。

3．工序的实施模式

工序的实施模式（performing mode of activity）是指工序的完成方式，对应于完成工序所需的资源投入量和相应持续时间^［91］。在工程项目的实践中，承包商通常根据工序的轻重缓急来决定其资源投入和持续时间。当工序较为紧急或工期较紧时，承包商往往通过增加资源投入来压缩工序的持续时间；而工序的执行对项目工期没有影响或工期没有限制时，承包商就会采取延缓的工序实施模式以节省单位时间的资源投入。因此，项目的工序必然存在多种实施模式。实践中常把工序的实施模式分为三类：赶工模式（crashing mode）、正常模式（normal mode）和延误模式（delaying mode）^［92］。赶工模式与正常模式相比，工序的持续时间较短，但单位时间的资源投入较大；延误模式与正常模式相比，工序的单位时间资源投入较少，但工序的持续时间较长。

工序的实施模式有多种表达方式，可以用持续时间和成本的配对表示，它反映了投入成本和工序实施时间的均衡关系；也可以用持续时间和资源的配对表示，它反映了投入资源和工序实施时间的均衡关系；还可以用工作量和资源组合的配对关系，它反映的是不同资源投入量的组合和完成的工作量之间的均衡关系^［93］。这三种表达方式实际上是等价的：对第一和第二种方式，投入的资源的多少影响到工序成本的大小，如果考虑资源的价格则第二种表达方式也可以用持续时间和成本的配对来表示；第三种表达方式实际上没有将劳动力资源考虑进去，如果将工作量除以劳动力的数量就可以得到这种资源组合的持续时间，也就和第二种表达方式等价了。因此，这三种方式实际上表达了同一个意思，多种资源投入的组合与工序完成之间的关系。

在支付进度安排问题中引入工序实施的多模式就形成了多模式的项目支付进度安排问题（multi-mode project payment scheduling problem），问题的解必须确定工序的时间安排和工序的实施模式，因此其求解比单模式的问题要复杂得多。Kolisch和Drexl^［94］曾指出，在项目进度安排中存在可更新资源约束时的问题是一个NP-hard问题，十分复杂，但工序实施多模式的存在进一步增加了问题的复杂性；更糟糕的是，如果考虑超过两种可更新资源，如何找到一个可行解也变成了NP-hard问题。然而这类问题比单模式问题更符合实际需要，可以认为这类问题是确定型问题和随机型问题的一个折中方案。

从20世纪90年代开始有一些文献关注多模式下的项目支付进度安排问题。如Icmeli和Erenguc^［85］提出了一个问题，工序的持续时间可以通过分配给它更多的资源而得到压缩，他们所建立的NPV最大化目标函数中包含了工序的赶工成本。Özdamar和Dündar^［95］考虑了一个住宅项目，通过预售的方式滚动开发，在初始时有一笔启动资金，随工序的实施而减少，随住房的销售而增加，顾客以随机方式到来，即现金流入以随机方式发生。在他们的模型中，资金被视为一种有限的不可更新资源，工序的总成本固定，与实施模式无关。开发商的目标是通过工序实施模式的选择和进度安排使这个项目运作成功且获利最大。Ulusoy等^［81］提出了一个带可更新资源、不可更新资源和双重约束资源的多模式、资源受限项目支付进度安排模型。Mika等^［84］提出了一个只带正现金流的多模式、资源受限项目支付进度安排模型，考虑的资源包括可更新和不可更新资源。何正文等^［76］、何正文和徐渝^［78,79］建立的模型中工序的实施模式有两种：加急模式和常规模式，他们都没有考虑资源的约束。

4．激励措施

Kazaz和Sepil^［82］曾指出，A. H. Russell的模型必须加上工期限制的假设，否则承包商可以通过“前载型（front-loaded）”的策略，可以永远不完成项目。因此大部分支付进度安排的研究都设置了工期限制，有些文献还考虑了扣留部分工程款、设置提前拖后的奖罚等激励措施。

Dayanand和Padman在文献^［74］中指出，定时的支付没有提供一个使承包商按时完成进度的激励，解决的方法是采用按实际绩效或按进展情况进行支付。业主可以在每次支付时扣留一定比例的支付，直到项目结束时再返还给承包商。为此可以设置一个每次支付时成本补偿的比例β，承发包双方应就β的数值进行协商。当β大于1时，承包商可以从每次支付时得到一个利润。然而过高的β值可能导致当项目接近完工时，承包商对完成项目失去兴趣。通过扣留一部分工程款，业主实际上对承包商完成项目设置了一个激励。他们在随后建立的支付进度安排模型中引入了β，以考虑进度款扣留的影响。

Herroelen等^［3］在对折现现金流项目网络模型的综述中提到了提前拖后的奖罚。他们认为奖罚的目的是将业主和承包商的目标整合起来，这可以通过给承包商一个利润的激励，以鼓励其完成业主的目标。奖罚的措施有单边激励计划和双边激励计划两类：单边激励计划通常为承包商好的效能设定奖金，它不需要双方协商；双边激励计划包括对好的效能的奖金和对差的效能的惩罚，它需要双方进行协商，以对计划的每一个方面进行确认并需紧密合作进行管理。激励计划的设置需要十分小心，如果奖励太容易，则业主很容易丧失其财务效益；如果目标太难，大量的精力和财力浪费在追求不可能的目标上。

对于这两类激励措施，目前仅有少量的支付进度安排文献进行了考虑，还缺乏比较深入的探讨和研究。比如，Dayanand和Padman^［74］虽然考虑了进度款的扣留，但他们并没有对进度款扣留的比例设置对项目进度安排的影响进行深入研究；Icmeli和Erenguc^［85］、Özdamar和Dündar^［95］的NPV目标函数中都考虑了延误的罚金，其中后者还考虑了初始投入资金的机会成本，但他们并没有考虑工期提前的奖励；何正文等^［75］考虑了具有奖励和惩罚结构的项目支付进度问题，但他们仅考虑了支付次数固定、工序实施单模式且不存在资源约束的情况。

二、业主或双方交互角度下的支付进度安排模型

上述从承包商角度考虑的支付进度安排要解决的问题是在满足工序之间逻辑关系约束和资源约束的情况下，对项目的工序进度进行合理安排，从而使承包商获得最大的NPV。然而，这种仅从承包商的利益出发确定的最优进度可能面临业主不确认或无法实施的尴尬局面。因为，项目实施进度的制定虽然是承包商的责任，但必须得到业主的确认；同时业主的支付也同样面临一个经济方案选择问题。因此，从业主角度甚至从双方交互角度下分析支付进度安排问题是非常有必要的。当从业主角度建立支付进度安排问题的模型时，现金流出为业主向承包商的各种支付，现金流入则通常假设为项目成功完成时的预期未来收益。

Bey等^［96］在1981年就认识到业主最优工序进度与承包商最优工序进度之间的差异，他们提出设置工期提前和拖后的奖罚对提高业主的NPV有益。尽管他们阐明了在确定支付时承包商对工序进度控制的重要性，但他们并没有提出为业主设置支付进度的方法或程序。Dayanand和Padman^［97］最早从业主角度研究项目支付进度安排问题，他们建立的模型假设业主和承包商就支付的次数或支付的频率进行协商，并假设业主支付给承包商的工程款数额固定，支付按实际进度即支付时点上的“挣值”计量，业主和承包商就保留款的最大比例进行协商。他们考虑了三种模型：基本业主模型、等时间间隔模型和周期性支付模型。其中，基本业主模型中的支付次数固定，对支付时间没有限制；等时间间隔模型中支付次数固定，但支付发生在近似相等的固定时间间隔上；周期性支付模型将支付安排在等时间间隔上进行直至项目完成，因此支付次数取决于支付的频率和项目完成的时间。通过对具有10个工序的10个实例项目的计算显示，相比另外两种支付模型，在基本业主模型中业主得到的收益最高，支出的成本最小。基本业主模型下的最优进度建议业主可以通过只安排一个事件在任何支付时间发生的方式来减少支付的数额，还可以通过增加保留款或减少支付次数的方式来减少支出。

Dayanand和Padman^［97］的上述模型和计算结果建立在这样的前提上：业主可以对项目的工序进度进行安排。然而，在工程项目的实践中，对项目工序进行直接安排的是承包商而不是业主。因此，Ulusoy和Cebelli^［98］从双方联合角度出发，将承包商和业主放在一个共同的模型中进行研究，这进一步拓展了支付进度安排模型。他们提出了一个“公平解（equitable solution）”的概念，即在这个解中承包商和业主各自以相同的百分比偏离其理想状态。其中承包商的理想状态是在项目开始时就能获得全部的工程款，业主的理想状态则是在项目结束时一次性支付。

Szmerekovsky^［99］认为Ulusoy和Cebelli的“公平解”产生的结果是业主和承包商双方都不能实现各自收益的最大化。他提出的模型中由业主选择支付工序，由承包商选择工序的进度，并使各自的NPV最大化。他还假设如果项目不能提供一个最小的NPV，承包商可以选择拒绝这个项目。他对资源不受限的、含19个工序的10个测试问题进行了计算。Szmerekovsky的研究存在问题包括，他并没有从双方交互角度下进行分析和建模，支付分配的确定缺乏实践依据，对按进度支付、等时间间隔支付等支付模式的分析欠缺，且未考虑资源的约束。

Kavlak^［100］提出了多模式资源受限项目进度安排问题的双方博弈形式，即业主和承包商的讨价还价问题。这个讨价还价的目标是使讨价还价目标函数最大化，其中讨价还价目标函数包括使业主和承包商的NPV最大化。这个目标函数同时考虑了业主和承包商的目标。对于业主而言，他的目标是使其支付给承包商的资金的净现值最小化；而对于承包商而言，他的目标是使其净收益最大化。他还提出了讨价还价权重概念，用于确定双方在谈判过程中的讨价还价权力。他研究了三种不同的支付模型，包括进度款支付、等时间间隔支付和工序完成时支付。

从业主或双方联合角度进行支付进度安排研究的国内学者主要是何正文等^{［75,76,101］}、何正文和徐渝^［78,79］、He和Xu^［102］。其中，文献［75］分别从承包商和业主角度研究了具有奖罚结构的单模式项目支付进度问题：文献［76,78,79,102］也分别从承包商和业主角度进行研究，但考虑了工序实施的加急模式和常规模式两种情况，其中文献［102］考虑的问题中引入了奖励和惩罚结构；文献［78,101］还从双方联合角度建立了优化模型，假设双方按商定比例分担项目融资费用。上述模型存在的主要问题是：首先都没有考虑资源的约束；其次所有模型中考虑的支付模式都是支付次数为固定的，发生在项目实施中的若干事件点上；再次模型缺乏计算试验，仅对个别例子进行了计算；最后双方联合角度的模型未能反映业主和承包商在谈判过程中的交互。

业主和承包商在项目的承发包合同谈判中是不可或缺的两方，业主在合同谈判时通常处于优势地位，而承包商也能就某些合同条款和支付方式与业主进行协商谈判。因此，从财务效益角度研究项目的工序进度安排必须从双方角度考虑，才更加具有实践应用价值。从研究方法的发展趋势看，从双方联合角度构建支付进度安排模型时，越来越注重业主与承包商在合同谈判中的交互和信息传递，在选择支付模式时结合工程实践的需要。此外，在设置业主与承包商的现金流时，还可以考虑各种确保合同顺利实施的措施，如各类预付款的拨付和返还、提前拖后的奖罚等，另外项目提前交付所带来的收益也可以进行考虑。