时空，零锥，度规，共形几何

1908年，当闵可夫斯基（Hermann Minkowski）——著名数学家，偶然成了爱因斯坦在苏黎世理工大学的老师——证明他能把狭义相对论的基本概念精炼成一种非同寻常的4维几何时，爱因斯坦对那种想法并没多大热情。可是后来他认识了闵可夫斯基的时空几何观的举足轻重的意义。实际上，他自己对闵氏思想的推广，构成了他的广义相对论弯曲时空基础的基本要素。

闵氏的4维空间包容了标准的3维空间和一个描述时间流的第4维。于是，这个4维空间的点通常代表一个事件，因为任何一个那样的点不但有空间的规定，也有时间的规定。就这个概念本身来说，真没什么太革命的东西。但闵氏思想——那可是真革命——的关键在于，他的4维空间几何并不自然分解为一个时间维和（更重要的）一系列对应于给定时刻的普通3维欧几里得空间。相反，闵氏时空有着不同的几何结构，奇妙地融合了欧几里得的古老几何思想。它实际上是时空的整体几何，将时空编织为一个不可分割的整体，完全概化了爱因斯坦狭义相对论的结构。

于是，在闵氏的4维几何里，我们不再将时空看作一串3维曲面——每个面代表不同时刻的一个“空间”——的简单叠加（图2.10）。在那样的解释里，每个那样的3维曲面都描述了一组应该认为是同时发生的事件。在狭义相对论中，空间分离的事件的“同时”，没有绝对的意义。相反，“同时性”依赖于某个任意选择的观测者的速度。

当然，这是与我们的寻常经验冲突的，因为我们似乎真的发现相隔遥远的事件有一个独立于我们速度的同时性。但（根据爱因斯坦的狭义相对论）如果我们以堪比光速的速度运动，就会发现我们看来同时的事件对其他不同速度的观测者来说通常都不是同时的。而且，就非常遥远的事件来说，速度不需要很大。例如，两人在同一条路上沿相反方向散步，在他们走过对方的时刻，他们认为仙女座星系同时发生了若干事件，但那些事件其实可能相隔几个星期（见图2.11）！[2.25]

图2.10　闵可夫斯基之前的时空。

根据相对论，“同时性”概念对遥远事件来说不是绝对的，而依赖于具体观测者的速度。所以，将时空分解为一系列同时的3维空间是主观的事情，因为对观测者的不同速度可以得到不同的分解。闵氏时空实现了一种客观的几何，不依赖于任何观测者的视点，而且不随观测者的改变而改变。从一定意义说，闵可夫斯基做的就是将“相对性”从狭义相对论中拿走，为我们呈现一幅绝对的时空活动的图景。

图2.11　两个漫步者从对方面前走过，在两人看来他们相互经过的事件X是同时的，而做出这个判断的依据却是仙女座星系中间隔几个星期的不同事件。

图2.12（a）闵氏4维空间中p的零锥；（b）未来锥的3维描述是原点在p的一系列膨胀的同心球。

爱因斯坦的理论告诉我们，任何有质量粒子的速度一定总是小于光速。用时空图来说，这意味着这种粒子的世界线——构成粒子历史的所有事件的轨迹——必然引向它的每个事件的零锥内部，如图2.13。粒子也可能在世界线的某些地方加速，那时它的世界线不会是直线；从时空图看，加速度表示为世界线的曲率。在世界线弯曲的地方，则世界线的切向量必然处于零锥内部。如果粒子无质量，[2.28]如光子，那么它的世界线必然沿着每一点的零锥的表面，因为它在每个事件中的速度其实就是光速。

图2.13　中均匀分布的零锥。有质量粒子的世界线都引向锥的内部，而无质量粒子的世界线沿着锥的表面。

的几何是完全均匀的，每个事件都是平等的。但当我们过渡到爱因斯坦的广义相对论时，这种均匀性就普遍地失去了。不过，我们还可以为零锥赋予连续的时间方向，任何有质量粒子的世界线的未来方向的切向量仍然处于未来零锥内。而且，和前面一样，无质量粒子（光子）的世界线的切向量都沿着零锥表面。在图2.14中，我描绘了广义相对论的这种情形，其中零锥不再是均匀分布的。

图2.14　广义相对论中的非均匀零锥。

我们得试着想象这些锥画在某种印有零锥的理想“橡皮膜”上。我们可以在橡皮膜上任意活动，也能以任意方式扭曲它，只要变形是光滑的，零锥保持在膜上。我们的零锥决定了事件之间的“因果结构”，这是任何形变都改变不了的——只要我们认为橡皮膜一直带着这些锥。

2.1节图2.3（c）的埃舍尔的双曲面呈现了类似的情景，在那儿我们可以想象埃舍尔的画就印在这种理想的橡皮膜上。我们可以让一个接近边界的魔鬼活动，通过这种变形，它来到先前被中心附近的魔鬼占据的位置。可以通过这种运动将所有的魔鬼移到先前被其他魔鬼占据的位置，而且这种运动也将描述埃舍尔图画表现的双曲几何的一种基本的对称性。在广义相对论中，这种对称性也会出现（和2.1节描述的弗里德曼模型一样），但是相当例外。然而，能够实现这种“橡皮膜”变形，正是广义相对论的基本组成部分，被称作“微分同胚”（或“一般坐标变换”）。关键是这种变形一点儿也不会改变物理状态。“一般协变性”原理作为爱因斯坦广义相对论的基石，所说的就是我们构建物理学定律时要用这种“橡皮膜变形”（“微分同胚”）的方式，它不会改变空间及其内容的物理意义和性质。

这并不是说所有几何结构都失去了，我们空间剩下的唯一几何或许就是它的拓扑性质之类的东西（实际上，拓扑学有时就被称为“橡皮膜几何”，它看茶杯的表面和环面是一样的，等等）。但我们必须用心确定需要什么结构。流形一词常用来描述这种有着确定有限维的空间（我们可以说有n个空间维的流形为n-流形），它是光滑的，但除了光滑和拓扑而外，不必赋予任何其他结构。在双曲几何的情形，流形其实还被赋予了度规的概念。度规是一个数学“张量”（见2.6节），常用字母g表示，可以认为它为空间中任何有限光滑的曲线赋予了长度。[2.30]构成这种流形的“橡皮膜”的任何变形都带着连接两点p, q的任何曲线（p, q也跟着变形），而度规g赋予的连接p和q的曲线段的长度应该不受那种变形的影响（从这个意义说，g也是“跟着”变形走的）。

长度概念还蕴涵着直线概念，即所谓的测地线，这种直线l的特征在于对线上的任意两个分离不太远的点p和q，从p到q的最短曲线（在g所赋予的长度意义上）实际上就等于l的pq部分的长度，见图2.15。（在这个意义上，测地线提供了“两点间的最短路径”。）我们还可以定义两条光滑曲线之间的角度（一旦g定了，这也就决定了），于是，当g给定时，我们也就有了普通的几何概念。不过，这个几何通常不同于我们熟悉的欧几里得几何。

图2.15　度规g为曲线赋予长度和角度，测地线l提供了度规g下的“p和q点之间的最短路径”。

于是，埃舍尔的双曲几何图像[图2.3（c），贝尔特拉米-庞家勒的共形表示]也有它的直线（测地线）。通过图形背景的欧几里得几何，这些测地线可以理解为与边界圆呈直角相交的圆弧（见图2.16）。令a和b是经过两个给定点p和q的弧线的端点，那么p和q之间的双曲g-距离等于

图2.16　在双曲面的共形表示中，“直线”（测地线）是与边界圆周交于直角的圆弧。

其中ln是自然对数（1.2节中常用对数lg的2.302585……倍），“｜qa｜”等代表背景空间的普通欧几里得距离，C是正常数，叫双曲空间的伪半径。

但是，我们可以不管g确定的结构而赋予某个其他类型的几何。我们这儿最关心的就是所谓的共形几何。这种结构可以度量两条光滑曲线在任一点相交的角度，但“距离”或“长度”的概念是不确定的。前面说过，角度的概念其实是由g决定的，但g本身却不能由角度概念来决定。虽然共形结构不能确定长度的量，却能决定任何一点处不同方向的长度之间的比值——所以它决定了无穷小的形状。我们可以将不同点的长度重新度量（放大或缩小）而不会改变共形结构（见图2.17）。我们记重新度量为其中Ω是定义在每一点的正实数，在空间光滑变化。于是，不论Ω的取值如何，g和Ω2g决定了同一个共形结构，但g和Ω2g有不同的度规结构（如果Ω≠1），这里Ω是尺度变化因子。再看埃舍尔的图2.3（c），我们发现双曲面的共形结构（不是度规结构）其实等同于欧几里得空间在边界圆的内部，但不同于整个欧几里得平面的共形结构。

图2.17　共形结构不确定长度的度量，但通过任何一点在不同方向的长度之比确定了角度。长度可以在不同的点重新度量（放大或缩小），而不会影响共形结构。

对我们的时空几何来说，这些思想仍然实用，但也有一些重要差别，原因在于闵可夫斯基对欧几里得几何概念的“扭曲”。这所谓“扭曲”就是数学家指的度规符号的改变。用代数的语言来说，其实就是几个“+”号变成了“-”号，它主要告诉我们，对n维空间来说，n个相互垂直的一组方向里，有多少被看作是“类时”的（在零锥内部），有多少是“类空”的（在零锥外面）。在欧几里得几何和它弯曲形式的黎曼几何中，我们认为所有方向都是类空的。“时空”的通常概念只包含一个类时方向，在这样的正交集中其余方向都是类空的。如果空间是平直的，我们称它为闵可夫斯基空间，如果空间是弯曲的，我们称它为洛仑兹（Lorentzian）空间。对我们考察的通常的时空类型（洛仑兹空间），n=4，符号是“1+3”，将我们的4个相互正交的方向分解为1个类时方向和3个类空方向。类空方向（或类时方向，假如多于1个）之间的“正交”意思是“交于直角”，而类空与类时方向之间的正交从几何上看更像图2.18描绘的情形，正交方向对称地与它们之间的零锥方向相连。从物理上讲，世界线沿类时方向的观测者认为在与他正交的类空方向发生的事件都是同时的。

图2.18　欧几里得图像表示的类空和类时方向在洛伦兹时空里的“正交”，其中零锥是直角的。

在寻常的（欧几里得或黎曼）几何里，我们惯于用空间间隔来考虑长度，而那间隔可以用一根直尺来度量。但在（欧几里得或黎曼）时空里，直尺是什么呢？是一根带子，乍看起来并不像用来测量两个事件p和q之间的空间间隔的东西，如图2.19。我们可以将p放到带子的一边，而把q放到另一边。我们还可以假定那个直尺很窄，而且没有加速，从而爱因斯坦广义相对论的（洛仑兹的）曲率效应就无关紧要，用狭义相对论就足以应对。但是根据狭义相对论，如果要直尺子度量的距离正确给出p和q之间的时空间隔，我们必须要求事件相对于直尺的静止坐标系是同时发生的。在直尺的静止坐标系中，我们如何确保事件真正是同时的呢？是啊，我们可以用爱因斯坦最初的论证方法。他更多的是用匀速运动的火车而不是直尺来思考——那么现在我们也那样来讨论。

图2.1　9点p和q在中的类空间隔不能直接用2维的带子来测量。

令发生事件p的火车（直尺）的一端为车头，而q的一端为车尾。想象车头有一个观测者，从事件r向车尾发出一个光信号，达到那儿的时刻恰好发生事件q；信号立刻反射回车头，在事件s被观测者接收，见图2.20。于是，假如p在发射和接收信号的中间时刻，即从r到p的时间间隔恰好等于从p到s的时间间隔，那么观测者可以判断q与p在火车的静止坐标系里是同时的。这时（也仅仅在这时），火车（即直尺）的长度恰好等于p和q的空间间隔。

图2.20　只有当pq同时，火车（直尺）才能度量距离pq，所以我们需要光信号和时钟。

我们看到，这不但比简单“拿尺子”量两个事件的空间间隔要复杂一些，而且观测者实际测量的是时间间隔rp和ps。这些（相等的）时间间隔直接提供了我们需要确定的空间间隔pq的度量（用光速为1的单位）。这说明了时空度量的关键事实，即它更多的是与时间（而非距离）的测量有着直接的关系。它不是度量曲线的长度，而是直接为我们提供时间的度量。而且，被赋予时间度量的并非都是曲线：只有所谓的因果曲线才可能是粒子的世界线，这些曲线处处是类时的（切向量在零锥内部，是有质量粒子的路径）或零的（切向量沿着零锥表面，是无质量粒子的路径）。时空度规g的作用是为任何因果曲线的有限线段赋予时间度量（对零曲线的任何部分，时间度量的贡献为零）。在这个意义上，正如爱尔兰著名相对论专家辛格（John L.Synge）建议的[2.31]，时空度规具有的“几何”不是“测地”（geometry）的，而是“测时的”（“chronometry”）。

因为整个理论依赖于以自然方式定义的度规g，[2.32]所以对广义相对论的物理学基础来说，重要的是大自然真的存在基本水平的超精确时钟。实际上，这个时间度量对物理学来说也是相当核心的问题，因为我们可以明确地说，任何一个（稳定的）有质量粒子都充当着几乎完美的时钟。如果粒子质量为m（假定是常数），那么我们从爱因斯坦的著名公式可以看到它有一个静止能量E：[2.33]

E=mc2

这是相对论的基本结果。另一个几乎同样著名的公式——量子论的基本公式——是普朗克公式

E=hν

（h是普朗克常数），它告诉我们粒子的静止能量定义了一个特别的量子振动的频率ν（见图2.21）。换句话说，任何稳定的有质量粒子的行为犹如一个非常精确的量子钟，它“滴答”的特定频率恰好正比于它的质量，系数为基本常数c2/h：

ν=m（c2/h）

图2.21　任何稳定的有质量粒子的行为犹如一个非常精确的量子钟。

实际上，单个粒子的量子频率是极高的，不可能直接用来做实用的时钟。对实际的时钟来说，我们需要一个包含大量粒子的系统，众粒子结合起来协同作用。但关键的一点还在于我们做钟是需要质量的。单凭无质量粒子（如光子）是不可能做出时钟来的，因为它们的频率只能是零；光子要等到永恒才可能让它内在的“时钟”敲响第一声“滴答”！这个事实对我们以后有着重大意义。

这些都遵从图2.22，我们可以从它看到不同的时钟——都从同一个事件p出发，但以不同速度（堪比光速但小于光速）运动。碗型的3维曲面（普通几何中的双曲面）区分了相同时钟的一串“滴答”。（这些3维曲面是闵氏几何球面的类比，是到固定点的“距离”为常数的曲面。）我们注意，因为无质量粒子的世界线是沿着零锥的，它连第一个碗型曲面都不可能达到，这和我们前面说的是一致的。

图2.22　碗型3维曲面代表同样时钟的不同瞬间。

最后，类时曲线的测地线概念在物理上可以解释为有质量粒子在引力作用下的自由运动的世界线。在数学上，类时测地线l的特征表现为，对l上任意两个分隔不太远的点p和q，从p到q的最长曲线（在g决定的时间长度的情况下）其实就是l的一部分（见图2.23），它奇妙地倒转了测地线的欧几里得或黎曼空间的长度极小性质。这种测地概念也适用于零测地线，这种情形的“长度”为零，单凭时空的零锥结构就能确定。这种零锥结构其实等价于时空的共形结构，这个事实对我们以后有重要意义。

图2.23　类时测地线l的特征在于，对l上的任何两个间隔不太远的点p和q，从p到q的最长局域曲线其实就是l的那部分长度。